175期編者的話
175期編者的話

本期摘錄丘成桐教授去年演講中關於規範理論的部分。1929年Hermann Weyl 重新詮釋自己1918年的工作,在切向量場的圓群變換下,闡述電動力學如何保持不變,開啟了規範理論的先河。該理論隨即推廣至非阿貝爾規範群,其後並納入特徵類的理論。

弦論約於1970年發軔,弦對稱性引發出坐標不變性及規範不變性。1974年,學者斷定額外維度必然存在。這些額外維度讓學者十分困擾,而半世紀前的Kaluza-Klein理論提示他們:額外維度或可縮到極小的尺寸。他們因此引入緊緻化(compactification)的想法,讓額外維度微小至難以檢測。早期的嘗試無法保持左、右旋粒子的宇稱性(parity)。1985年,Horowitz及Strominger證實:Calabi-Yau 流形不僅可緊緻化額外6個維度,且可保持粒子宇稱性,更甚者,其所保持的超對稱性足以複製標準模型的某些特質,Calabi-Yau 流形的genus也可預測標準模型應有的粒子家族個數。

話說Calabi-Yau 流形,緣起自丘成桐教授在70年代初思考的問題:是否存在曲率非零(因此重力非零) 的真空(vacuum)時空?他知道這其實就是Calabi稍早提出的問題:物體的拓樸性質可否決定其幾何性質?物理上,Ricci曲率描述物質引發的時空彎曲,Ricci曲率到處為零意味真空。而陳省身先生於40年代證明:Ricci曲率到處為零的流形只能具有某種拓樸;具有這些拓樸之流形,謂之第一陳氏類為零。Calabi 反問:若某緊緻 Kähler流形的第一陳氏類為零,能否將其變形,使其Ricci曲率到處為零?丘成桐教授在1976 年證明該問題的答案是肯定的,而這類流形也就是所謂的Calabi-Yau 流形。

1989年Poincaré 研究三體問題,揭示混沌性的存在。1960年Smale考慮馬蹄映射,將正方形壓縮、伸長、摺疊形成馬蹄,而後重覆操作,得到股數漸增的蛇形馬蹄。馬蹄映射是混沌系統的經典模型,具三特性:週期性軌道的稠密性、對初始條件的敏感依賴性,及拓樸混合性。而若動力系統包含橫向同宿(transverse homoclinic)點,必定具有馬蹄映射的全部動力性質;三體系統即為一例。

我們稱動力系統具雙曲性,若且唯若其漸進相空間之切空間可分解成兩個部分,系統在其中分別收縮及擴張。馬蹄映射具雙曲性。而不具雙曲性的系統又會是如何? Keonhee Lee 教授介紹了一些前沿結果,嘗試以測度論來描述系統的可擴張性,力圖使擴張流得以包含奇異點,進而推廣Smale的譜分解定理。

薛昭雄教授及劉又中先生探討形如$\sum_{n=0}^\infty\frac{a_{nk}}{r^{n+1}}$的級數,其中${a_n }$為二階線性遞迴數列。他們著眼於特徵方程式的根,見解獨到。173期張進安先生考慮的是$a_n$為Fibonacci 數列的特殊情況。林開亮教授以生成函數理解此情況。


梁惠禎 2020年9月