187期編者的話
187期編者的話

莫宗堅教授及黃蘋教授介紹兩河流域、 埃及、 印度、 希臘、 伊朗及中國的數學古史。 這些古文明自有一套數字標記法, 對 $\pi$ 及 $\sqrt{2}$ 各有估計, 對畢氏定理各有闡述, 對天文曆法各有探究, 對方程式的解法亦各有涉獵。 古文明各有風華, 但相互之間又有 isomorphism 的對應。 莫教授與黃教授學貫中西, 浩瀚淵博, 文章捻線串珠, 內容豐富深厚。 他們期許今人胸襟廣闊, 共同繼承各民族的創造發明。


光是粒子抑或是波? 這個問題讓科學家們爭論了數個世紀。 牛頓主張「微粒」理論。 1802 年, Thomas Young 進行雙狹縫實驗, 顯示干涉圖案, 於是波的理論又捲土重來。 法國土木工程師 Augustin-Jean Fresnel (1788$\sim$1827) 最初並不知道 Young 的實驗, 但他用各種裝置產生干涉條紋和衍射, 這些實驗致使他相信光的波動理論是正確的。 他對衍射的數學描述, 起步於荷蘭科學家惠更斯的原理, 亦即波前的各個點都可以被視為球面小波的次要源。


當細金屬線等衍射物體被照亮時, 會在陰影中產生一組特徵性的色帶。 當 Fresnel 將黑紙粘貼到衍射器的邊緣時, 他意識到此時光的亮帶消失了。 而後他設計數學公式, 根據穿過衍射器後的光線路徑長度, 來預測亮帶和暗帶的位置。 他也用這些相同的方程, 預測出兩個有光反射的鏡子所產生的干涉圖案。


Fresnel 積分是他在研究光的衍射問題時提出的一個積分, 最初用於計算光線在不透明物體周圍彎曲之環境中的電磁場強度。 Fresnel 積分是複數形式的高斯積分, 也可視為旋轉了 45 度的高斯積分。 林琦焜教授用 Laplace 變換、 $\Gamma$ 函數等觀點來看 Fresnel 積分; 介紹如何化虛為實, 將 Fresnel 積分以複變積分處理; 也鋪陳如何化實為虛, 由熱核得到 Schrödinger 方程的基本解。


1905年, 愛因斯坦提出狹義相對論, 用以調和電磁學的 Maxwell 方程和當時已知的力學。 狹義相對論植基於兩個基本假設: 相對性原理及光速恆定原理。 基於它們, 運動系統中的時鐘走得較慢; 以速度 $v$ 運動的物體, 時間膨脹了 $\frac{1}{\sqrt{1-(v^2/c^2)}}$ 倍, 長度縮短了 $\sqrt{1-(v^2/c^2)}$ 倍。 張海潮教授以畢氏定理推導出這些結果, 並說明「同時性」是相對而非絕對的。


1995 年 6 月 23 日, Andrew Wiles 完成系列演講, 詳細介紹他對費馬最後定理的工作, 為懸宕三個半世紀的問題提供解決方案。 更甚者, 對兩個重要但看似截然不同的數學領域: 橢圓曲線和有高度對稱性的模形式, Wiles 的工作在其間建立了橋樑。 於是乎 Wiles 為 Langlands 綱領的偉大前景打開了又一扇門。 蔡政江教授深耕 Langlands 綱領, 從至高角度觀照全局。




梁惠禎
2023年9月