專訪 肥田晴三 (Haruzo Hida) 教授

策劃:劉太平
訪問:劉太平、 謝銘倫、Fabian Januszewski
時間:民國 108 年 12 月 22、23 日
地點:中央研究院數學研究所
整理:編輯室

肥田晴三 (Haruzo Hida) 教授 1952 年 8 月 2 日出生於大阪。 1980 年獲京都大學博士, 1977$\sim$1987 年任職於北海道大學, 1987 年起至今為 UCLA 特聘教授。 肥田教授專長為數論, 是 Galois 表現及模形式的 $p$ 進形變理論的先驅者之一, 自 80 年代開始發展的肥田理論 (Hida theory), 現已成為研究岩澤理論 (Iwasawa theory) 及自守表現的模性(modularity) 中不可或缺的工具。 他因在 Galois 表現及 $p$ 進模形式的研究, 特別是肥田理論對近三十年來數論發展的重大影響力, 獲得 2019 美國數學學會 Leroy P. Steele Prize for Seminal Contribution to Research 的殊榮。 在本訪談中, 肥田教授對數論有深入見解, 並對日本數學發展歷史提出有趣的看法。

劉太平 (以下簡稱「劉」): 你知道這一系列訪談的標題。

肥田晴三(Haruzo Hida, 以下簡稱「H」): 是的, 孔子論語 : 「有朋自遠方來」。 多麼好, 或是說 : 不是很好嗎?

劉: 那我就先問一個非正規的問題。 我有這樣的印象, 應該有些根據 : 日本人對數論做出許多貢獻, 似乎很喜歡數論, 有谷山豐(Taniyama) 1 1 谷山豐 (Yutaka Taniyama, 1927$\sim$1958), 日本數學家, 對數論有決定性貢獻, 1957 年提出 Taniyama 猜想 (或稱 Taniyama-Shimura conjecture), 不幸自殺身亡。 等人物。 你認為這是文化使然嗎?

H: 我想是的。 日本的數學起步得很早。 早在 16、 17 世紀, 就在一些神社 2 2 日本神道教舉行祭祀等活動的場所。 舉行競賽, 解些歐幾里得幾何問題或數論 Diophantine 問題。 一旦勝出, 會被記錄在一塊矩形木製匾額, 即所謂的算額 3 3 日本江戶時代書寫在匾額上的數學問題及其解答, 其意義為感謝神佛的恩賜、 表示對教師的尊崇, 或展示自己的研究成果。 神社和寺廟是當時交流的主要場所, 因此算額得到很高的關注, 吸引志同道合者共同討論切磋。 (日語發音: sangaku)上, 上頭寫著獲勝者的名字、 證明的描述, 可能還有幾何圖形。 匾額將獻給神道諸神。 日本許多神社都是如此。 這是一種競賽。 江戶時代 4 4 又稱德川時代 (1603$\sim$1867)。 (幕府時代)的一些著名數學家, 將此獲勝紀錄視為一種獎項。 他們討論大量的數論問題、 Diophantine 方程, 及歐幾里得幾何問題, 也計算諸如 $\pi$ 等特殊數的數值。 日本人似乎喜歡苦心思索, 認為這是一種接近神道諸神的途徑, 而這也是他們選擇在神社舉辦競賽的原因。 這純粹是日本人的習慣, 並非受到佛教影響, 而是神道教的一部分。

劉: 是這樣。 當我看日本料理時, 感到極注重擺盤, 講究的不單是食材; 比如生魚片的擺設等等。 對我這門外漢而言, 這種似乎是很離散式的思維。 例如, 拉麵就不是典型的日式料理。

H: 拉麵來自中國。

劉: 是的, 它不是典型的日本料理。 日本食物的呈現方式非常離散, 有模式、 美感, 譬如摺紙, 非常的日本風。

H: 這是日本的傳統文化。日本諸島與大陸阻絕。 尤其是在古早的年代, 如十世紀時, 日本與大陸相距甚遠, 不像英國, 無法游泳到大陸。 因為水流湍急且距離遙遠, 就算乘船, 從日本到大陸也非常困難, 這也就是何以我們能發展出獨特的日本體系。 九、 十、 十一世紀時, 日本貴族和皇帝舉辦花園詩會, 名為「歌會」(日語發音為: kakai 或 uta-kai)。 古日語也稱宴會為「Utage (うたげ) 」, 意思是「食物, 伴著詩詞及歌曲」; 此處的「うた」意思是「歌曲/詩詞」, 而「げ」意指「食物」。花園詩會上, 與會者交換詩歌, 相互較量即興創作的詩品 (可能表面上讚賞時令花, 卻隱含著對另一位參與者的浪漫情愫)。 創作一首具有雙重或三重意涵的詩, 並以美學的方式享用精緻美食和清酒, 是另一種接近神道諸神的方式, 這在當時的日本人心中根深蒂固。 例如, 你提及的日本料理擺盤方式, 也源自花園宴會, 後來受到武士和日本商人的茶會影響; 那是帶有武士氣息的貴族事物, 不同於自英國傳入的拉麵和日式咖哩飯。據我的印度學生說, 日式咖哩及印度咖哩截然不同; 它現在已成為日式料理, 呈現方式迥異於原來的印度咖哩。

謝銘倫 (以下簡稱「謝」): 味道不同。

H: 是的, 完全不一樣, 但有些可能不是源自這種貴族型態。 在之後承平的幕府時代, 武士也有了審美素養。 當然, 最初武士是指訓練有素的戰士, 但到了承平時期, 他們就成為恪守原則且學識淵博的人物。 他們從貴族傳統學了很多, 但更有紀律。 所以這類武士料理與早期的料理稍有不同。 相較於京都-大阪地區, 東京地區更為出色。 出菜順序日益簡短, 但每種食物份量都變多一些, 生魚片料理就是如此。 要做出優質的生魚片, 你需要一把非常鋒利的刀(及心智), 這就來自武士文化。 在十、 十一世紀貴族時期, 無法馬上食用海裡捕獲的生魚, 所以主要吃魚乾。 現今的生魚片和壽司是在武士時期的後期才發展出來。 壽司師傅往往個性難搞, 非常自豪。 而如果他很自豪, 通常會拿一把武士刀, 掛在壽司架後面的牆上, 並且不時驕傲地向顧客展示這把劍。 由於我來自京都--大阪地區, 不很喜歡這種作風, 但對東京人而言, 這或許具有吸引力。

劉: 容我問一些數論方面的問題。 我不是專家, 所以我的問題非常膚淺。 Andrew Wiles 5 5 Andrew John Wiles (1953$\sim$), 英國數學家, 證明費馬最後定理, 1997 年及 2016 年分獲沃爾夫獎及阿貝爾獎。 曾到史丹佛大學, 對費馬最後定理做公開演講。 他從古代的畢氏三元數談起。 演講結束時, 有些聽眾提問, 其中一個問題是 : Hardy 6 6 Godfrey Harold Hardy (1877$\sim$1947), 英國數學家, 對分析及解析數論有重大貢獻, 影響深遠。 1913 年發掘拉馬努金 (Ramanujan) 的才華, 之後兩人展開合作。 是否曾對費馬最後定理的最終解決做出貢獻? Andrew Wiles 說沒有, 但拉馬努金 (Ramanujan) 77 7 Srinivasa Ramanujan (1887$\sim$1920), 印度數學家, 未受過正規高等數學教育, 熱衷數論, 慣以直覺推導公式, 諸多理論由後人提出證明, 留下的公式引發大量研究。 他的生平在 2015 年拍成電影《天才無限家》。 有。 你對此有何看法?費馬最後定理終於得解, 誰是最至關緊要的? 我們都知道, 谷山豐居功厥偉。

H: 我認為, 當然, 其中一個關鍵是將橢圓曲線與模形式 (modular form) 聯繫起來, 這就是志村 8 8 志村五郎 (Goro Shimura, 1930$\sim$2019), 日本數學家, 1957 年與谷山豐提出谷山-志村猜想, 1960 年代構建志村簇。 他對數論、 算術幾何、 自守形式有開創性貢獻。 -- 谷山猜想 (Shimura-Taniyama conjecture)。 但更重要的也較少人說的是, Frey 9 9 Gerhard Frey (1944$\sim$), 德國數學家。 他在 1985 年建構的 Frey 曲線, 是費馬最後定理證明的一個關鍵。 發現費馬方程式各個整數解(如果有的話)的意義 : 選取一個費馬方程的解 A、 B、 C, 他據此建構出具有非常有趣性質的橢圓曲線, 導致該解可能不存在。 那麼, 要如何證明該解不存在呢? 谷山-志村猜想就派上用場了! 你可將給定的解, 聯繫上 Frey 所造的相關橢圓曲線的 Galois 表現, 進而聯繫上谷山-志村猜想給出的模形式, 之後 Ken Ribet 10 10 Kenneth Alan Ribet (1948$\sim$), 出生於美國, 任教於加州大學柏克萊分校, 研究代數數論與代數幾何。 他在 1986 年證明 Serre 的 $\vare$ 猜想, 是費馬最後定理證明的一個關鍵。 證明如此的模形式不存在。 當然, Andrew 做出極其深刻的貢獻, 但一個原初的想法或許是 Frey 及 Ken Ribet 提出的。

劉: 了解。

H: Ken Ribet 自 Frey 的工作獲悉此事後, 1980 年代在巴黎給了一場演講, 我記憶猶新。 演講廳裡, 我坐在井草準一 11 11 井草準一 (Jun-Ichi Igusa, 1924$\sim$2013), 日本數學家, 曾在約翰霍普金斯大學任教近四十年, 對代數幾何與數論貢獻卓著, 有以他的名字命名的 Igusa zeta 函數、 Igusa 曲線、 Igusa 簇。 (Jun-ichi Igusa)旁邊; 他非常興奮地聽著 Ribet 的演講, 說道 : 「喔, 好! 如果你能把這橢圓曲線與模形式關聯起來, 就搞定了。」 「喔, 志村五郎和谷山豐真厲害。」 我對他說 : 「你只是把一個困難的猜想轉化為另一個困難的猜想, 為什麼會這麼開心 ?」 他被我惹惱, 說道 : 「數學家不應該持這種態度!」 不論如何, 我自昔至今都對解決別人提出的難題興趣不大, 因此我當下覺得自己永遠不會嘗試它。 但井草準一是另一種人, 他被深深打動。

劉: 谷山豐是否試圖將代數和分析的東西在隱晦的意義下聯繫起來?

H: 沒錯。 數論(number theory)是唯一名稱中有「理論 (theory)」的數學分支。 實際上, 它沒有理論, 只是一堆難題的集合。 為了解決這些問題, 數論學家竭盡所能地利用可用的工具, 未必是分析, 也未必是代數。 Langlands 12 12 Robert Phelan Langlands (1936$\sim$), 現任普林斯頓高等研究院教授, 1967 及 1970 年提出 Langlands 綱領. 聯繫起數論、 表現理論、 調和分析等, 1996 年及 2007 年分獲沃爾夫獎及阿貝爾獎。 其中一項貢獻是將調和分析 (兼具表現理論的技巧) 引介到數論; 而 Erdös 13 13 Paul Erdös (1913$\sim$1996), 匈牙利籍數學家, 研究領域涵蓋組合數學、 圖論、 數論、 古典分析、 逼近理論、 集合論和機率論。 的貢獻或許是引入統計的思維方式。 因此數論涵蓋了一切。 換句話說, 我們沒有自己的理論, 須要融合他者。 數論的主要任務是解決難題。

劉: 谷山提出問題時還很年輕。在那之前, 他就認識 André Weil 14 14 André Weil (1906$\sim$1998), 法國重要數學家, 對數論和代數幾何有基礎性貢獻, 創辦並領導 Bourbaki 團隊。 。 我剛好有看過一篇文章 15 15 參見 https://www.ams.org/journals/bull/2009-46-04/S0273-0979-09-01270-1/S0273-0979-09-01270-1.pdf ; 我想你一定知道這篇文章。

H: 是的, 我知道日文版的。

劉: 沒錯, 最初是以日文發表。

H: 這是非常早期發表於 Sugaku 16 16 日本數學會所發行之《數學》期刊。 的一篇文章 17 17 Sugaku, 1956 年 7 卷 4 號, 268-272, 問題 12。

劉: 就年輕人而言, 能寫這樣的文章令人驚嘆。 某種意義下, 他實際上批評了 André Weil。 早年志村曾描述過谷山; 谷山非常年輕就融會貫通了許多數學知識, 讓他十分訝異。 你對谷山有何印象?

H: 我熟識志村, 但未曾見過谷山。他英年早逝, 但我從志村那裡聽到一些故事。 這兩位數學家有著完全不同的性格。谷山的數學很強, 但總是活在夢想裡, 有時拙於精確陳述事情。 志村不太作夢, 但一旦他得知了想法, 就會持續推進。 所以他們是很好的組合。 這兩個人不僅是朋友, 也是敵人。 如你所知, 一位數學家著實很強時, 朋友往往也同時是敵人。 顯然你不可能與這麼強的人始終好好相處。 我的意思是, 有時你會對他的夢想感到不悅, 半信半疑但不想明說。 那些想法或將沉浸在你的腦海深處, 之後腦海迸現出一些東西, 讓你想再次與他交談, 而他自然很高興。 他們就這樣成了朋友。 志村和 André Weil 的關係或許也是如此。 志村很尊敬 André Weil, 但也時常公開批評他; Weil 對志村亦如是。 在佛教和印度教, 人們會輪迴轉世重生; 有人問 Weil : 「如果這是真的, 你來世想成為什麼?」 Weil 說他想當中國人屋裡的貓。 為什麼呢? 中國人的屋子裡有很多東西可以閱讀。 Weil 會多種語言, 諸如梵語、 葡萄牙語; 但或許他遺憾自己無法將中文運用自如。 另一方面, 志村能隨心所欲地閱讀中文 (我也擅長於此)。 他曾告訴我, 普林斯頓大學的圖書館裡, 收藏許多中國古典文學作品和大量的中文書籍。 他問我 : 「你讀過一些嗎?」我回答 : 「我在普林斯頓時, 差不多讀過一百本左右。」 他說, 一百本? 接著他說, 他幾乎讀了三遍了! 或許他也同樣告訴 André Weil 這些, 讓 André Weil 有些忌妒。 當然這是我的揣測; 我在 Weil 對志村的一些回應中感覺到某些批評, 但這是我的猜測, 我其實不知道。

劉: 講得精采。 有位從事數論的人告訴我, 志村思考過某個特殊的東西, 但不清楚為什麼他要思考它。 結果這東西至關緊要, 像是志村簇 (Shimura variety)之類的。 你有這種印象嗎?為什麼志村要探討這個特殊的東西呢?

H: 志村說過, 他意圖創建某樣東西時, 就像射一枝箭; 但顯然錯失了目標時, 該如何是好? 只好將靶做大, 好讓箭正中靶心。 我相信這就是志村所描述的志村簇。 或許他打算解某個我不知道的問題, 但起初與目標相距甚遠, 所以他把東西做得更大, 才好打中靶心。

謝: 肥田教授, 你何時開始對數學產生興趣?

H: 我到大三才對數學產生興趣。 在那之前, 我對任何事物都沒什麼興趣。 儘管如此, 我著迷於閱讀日本、 中國及各地經典。 我很小就能讀日文、法文、德文和英文, 因此大量閱讀。 這很有趣, 就像重活了別人的人生, 但那並非人生的目的。 不知怎地, 我非常聰明, 什麼入學考試都能通過, 通常是勉強通過, 但無論如何都會通過, 幾乎沒失手過。 雖然我未曾為考試做準備, 但已自然而然學了大量事物。我就讀京都大學的頭兩年, 大學因為共產主義學運而關閉; 當時的京都大學十分激進。所以頭兩年我沒上過課, 一點都沒有。 那麼我做些什麼? 我教許多高中生成功考取京都大學(奇怪的是, 大學持續舉辦入學考試), 因而獲得豐厚的報酬, 十分富裕 (而我的家庭也很富裕)。 我很有錢, 也大量花錢, 沒有做任何有意義的事情。 那時我主修化學, 這意味你需要做很多實驗才能畢業。 到了大三, 學校突然開學 (驅逐了激進的學生後)。 學校決定奉送每位學生前兩年的學分, 而我需要在兩年內以體面的方式畢業。 我思忖 : 能做什麼? 化學? 沒辦法。 此時, 我有個朋友是數學迷, 他參加一些研究生私下辦的研討會, 其中之一在討論偏微分方程。 他自己則想成為拓樸學家。他建議我參加這個偏微分方程討論會。 他們在讀一本 Hörmander 18 18 Las Hörmander (1931$\sim$2012), 瑞典數學家, 1962 年、 1988 年分獲菲爾茲獎、 沃爾夫獎。 他的著作《Analysis of Linear Partial Differential Operators, I - IV》被公認為線性偏微分算子領域的經典。 的書, 我一無所知, 但我的朋友問我書中一些定理的涵義。 我說 : 「你問我這個?我不懂數學。」 他說 : 「嗯, 你比我聰明許多, 你可以的。」 於是, 我開始研究分析。 幾週內, 我反覆研習 L. Schwartz 19 19 Laurent Schwartz (1915$\sim$2002), 法國數學家, 是分佈理論的奠基者, 1950 年獲費爾茲獎。 的《Cours d'analyse》和一些 Bourbaki 的代數, 於是乎 Hörmander 的書變得十分有趣, 我也開始在討論會上推導一些證明。 當時我念過的數學書籍只有 Bourbaki 的《Algèbre》和《Algèbre Commutative》, 以及 Hörmander 線性偏微分方程的書, 我就是這樣起步的。 接著我認識了土井 20 20 土井公二 (Koji Doi), 立命館大學數學系教授, 研究數論。 (Doi), 他非常有趣, 最重要的, 他是不可思議的數論人。 當他發現一些數論上的東西時, 會欣喜若狂, 接著多半會開始喝清酒, 而後整晚邊喝酒邊談數學。 何其快樂啊! 我從未見過這種人。 我想 : 數學如此令人上癮, 我不妨試試。 這是我研究數論的開端。

謝: 所以你跟著土井攻讀博士學位? 或者?

H: 不。 志村可能沒有博士學位, 谷山應該也沒有, 這種狀況在當時的日本並不罕見。 因為這兩人那般前衛, 而日本教育體系如此僵化。 當時他們與老派教授格格不入, 似乎和兩位教授起過爭執。 他倆或許都不見容於菁英教育體系, 不得不在文理學院教些程度較低的大學課程 (東京大學當時有兩個校區 : 一個專司文理學科;另一個從事高等研究), 後來, 志村不得不轉赴大阪大學。 我雖沒抗爭過, 但總像個局外人。 我通常和土井約在酒吧討論, 而非在數學系館。 從此我大量喝酒。 土井能喝下一大瓶日本清酒, 我當年也毫不遜色。 我們就這樣以非傳統的方式成為好友 (不像教授和學生)。 我進研究所時(再次勉強通過考試), 他遠赴 Max Planck 研究院, 在 Bonn 的數學所待了數年。 此時我發現自己像個被孤立的局外漢, 因為所有研究生都畢業於京都大學數學教室, 曾主修數學。 而我雖從京都大學畢業, 但除了與森重文 21 21 森重文 (Shigefumi Mori, 1951$\sim$), 自 80 年代開始的三維代數簇方面的研究, 確立了代數簇上的極小模型理論架構, 影響了往後數十年代數幾何的發展。 參見本刊第33卷第 4 期, 「有朋自遠方來」專訪。%3-18 (Mori)聊過幾次外, 很少和數學系的學生交談。 之後吉田敬之 22 22 吉田敬之 (Hiroyuki Yoshida), 京都大學教授, 研究數論及代數幾何。 (Hiroyuki Yoshida)自普林斯頓返國擔任博士後; 他曾是志村的學生, 或許是當時唯一深入了解志村簇的人。 當時我已大致念完志村在發表志村簇之前寫的文章, 就去找吉田討論。 修了兩年的碩士課程後, 尚無博士學位, 我就到北海道大學擔任博士後(在土井的幫忙下, 他已自德國移居北海道)。 如果你在大學畢業兩年後, 早早得到了這樣一份工作, 你會接受的, 對吧? 我意識到要有博士學位才能升等, 所以和土井一起去詢問永田雅宜 23 23 永田雅宜 (Masayoshi Nagata, 1927$\sim$2008), 京都大學教授, 研究數論及代數幾何。 (Masayoshi Nagata), 他是京都大學代數組的負責人。 他為我成立了博士學位委員會, 由土方弘明 24 24 土方弘明 (Hiroaki Hijikata), 京都大學教授, 研究代數幾何。 (Hiroaki Hijikata)教授主持。當時我已發表了幾篇論文, 因此拿到了博士學位。 但我沒有指導教授。

謝: 但你早期曾研究過伴隨 $L$ 函數值 (adjoint $L$-values) 和同餘數 (congruence number), 而當時土井也在研究這些東西。

H: 沒錯, 但那不是我的博士論文。 我的博士論文在探討志村曲線 (Shimura curves) 的 Jacobians 的 CM 因子分類。 我的碩士論文也關乎 CM 25 25 即 Complex Multiplication。 因子。 大約在那時候, 土井在數值上發現同餘質數, 一如往常地非常興奮, 問我 : 「一旦藉由質數, 計算出頭幾個 Hecke 特徵值, 發現同餘的數值, 可以說所有 Hecke 特徵值都有此同餘性嗎?」當然, 對於 weight 2 形式, 正如 Ohta 26 26 太田雅己 (Masami Ohta), 日本東海大學教授, 研究數論。所證明, 要確保所有特徵值的同餘性存在, 可利用 Riemann-Roch 定理, 找到第一特徵值所需個數的上下界。 我告訴他, 有個更容易的計算方式, 可證明對所有 weight 都有效的同餘性存在, 你只須將一些模形式寫成 Hecke 特徵形式的線性組合, 找到起始形式的線性組合係數的分母, 那就是同餘數, 也就是對所有 Hecke 特徵值都有效的同餘性。 他非常高興, 接著又問我 : 「是否有辦法將分母移到某個值的分子?」 我回答他 : 這個分母是伴隨 $L$ 函數值 (或等價地, 是起始形式的 self-Petersson 內積之代數部分)。 這段談話讓他開始對我刮目相看。

謝: 我明白了, 但後來你持續研究伴隨 $L$ 函數值迄今, 伴隨 $L$ 函數值似乎是你的一項主要研究主題。

H: 這是因為我認為它是 $L$ 函數值中最簡單的。

謝: 因為你寫了許多關於這方面的文章, 而且你在 1968 年的論文中, 發現了大 Galois 表現 (big Galois representation) 的肥田族 (Hida family)。

H: 1986 年。

謝: 86, 沒錯。 在文章的最後, 你將此 Galois 表現的 $p$-adic 族應用在伴隨值和同餘數。 你是如何找出此大 Galois 表現的? 你一開始如何得知此 Galois 表現 $p$-adic 族可以應用在這類問題上?

H: 讓模形式和 Galois 表現形成一個族群?

謝: 是的, 你是如何想到要建構這個 Galois 表現族呢? 因為當時並沒有這類 $\cdots$

H: 1979 至 1981 年間, 我待在普林斯頓高等研究院。 話說大三那年的 12 月左右, 我聽過志村的演講。 美國數學學會 (AMS) 五月將發表我為志村寫的紀念文章, 其中描述了我與他初次晤面的往事。 當時我去東京教育大學(現稱筑波大學) 聽志村演講。 我對他的 CM 阿爾貝簇 (CM abelian variety) 的模早有深入的了解。 演講結束後, 博士班的學長被邀請到另一間小房間向他提問。 雖然當時我還是個大學生, 但也走進房間。 志村儼然恪守原則的武士, 望之生畏, 房間裡的日本學生們更覺如此, 因此一開始沒人提問。 但我覺得這樣不大好, 就開始提問, 他也回答得很精采。 接著又是一片尷尬的靜默。 我決定再問一個問題, 但這次問得不怎麼好, 讓他有些激動(也許不是生氣)。 他對我說 : 你的提問, 是在嘗試為你的推測或白日夢獲取訊息, 圖謀私利; 這形同偷竊, 道德上不圓滿。最後他說 : 「要做你自己的數學!」這讓我大為感動; 天啊! 要做自己的數學(我未曾以種方式看待數學)。 因此我就開始做我自己的數學。 其實志村對我的問題或許有點讚賞。 幾年後, 我的碩士論文對 Hilbert 模簇 (Hilbert modular varieties) 的中間 (intermediate) Jacobian 的 CM 因子進行了分類。 這告訴我們一些週期關係, 但這部分我沒有寫進論文。 而志村當時正在處理更一般情況的週期關係。 我寄給他我的結果, 大概獲他賞識, 因此贊助我赴普林斯頓高等研究院訪問, 擔任研究院學者 (member), 儘管沒有博士學位。 我就去了普林斯頓。

1979年我抵達普林斯頓時, 志村對我說:「每星期來系館喝茶吧, 我們聊聊 (chat)」。 「聊聊」是什麼意思? 他似乎沒教我什麼, 我想或許這意味著我需要講些有趣的東西。 喝茶時, 他只是聽我報告, 然後或許給些評論, 或許告訴我他想到什麼, 所以我需要創生出一些東西, 或者說些什麼。 有時會出現一些中國文學、日本文學或數學。 我需要預先構想出新的想法, 然後告訴他。 當然他可能會說我的想法行不通, 但無論如何, 我需要每週都有產出。 經由這些對談, 我寫了三篇論文, 包括81年關於同餘數的論文。 第一年, 我熬過這些會面。 第二年, 我得以展延訪問期限, 因為那三篇論文在所裡深獲好評。

第二年過得辛苦。 我開始對同餘數做更系統化的思考。 我和 Langlands 談過。 在他和 Harish-Chandra 27 27 Harish-Chandra (1923$\sim$1983), 印度裔美國數學家, 對表現理論中半簡單李群的調和分析有基礎性貢獻。的理論中, 提到 Hilbert 空間的自守形式 (automorphic forms) 的尖譜 (cuspidal spectrum) 是離散的; 我問自己 : 何以是離散的? 如果是離散的, 你就無法從一處到另一處。 如果想要有連續性, 好從初始的自守形式得到其他自守形式的訊息, 你就必須改變基底拓樸 (base topology); 這是我與 Langlands 交談後最早先的感想。 更確切地說, 何以阿基米德的情況為離散? 因為我們的世界是弧連通的(arcwise-connected), 內積的存在致使值譜 (spectrum) 離散, 因此我認為基底拓樸必須為超度量 (ultra-metric), 才能得到連續值譜。 於是我開始嘗試對給定的模形式做形變(亦即, 在超度量拓樸下連續移動模形式)。 我曾和志村討論過這個想法, 認為這可能會產生出類似岩澤理論 (Iwasawa theory) GL(2) 型版本的東西。 志村初次聽到時很高興。 隔週, 我告訴他類似的東西; 他問我 : 「上週有做出其它東西嗎?」好吧, 首先, 這是個大工程, 你無法在一週內做成, 「這是當然, 你無法一週內做成, 但你應該有其他想法, 而後會有各式各樣的想法, 藉由這些, 你能存活較久些。」這是他的做事方式 : 如果你射出的箭錯失了目標, 那麼就把靶做大些; 就是這樣的哲學。 那是段艱辛的時期, 但我逐漸發展出理論。

回日本後, 我在 1981 年 12 月的證明了 1986 年發表的結果。 我將初稿寄給志村, 以及我在研究院認識的 Coates 28 28 John Henry Coates (1945$\sim$), 澳洲數學家, 研究代數數論與算術幾何, 致力引進 Iwasawa 理論到橢圓曲線, 貢獻卓著。參見本刊第 26 卷第 2 期, 「有朋自遠方來」專訪。%3-? 、 Mazur 29 29 Barry Charles Mazur (1937$\sim$), 出生於美國, 主要貢獻包括算術幾何中的 Mazur torsion 定理, 幾何拓樸中的 Mazur swindle, 及微分拓樸中的 Mazur 流形。 等人, 但似乎沒多少人相信我的結果, 因為它是全然創新的。 因此耗時四、五年才得以發表它。 我們在巴黎舉辦了一場關於這個結果的研討會, 與會者有我、 Richard Taylor 30 30 Richard Lawrence Taylor (1962$\sim$), 出生於英國, 1995 年與 Andrew Wiles 協力解決費馬最後定理原先證明的疏失, 之後對谷山志村猜想、 一般線性群的局部 Langlands 猜想、 Sato-Tate 猜想有卓越貢獻。 、 Andrew Wiles 及 Coates 的一些年輕學生。 我們實地閱讀了初稿。 與會者或許有些是審察者, 儘管我沒有任何實際證據。

謝: 那是機密 $\cdots$

劉: 但這故事應該記錄在案。

H: 它就這麼出版了。 1983 年到 1986 年間我待在巴黎, 期間我們舉辦研討會, 而這也是我受邀長期待在巴黎的主要目的及原因。 某種意義下, 志村的貢獻很大。 他雖然未曾教我任何數學, 但確實督促我有所作為。 就如他最初所言 : 「要做你自己的數學。」這是他的原則, 被他強加在我身上。

劉: 他覺得你做得到, 所以這麼考驗你, 我想他不會對其他人這麼說。

H: 在東京教育大學與他初結識時, 如果我沒記錯的話, 沒人問他嚴肅的問題, 也許只有我這麼做。

謝: Mazur 的 Galois 形變理論是在你的論文之後發表的?

H: 沒錯。 我在巴黎時, 大概是 1984 夏天, 他到法國高等科學研究院 31 31 1958 年由實業家兼數學家 Léon Motchane 創辦, 為從事數學和理論物理尖端研究的機構, 位於巴黎南郊。(IHÉS), 而我也剛從日本過去。 我在 1983 年曾造訪巴黎, 但後來回日本, 1984 年再次造訪巴黎, 待在法國高等科學研究院, 直到 1986 年。 那時是六月或七月, 我記不清楚了。 隔天一早, 有人來敲我在法國高等科學研究院的公寓房門。 「嗯? 會是誰呢?」我開了門, Mazur 站在那裡。 我告訴他: 「我才剛到巴黎, 隔天見。」 次日, 我到他辦公室聊天。 我很睏, 但他解說了他的形變理論。 他說:「因為你的東西, 我搞定了!」他非常興奮。 我告訴他, 對與初始 Galois 表現同餘的所有 Galois 表現, 他賦予了它們一個自然排序。 而後他取投影極限(projective limit), 得到最廣 (universal) 的形變。 我問他 : 「正確吧? 」如果我沒記錯, 他回答: 「很大程度上」。 結果這構造(對後來的代數數論發展)非常好用。 那是段瘋狂歲月。

劉: 他寫了一篇關於你的工作的論文, 是吧?

謝: 好, 下一個問題關乎 $p$-adic 的模形式理論。 $p$-adic 的模形式理論是 Serre 32 32 Jean-Pierre Serre (1926$\sim$), 法國數學家, 對拓樸學、 代數幾何及數論有重大貢獻。 曾獲頒 1954 年的費爾茲獎及 2003 年的阿貝爾獎。 和 Katz 33 33 Nicholas Katz (1943$\sim$), 出生於美國, 任教於普林斯頓大學, 研究算術幾何、 $p$-adic 方法、 模問題、 Zeta 函數及各種 $L$-函數的零點。 在 70 年代初期發展的。 在之後的 80 年代, 似乎並沒有太大的進展。 看起來那段時期沒有人確實嘗試將 Katz 的想法推廣, 直到你發表關於凝聚上同調 (coherent cohomology) 的控制理論的論文。 你何以決定藉由凝聚上同調來做這方面的研究呢? 我想在此之前你曾著手於拓樸的 Betti 上同調的控制定理?

H: 錯了, 順序相反。

謝: 喔 ! 較晚 ?

H: 拓樸方面的論文較早發表。 Springer 34 34 總部位於德國的出版公司, 主要出版科學、 技術、 數學和醫學領域的教科書、 學術參考書及評論性雜誌。 的出版速度比《Annales Ecole Normale Scientifiques35 35 法國數學學會出版的法國數學科學雜誌。 於 1864 年創辦, 主要發表與數學、 物理、 化學、 生物學和地質學相關的文章。 1900 年成為一本純粹的數學期刊。 快, 所以你知道的這篇論文 1986 年發表在 Springer, 但 Ecole Normale 那篇處理凝聚上同調的論文較晚才發表, 雖然它較早被接受。 Springer 那篇較快發表。順序正好相反。

謝: 在 80 年代, 並沒有太多人研究這種較高階群的 $p$-adic 模形式, 對吧? 我印象中是這樣, 但不太確定。

H: 我也不怎麼確定。

謝: 因為我只讀過你在 JIMJ 36 36 Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu.發表的那篇論文。

H: 當然, 你知道, Serre 著手研究, 而 Katz 創建了理論。

謝: 是的, Gouvêa 37 37 Fernando Quadros Gouvêa (1957$\sim$), 巴西數學家, 任教於美國緬因州 Colby 學院, 研究數論、 算術幾何及數學史。也是。

H: 沒錯, 他也是。對於較高階的群, 一旦給定初始資訊, 就不那麼棘手。 那時我需要擴展我的理論, 讓它涵蓋那些具有志村簇的一般約化群(reductive group), 而唯一的途徑要經由凝聚上同調, 因為 torsion 的出現使拓樸上同調群變得很難研究。 所以唯一可行的方法是用 Katz 的策略。 那並不難, 但沒有人像我一樣有動機這樣做, 顯然地, 我有動機且有足夠的才能去做。 就這樣, 我後來寫了一本書。

謝: 你指的是黃皮書? 那本黃色書皮的書?

H: 第一本黃皮書。

謝: 當時你有動機將東西推廣到較高階的群。 那麼你是否也想過如何應用這些定理?

H: 當時我建構了許多 $p$-adic $L$-函數。 就像 Fabian 38 38 Fabian Januszewski, 本訪談的訪問者之一, 任教於德國 Paderborn 大學。 目前在做的, 一旦你能證明一個好的控制理論, 或許就對更高階的群這麼做。 但實際上我並沒有這麼做。 沒往這個方向發展的首要原因, 是我的多變數的 $p$-adic $L$-函數在當時很不受青睞, 乏人問津。 對於傳統岩澤(Iwasawa)理論而言, 傳統的分圓 (cyclotomic) 變數已足夠。 那是拜岩澤所賜。 所以何苦增加變數呢? 我感到很厭倦, 後來不再構建 $p$-adic $L$-函數, 但心力已付出。 後來我發現自己可以證明其他的東西, 譬如 $q$-展開 ($q$-expansion)原理。 這些事並非始料所及, 因此我變得非常忙碌, 沒再對 $p$-adic $L$-函數多做嘗試。 現在一些年輕人著手於更大的約化群, 試圖建構多變數的 $p$-adic $L$-函數(遵循我曾經計畫過的途徑)。

謝: 後來你發表了關於非零 $L$-函數值的論文。 2004 年就有論文相關工作, 2010 年發表在 Annals。 在我看來, 你改變了研究風格, 著手於這些非零問題。

H: 不。 箇中關鍵是, 1990 年代我與 J. Tilouine 39 39 Jacques Tilouine (1958$\sim$), 法國數學家, 研究數論、 自守式、 岩澤理論。證明了反分圓的 (anticyclotomic) 單邊可除性, 亦即將 Katz 反分圓的 $L$-函數值除以相對應的岩澤冪級數。 而要證明反分圓的主要猜想, 亦即等號成立, 我需要 $L$-函數值非零。

謝: 當時你證明了除了 $\mu$-不變量之外成立的不等式。

H: 我們證明 $L$-函數可整除特徵冪級數直至 $p$ 次冪。 至於反向的恆等式, 我當時還無法處理。 也因為 $\mu$ 的問題, 我改變途徑, 首先嘗試證明 $\mu=0$。

謝: 但那是 1993 年的事, 約十年後你又重返這問題。

H: 不。 不。 重點是我一直在研究自守式的此種完整性(integrality)。 如你所知, 志村簇的整模型對此不可或缺。 這是我寫那本黃皮書的原因; 在書裡我提出了 $p$-adic 整理論, 而不只建構了 $p$-adic $L$ 函數, 儘管這也是我寫書的目的之一。 我確實做到了, 儘管實際上很難決定 Katz $p$-adic $L$ 的 $\mu$-不變量。 $\mu$ 之所以為零是因深入使用了 Ribet 所證明的 $q$-展開原理, 我在書中重證此事。 這篇 $\mu$-不變量的論文困難重重, 耗時十年才得以發表。 我犯了許多錯誤, 翟敬立完善修正了一些, 我也修正了其他一些, 所以耗時良久才發表。 其間的研究十分艱難。 我寫的那篇探討非零模 (modulo) Hecke $L$ 值之質數的論文, 假設了這篇 $\mu$-不變量論文的建構成立。 這需要使用大量的算術幾何。 敬立的協助不可或缺。

謝: 我想我讀的是2003的版本, 目前的版本與原始版本大有出入。

H: 2001 年, 我在新竹的數學研究所給了一場演講, 敬立也在場。 他指出一個錯誤, 我們試著修正它。修正好之後, 我又發現了其它錯誤, 並進行了修正, 耗時甚久。 另一方面, 早期的審稿者似乎毫無助益, 其中一位甚至連文章的策略都不甚了解, 因而曠日廢時。 最後總算有了一位非常了解這篇論文的審稿者。

謝: 起初或許沒有 $\cdots$

H: 當時的編輯不是我以為的 Katz, 而是 Andrew Wiles。 Andrew 不很擅長這類型的算術幾何, 所以沒能找到好的審稿者。 後來 Andrew 對我說, 他為此感到抱歉。 其實沒有任何理由讓他向我道歉, 因為我真是犯了大量錯誤。 大多數錯誤並未被早期的審稿者察覺, 都是敬立和我自己發現的。

謝: 現在看來, 你的結果和 Cornut 40 40 Christophe Cornut, 法國數學家, 任職於CNRS, 研究數論、 算術幾何。-Vatsal 41 41 Vinayak Vatsal, 加拿大數學家, 任教於英屬哥倫比亞大學(UBC), 以遍歷理論研究岩澤理論的橢圓曲線。 的結果是我們能證明 $L$-值非零的僅有例子。 你認為你的方法能推廣到稍大一些的群嗎? 還是依舊很困難?

H: 我認為在 Hilbert 模簇的情況, Hilbert 模簇的維度等於反分圓 Katz $p$-adic $L$-函數的變數個數。 此種巧合十分重要。 一旦有了這種巧合, 或許就能進一步推廣, 涵蓋諸如一些具有特定符號的么正 (unitary) 群。

謝: 喔! 較高的正交群。

H: 雙倍 (doubling) 法。 志村簇 ${\rm U}(n,n)$ 的維度為 $n^2$, 而其對應的 $p$-adic $L$-函數會有 $n$ 個變數, 所以這或許行不通。 但 ${\rm U}(n,1)$ 或許可行。 我告訴許多 $p$-adic 分析學者這個想法, 但他們似乎畏懼算術幾何。 我也告訴很多算術幾何學家這個想法, 但他們畏懼這麼巨大的群及 Langlands 理論。 如果我的腦子足堪負荷 (我還有其他優先計畫), 我可以嘗試一下。

謝: 所以沒有人真的著手於此。

H: 據我所知是沒有。 我可以做做看, 但現在我痛恨耗時費力的工作, 而它無疑是項艱鉅的工作。 我喜歡 GL(2), 且我仍可為 GL(2) 做很多事情。 如果我能再活十年, 或許會試試。 但目前我還有很多事要做, 所以不做它了。

謝: ${\rm U}(n,1)$ 可以一試。 這也是明年會議的目標之一。 這是非常重要的問題。

H: 我認為 ${\rm U}(n,1)$ 是唯一的選擇。 ${\rm U}(n,1)$ 真是好。

謝: 這顯然是非常重要的非零情況。 現今大家建構許多與代數 cycle 有關的 $p$-adic $L$ 函數, 但卻沒有證明這些代數 cycle 非零, 而這是證明它的唯一途徑。

H: 那些相關的 0-cycle 是 CM 點的變種。 但更高的上同調更為困難, 沒有真正的已知方法可用。 這也是研究分圓 $\mu$-不變量的困難所在, 亦即模符號的維度更高。 因此這很困難。

謝: 那是另一項難題了!

Fabian Januszewski (以下簡稱「J」): 據說 Poincaré 42 42 Jules Henri Poincaré (1854$\sim$1912), 法國數學家, 對數學物理、 天體力學有基礎性貢獻, 研究三體問題而發現混沌確定性系統。 他也是拓樸學的奠基者, 提出 Poincaré 猜想。 每天僅花兩小時研究數學, 僅管他是位非常出色的數學家。

H: 沒錯。

J: 你寫了諸多重要文章, 還出版了七本教科書。 我相信你還會有更多著作。 你如何環繞著數學安排生活?

H: 我不知道, 但年輕時我可以像Grothendieck 43 43 Alexander Grothendieck (1928$\sim$2014), 法國數學家, 1966年獲菲爾茲獎。 他的工作拓展了代數幾何此一領域, 將交換代數、 同調代數、 層論以及範疇論的主要概念納入其基礎中。 那樣一天 24 小時做數學。 一旦我覺得數學有趣, 就全然上癮, 會日以繼夜地做。 但我並沒有寫很多論文, 因為我在日本的大學已有終身職。 當時在日本任何一所大學, 升等基本上自動發生, 不需要有所產出, 所以我可以做許多有趣的事, 諸如詩歌等等, 也可以和土井一起喝清酒作樂。 因此我的著作不多。後來我到加州大學洛杉磯分校 (UCLA), 發現大家競相寫論文。我想我當然也能如此, 於是就動手寫。 當時我有庫藏充足的新結果。 我之前在普林斯頓時, 開始鉅細靡遺地紀錄每一件感興趣的東西, 這是志村建議的。 每週我與他會面時, 他不知何故都記得我一週前告訴他的每件事;如果我持不同說詞 (有些不一致), 他就會指出來, 問我 : 「你真的有做筆記嗎?」 沒有, 我只是把它們從腦海中抓出來。他建議我將每個證明和所有細節都寫在筆記裡, 他說 : 「有朝一日你會懂它的好。」 因此我開始這樣做, 這些寫好的細節讓我輕易寫出論文, 非常快速。

J: 非常有效率的日本方式。

H: 志村另有值得一提之處。 有人告訴我他有兩張桌子。 他的辦公室確實是如此 : 辦公室很大, 遠大於現在我們所在的這間, 前頭有一張大桌子, 後頭有另一張大桌子。 他通常坐在後桌的後面;有人造訪時, 他到前桌迎接客人, 而後桌之上放著他的手稿(及一些著述)。 因此, 訪客看不到他寫的任何東西 (如此他可保密)。 我聽說他家裡也同樣有兩張大桌子; 我不知道是否屬實, 我從未進去過他家的辦公室。他的房子也很大。

他寫了許多艱深的論文, 用打字機在紙上打字。 一旦手稿打好, 他將那厚厚的一疊紙扔到後面的桌子, 將它遺忘, 一年後再重新讀它。 他以這種方式發現錯誤。再次閱讀時, 他發現自己多已忘記。 這是他犯錯不多的主要原因。 我自己並沒有這麼做, 寫完就發表, 所以犯了很多錯, 如果我能像志村那麼做, 就可以避免犯錯。 他的紅皮書很厚一本, 其中只有一個錯誤, 而這無可避免, 因為他沒用概形理論(scheme theory)。

J: 現在可以清楚地說他犯了個錯誤。近來, 但也不是太新近, 因為費馬最後定理的證明, 數論變得更受學生歡迎。你對年輕學子們是否有些建議?

H: 啊, 做你自己的數學吧!如果學生做自己的數學, 拿到博士學位畢業, 指導教授會非常高興的。 你不需要給他任何建議。

J: 沒錯, 我想你已經回答完這個問題了, 是吧? 回答好了。

謝: 是的, 已經完好了, 但我還有個額外的問題。 現今在日本, 或這麼說, 在日本和台灣, 我知道剛畢業的博士很難找到工作, 數論方面更是如此。 因此你對甫獲學位的博士是否有些建議?該如何處理這種情況? 我認為日本的情況或許更嚴重, 至少許多我認識的人是如此。 他們最初甚至找不到博士後的工作, 需要撐過第一年的無薪狀況。 你對此是否有些建議? 該如何面對這種狀況?

H: 我認為這個問題無解。 早年這些先進國家耗盡了世界資源。 如果你的國家較早開發, 那麼就能存活久一些。 這就是已開發國家現在相當富裕的原因。 但局勢已變, 許多新國家進入了開發階段。 過去已開發國家學生人數不多, 能提供工作給他們, 且人口較年輕, 因此教職數量持續增長。 現在的情況恰好相反, 我的意思是, 那些已開發國家某種程度上剝削了開發中國家, 而這些開發中的國家現在也發展得很好; 另一方面, 這些先進國家自然會日漸衰敗, 因為老人如此多。 特別是日本, 如果你搭乘地鐵或巴士, 大多數人都像我這樣, 因此有許多提供給老人和婦女的博愛座, 我也可以坐; 有些人看起來年紀遠大於我。你知道的, 年輕人可能需要在開發中國家找工作, 是吧? 像是印度和中國之類的。 現在中國大陸發展得非常好, 但似乎仍有許多工作機會。或許薪水低一些, 生活水平低一點, 但你需要付出代價才會有收穫。 我想這或許是唯一的辦法。 以此方式, 開發中國家有較好的教師, 因而變得更好, 發展得更快。 反觀已開發國家, 或將更往下坡走。

謝: 這和台灣的狀況類似, 很多做代數的人都在中國、甚至馬來西亞找到工作。

H: 沒錯。 我造訪中國時, 遇到很多日本年輕人, 他們都在做博士後之類的, 這很好。

謝: 很長一段時間了。

H: 我認為在日本之外的地方工作, 會讓日本人更具國際觀。 日本人在精神上頗為孤立, 毫無世界主義觀。 這讓他們的文化非常獨特甚或有趣, 就如同我們訪談開始時所提。 但這得付出代價;他們太過日本化, 無法應付其他類型的人。 因此我認為離鄉背井或許對他們有益, 特別是有才華的人。 我想他們也會因此而學會其他語言。

J: 的確。 你是否同意這樣的觀點 : 如果將科學視為階層結構, 例如有學生、 有研究生、 有博士後、 有助理教授、 副教授和教授, 我的感想是, 這個畫面有個重大問題, 就是金字塔日益平坦。 但我認為它要陡峭些才較合理, 你明白我的意思吧?

H: 是的。 但這階層結構基本上源自德國, 不是嗎?

謝: 德國的狀況最為嚴重。

H: 日本從德國引進這個系統, 所以有一個數論的正教授, 然後兩個助理/副教授, 接著或許是三或四個助理。

J: 但現在日本的狀況變了。

H: 沒錯, 沒有其他雇用年輕人的辦法。

J: 是的, 但問題是 $\cdots$

H: 正教授有龐大的辦公室。

J: 你認為我們需要的數學家數量, 會等同於現有的學生數量嗎?

謝: 那麼多數論學家 $\cdots$

H: 喔! 何其多 $\cdots$

J: 世界上有如此多博士生, 特別是數學方面, 比我們實際上的數學家還多。

H: 我認為諸如生化之類的東西, 學生數量 $\cdots$ 當然, 他們有大量職缺。 大部分純數或數論的博士生都知道自己無法賺大錢, 所以念博士與錢無關。 因此我們仍占少數, 是吧?

J: 沒錯, 職場前景很差, 也沒有太多學生, 但和工作職缺相比仍算多。 有許多教授, 數量龐大, 所以我印象中博士生人數仍持續增加。

謝: 的確, 台灣是這樣, 我就不清楚日本是如何了。

J: 教授人數幾乎沒什麼變化, 數論領域的教授甚或變少了, 因為數學本身較多元 $\cdots$

H: 因為年輕人的數量在減少, 因此必須限制教師的數量。 日本無疑是如此, 所以無可奈何。 或許繁榮的日子已不再。 現在即使在中國, 年輕人口也因一胎化而下降, 而韓國平均每位婦女只有 0.9 個孩子 $\cdots$

謝: 台灣也一樣, 0.9。

H: 是的, 日本則差不多是 1.2。 首先得處理這樣的問題, 對吧?不然整個地球都成了老人世界。

謝、J: 好的, 非常感謝。

---本文訪問者劉太平、 謝銘倫任職中央研究院數學研究所, Fabian Januszewski 任教德國 Paderborn 大學數學系---