專訪 姚鴻澤教授

策劃 : 劉太平
第一次訪談 : 李瑩英(以下簡稱「李」)
(時間 : 民國八十九年夏天)
第二次訪談 : 尤釋賢(以下簡稱「尤」) 陳俊全(以下簡稱「陳」)
(時間 : 民國九十年八月)
地點 : 台灣大學數學系
整理 : 李瑩英、陳俊全

姚鴻澤 1981年畢業於台灣大學數學系, 1987年獲得普林斯敦大學博士學位。 曾擔任紐約大學Courant Institute 教授, 目前為史丹佛大學教授。 2000年獲得Poincaré Prize及以獎勵對人類文明有重大貢獻的麥克阿瑟獎。 2001年更被選為美國藝術及科學院院士並獲得晨興數學金牌獎。 2002年獲選為中央研究院院士。姚博士的專長在於機率論、統計力學及量子力學。 對多體複雜系統的物質穩定性問題有重大貢獻, 該項工作並為天文物理中星球穩定性問題提供了堅實的理論基礎。 對於如何從微觀粒子的基本原理去推導出巨觀系統的性質, 一直是數學及物理上非常困難的挑戰。姚博士引入了新的想法及技巧, 從統計力學原理嚴格推導出巨觀的 Euler及Navier-Stokes方程,是這方面極大的突破。近年來, 姚博士把注意力放到量子動力學相關的題材上,是一個有待開發的研究領域。

一. 自修數學

李: 我知道你在高中時, 就讀了一些大學的教材。 請問是什麼時候開始自修的? 聯考時, 為什麼會填數學系作第一志願呢?

姚: 高一下學期吧! 一開始念 Johnson 微積分的中文版, 念到級數時有點糊塗, 所以又重新開始。 後來繼續念了下冊, 這樣大約花了一學期。 接著讀了兩、三本線性代數, 也大約花了一學期。 因為我覺得微積分後面的部分讀得不是很好, 想重讀, 一個朋友建議我直接讀高微, 所以就讀了高微, 另外又讀了群論和環論, 這時差不多是高二結束的時候。 這期間我也讀了普通物理和力學。 但是當我想繼續讀進一步的書籍時, 因為大多是原文書, 英文實在太多, 無法讀下去。 到了高二暑假, 決定重讀高微。 那時選的是 Apostol 的書, 書中的習題除了最後一、二章外基本上每題都做完, 這大概是高三上學期。 我也嘗試看實變, 但看不懂, 因為太多 measure theory。 我那時花了很多時間在這上面, 蠻可惜的。 在高中時, 令我覺得很高興而且對我幫助最大的是 Apostol 的習題全做了。 後來在大學的分析通論課程中, 我把實變的習題也都全做了, 這對我的幫助也很大。
聯考時, 只考慮選數學或物理。 因為我讀的數學書, 遠比物理要多很多, 而19世紀的數學很吸引人, 不但容易上手, 也很容易發現它的趣味, 這大概是為什麼我會選數學的原因。

李: 在自修時, 怎麼知道要讀什麼書呢? 譬如說你很清楚高微之後要讀實變, 選的書也大都是有名的教科書。 有人提供你這些協助嗎?

姚: 第一本書是隨便買的, 之後看書本後面的 reference 就曉得要找什麼書了。 會讀 Apostol, 是因為我的高中數學老師提過這是他們以前的教科書, 而且全班被當, 我很好奇, 就買來看看。 基本上, 我高中時自修大學的教材, 沒什麼困難, 但在大學時, 我自修研究所的課程就有些困難。

李: 為什麼? 是當時雜務太多嗎?

姚: 不是, 研究所的數學, 不應該只是直接拿書來讀, 也應該找些題目來做, 同時讀些 paper, 這樣才會有自己的方向。

李: 你高中做 Apostol 的習題, 難道沒有碰到困難嗎? 這本書對大部分大學生都有些困難。

姚: 我每天也只能做一、兩個困難的題目。 簡單的題目很快就可以做出來, 難的題目, 就要花兩、三小時去想。

李: 那時每天都花多少時間讀數學?

姚: 高一、高二時, 一天至少花10個小時讀數學吧! 每天在學校的時間, 大概可以讀個5小時, 回來後差不多也可以讀個5小時。

李: 這也是因為興趣所在, 方能如此吧!

姚: 也不全是, 因為高中太無聊了。 學校的課程並不吸引人, 又必須坐在那裡, 沒有其他的事可做, 所以只好讀自己的書。

李: 當初又為什麼會開始自修呢? 是對數學特別感興趣嗎?

陳: 對呀! 可不可說一下你什麼時候開始對數學與物理這些題材感興趣?

姚: 我對數學產生興趣是很早的時候, 初中開始就自己去找書看。 那個時候不是有很多幾何做圖的題目嗎? 我就去買一大堆書, 因為實在也沒什麼其它事情, 便把上面的題目幾乎全部都做完。
不過初中的時候遇到一些困難, 所以沒有自修高中數學。 由於對幾何很感興趣, 想去讀更深的題材。 可是家裡什麼書都沒有, 找到我爸爸的一本范氏大代數就拿來看。 看到書上寫 $A_1$, 我搞不清 $A$ 底下一個1, 是什麼意思。 去請問數學老師。 數學老師說: 唉, 不要讀這一本。 由於家裡也沒有其它的書可以看, 只好就算了。 所以當時在初中是無法讀那些題材的, 一直要到高中才慢慢沒有這些問題。 那麼高中為什麼會開始自修數學呢? 高中數學書上講到的一些我總不是很滿意, 它後面好像還有很多東西沒講清楚, 所以我就去找一些書。 因為高中數學很快就念完了, 接下來已經沒什麼可看, 於是就去讀微積分及其他更深的書。 像我這樣在高中時自修, 其實沒什麼特別。 台灣數學界很多人都是如此的。 我想這其中對我個人影響比較大的, 就是找一個題材, 把所有的習題, 真的從頭到尾都做完。 物理方面我也讀了一些, 可是後來讀不下去了。 我讀了幾百頁, 才知道普通物理比較難念。 後來也才知道物理跟數學不同, 物理不是那麼有前後邏輯性。

尤: 這是否因為讀物理的人常說 intuition? 這跟數學家所說的 intuition 是否不同?

姚: 學生時代, intuition 的問題還不到你說的地步。 當時的問題是第一個英文不夠好。 第二個則是物理其實比較沒有辦法自修。 物理比較需要別人跟你講一講, 它不是完完全全的邏輯。 在論證或說明一個現象的時候, 它中間有很多步驟其實有很大的 gap。 這些 gap 和許多更深的東西有關, 它先把它們略過去。 因此, 你在讀的時候就沒有辦法說服自己它是對的, 讀不懂也是有道理的。 可是如果有老師在旁邊講解, 或有人告訴你, 這些中間過程是有些不完備的, 你就先相信它。 那樣你就可以很快讀過去了, 不會卡在那邊。 那時力學是念起來最沒有問題的。 一直念到熱力學實在讀不下去, 就只好放棄物理了。 後來再對物理有興趣, 是大學的事情。 到了大三時, 對數學比較沒有興趣, 開始覺得讀不下去。 同時也常常感到奇怪, 很多東西明明不需要去證明, 為什麼還要去證它呢? 可能當時有些東西我也沒有看到和想到吧。

二. 大學時期

李: 在大學時, 你自修研究所的課, 遭到困難, 有尋求協助嗎? 還有大學課程已經先自修了, 那麼上課的狀況如何呢?

姚: 大學時我是在浪費時間。 雖然高微是自修了, 但畢竟還有些細節上的問題, 所以考試成績並不特別好。 大學時讀過微分幾何、實變、複變, 而代數也認認真真的讀過, 能完全了解它在做什麼。

陳: 你剛提到有些東西覺得不需要去證明, 像高微那些你覺得它們需要證明嗎?

姚: 問題不是出在高微, 高微、複變等等這些沒有問題, 代數也還好, 我的問題是在像拓樸、幾何的科目。
我覺得當時讀的幾何是空的, 只是一些定義 (definitions), 完全沒什麼意思。 微分幾何還是應該拿一個具體的問題來做, 像曲線曲面。 後來又讀了一些比較一般化及形式化的題材, 它們被 formulate 成幾乎是不能計算的東西, 這讓我到了大三時, 已經不太想讀數學了。 比如在學拓樸時書上證了半天就是證一個東西是 sphere。 整個拓樸講了半天, 沒什麼例子, 說來說去就是 sphere, 這是很嚴重的事。 沒有例子你就不曉得自己在做什麼, 也不曉得為什麼要做那些東西。 當時定義 homology, 由 simplicial complex 開始。 其實仔細想想, homology 是一個簡單的觀念。 但是我記得當時為了定義什麼是 homology group, 就搞了將近七、八十頁, 然後一個學期就完了, 真正 homology 能計算的東西還是碰不太到。 所以那時候覺得每學一個東西, 好像都很高深偉大, 都要學一個或至少半個學期才知道定義是什麼, 可是真正能計算的例子又很少, 這是不對的。 也許是性格上的關係, 我比較沒有辦法去接受太形式化的東西, 比較喜歡看到一些具體活潑的東西。 當時讀到 Jordan 定理, 很多人認為這是很困難, 很深的定理。 可是到現在, 我仍不認為平面會被一條曲線分成兩部份, 需要證明。 當然, 問題是什麼是曲線。 不過若覺得一件事情是 always true 的, 卻花了一學期去學, 目的只在證明它是對的, 總會讓人覺得浪費時間, 所以當然讀不下去。 現在想起來, 拓樸和幾何是重要的, 可惜當時沒有人跟我們講它們真正的用處。 舉例來說, 幾何最重要的當然就是 Einstein 方程, 從這個方程去看, 就會有很多有趣的題材。 但當時傳統的題材, 說來說去都還是 sphere。 我當時問了很多老師, 為什麼數學學了這麼多, 可是最後做出來都是 sphere? 你現在會覺得 sphere 很有意思, 很重要。 可是對一個學生來說, 它實在不夠新鮮有趣, 能讓你看到的東西實在太少。 當時我想看到很多更新奇的東西, 可是數學系在教學的時候, 並沒有讓學生接觸到一些最新最有趣的數學, 總是逼著學生去學習最基礎的。 數學系的學生證明了四年, 就像少林寺的和尚在挑水一樣。 四年都在挑水, 卻沒有讓他看些其它的東西, 很容易就讀不下去了。 由於當時對數學很懷疑, 就請教系裡老師, 他們很多人並不同意我的想法。 但也有些老師, 像張海潮, 他覺得我這樣去想、這樣去懷疑是有道理的。 對於老是證明 sphere 這件事, 他想辦法用 Lie group, symmetric space 等等去解釋, 說明它的重要性。
大三升大四時, 在台大當時有個不喜歡上課的風氣。 所以我一概不上課, 然後全部自己去讀。 結果是浪費很多時間。 大四時, 基本的電磁學稍微學了一點, 不過也不是很積極, 純粹用數學眼光和想法去了解。 一直要到當兵時, 才用比較物理的想法去讀量子力學和電磁學。 大學畢業時, 當時心裡想將來要做微分幾何, 用它去了解 gauge theory。 後來到了 Princeton, 發現沒有人在做 gauge theory, 只好不了了之。

李: 你覺得當初的課程以什麼樣子的形式呈現, 對你才會比較有幫助呢? 而現在你是老師了, 可不可能換個比較理想的方式去做呢?

姚: 我覺得數學不需要那麼嚴格, 不需要每樣都在大學裡教。 有一兩門課, 如高等微積分, 如複變, 可以教得嚴格一點。 但是嚴格也是相對的。 例如教證明時, 若畫個圖能一目了然, 看到直覺的觀點, 那麼只畫一個圖就好了。 這樣就非常簡單, 學生也很快可以學會。 若要求不可以這樣做, 學生就得花好幾倍的時間, 才能學會。 如此是不是值得呢? 依我的觀點, 寧可讓學生很快學到最直覺的觀點, 看到定理的應用, 而不是用最嚴格的方法去證明。 如此學數學非常快。 教微分幾何如果能把具體的例子拿來計算給學生看, 學生一定會有興趣。 不一定要告訴學生所有可能的細節, 只要簡單講重點, 找幾個有意思的例子, 做些計算, 看它真正代表的是什麼意思, 就可以了。 若要學生變成數學家, 他可以慢慢把嚴格的東西一步一步還原加上去。

李: 你現在是這樣實驗帶學生嗎?

姚: 學生被規格化了似乎受不了這種方式的學習。 我在紐約和台灣教書發現一個現象, 如果在課堂上定理證明得不是那麼嚴格, 學生便很難接受。 他們常常不知道我在課堂上是否已經把定理完全證完, 也不確定我是否把一些深奧的地方藏起來。 數學系已經把學生訓練成以為任何一樣事情都很困難, 以為即使是簡單的想法背後一定也藏了很多高深的東西。 我覺得這不是很好, 所以在教學時, 我喜歡只講重要步驟, 告訴學生剩下的細節不清楚也沒有關係, 以後可以再慢慢補起來。

李: 方才你說比較傾向將許多細節刪掉, 多靠些直覺。 有時候, 這樣是不是容易因疏漏而導至錯誤?

姚: 現在學數學要快。 比方說實變中 measure 到底要教多少? 這部份當年我也花了幾乎半學期的時間去弄清楚所有的細節。 可是做研究至今, 所學的那些並不見得有幫助。 所以事實上只要學些基本的就好了。 為了要讓學生能很快學到數學知識, 同時使他們受的訓練不會太狹窄, 所以不能每個細節都注意。 已經處理過沒有問題的, 或沒有太多爭議的細節可以先刪掉。 你問會不會因為依賴直覺而容易犯錯誤, 當然可能會有。 但是其實做研究時犯的錯誤, 大多都是因為我用了一些抽象的定理。 而且通常最後都會發現, 這些錯誤都是少了一個關鍵的具體估計。 因此如果用上抽象的定理, 又沒有相應合理的直覺, 就很容易產生錯誤。 我也看過很多數學的文章使用抽象的做法, 結果常常會有錯誤。

李: 所以你認為學習的過程, 用比較快速的方式是行得通的。

姚: 不只是可以的問題, 而是必須要很快的學習。 如果今天訓練出來的學生還是像以前一樣, 在這個新的世界是不夠的。

李: 那麼基礎工夫, 例如做習題, 要如何訓練?

姚: 大學最重要是先訓練分析或是代數的基礎, 這些做得札實, 其它的就可以快速地學習。 以分析為例子, 必須要求做高微, 複變的習題, 這是很重要的。 若沒有做很多習題, 至少每個部份也可以找一兩個稍微難的題目做。

三. Princeton 求學及研究工作

陳: 你已經提過國內求學的經過, 可否請你也講一下在 Princeton 求學的經過?

姚: 出國那段期間因為數學已經學得很煩, 所以想去學物理。 去 Princeton 時, 第一年全部上物理系的課, 數學系的課都沒有上。 後來因為在數學系有 qualify examination, 我想還是先把它考過吧, 便花了一些時間準備。 等考過之後, 第一年也結束了。 在 Princeton, 數學系的學生其實可以到物理系找指導老師。 我去物理系找了一下, 發現沒人理我。 當中有一兩位比較客氣一點的, 像是有一位做天文的, 他給了我一篇 paper 讀。 可是我看得很吃力。 當時我的物理實在太差了, 想朝物理發展基本上是不可能的事情, 所以只好回數學系找指導老師。 我換了很多指導老師, 原因很多, 不過總是這個不合或那個不順的。 本來想用 geometry 去做 gauge theory, 但是當時沒有那樣的老師。 後來又想學 quantum field theory, 但是當時在 Princeton 除了一位年紀很大的老師外, 幾乎沒有人做這個方向, 我想了想就決定放棄了。 一直到第二年快結束了, 還是沒有找到適合的老師。

陳: 為什麼特別想讀 quantum field theory? 是因為大學接觸過嗎?

姚: 那時候大家把 quantum field theory 說成是非常偉大、高深的東西, 整個物理都在談論這種題材, 所以我想讀它。 我在數學系找了 Fefferman, 又找了 Martin Kruskal 談過。 有人跟我建議說, 雖然 Kruskal 懂一些 soliton, 也不理想。 現在回想起來, Kruskal 其實是位偉大的數學家。 因為已經換了太多老師, 覺得煩透了, 第二年快結束時, 我想就快些找一位老師, 趕快畢業算了。 這樣最後才選到 Lieb。

尤: 為什麼沒有考慮像分析的領域, 去找 Stein? Fefferman 不也是做分析的嗎?

姚: Fefferman 當時在做一點物理, 我想找一些跟物理比較有關係的題目。 Stein 四平八穩, 我當時的個性覺得他的領域不是那麼有趣。 他關心不同函數空間中的 operator 是否 bounded 的問題, 這對我來說比較枯燥些, 沒有很大的吸引力。

尤: 當時的 Milnor 呢?

姚: Milnor 不在 Princeton 吧。 為了想學些數學物理, 跟 quantum field theory 有關的東西, 我還跑去 Harvard 找 A. Jaffe 以及到 Rutgers 找 Aizenman。 我那時想跟 Jaffe 學, 也曾想要轉到 Harvard 去。 基本上第二年我在 Princeton 是浪費時間, 東試西試, 沒有找到一個滿意的。 最後項武忠罵我說, 如果 Princeton 沒有人可以教你, 那麼全世界就沒有人可以教你了。 我那時候太挑, 意見也特別多。
在Princeton 時我是非常認真地唸書的。 但是我覺得書讀到某個地步, 再讀就沒有用了。 讀到某個地步之後, 如果沒有做研究, 再怎麼讀也不會真正懂。 那時大部分時間在讀量子力學、量子場論。 可是現在回過頭來看, 自己有時候用到跟量子場論有關係的東西, 也都是後來做研究時, 再慢慢 pick up 的。 那時候念的書, 似懂非懂。 胡亂念過去, 書是念得不少, 但也不見得如自己預期那樣真懂得那些東西。

陳: 請稍微介紹一下你的研究領域。

姚: 我想先從我和 Lieb 做的開始。 Lieb 是我的指導老師, 他叫我做 stability of matter。 當時我也不能完全說服自己, 認為這是有意思的問題。 只是想拿個題目做做, 然後畢業。

陳: 所以你不覺得那是當時物理的中心問題之一?

姚: 當時我不覺得那是中心問題。

尤: 那時候是85年吧? 倪維明回台灣談到你們的工作。

姚: 其實是這樣子, 當時 Fefferman 跟 Lieb 都在做 stability of matter, 他們競爭很激烈。 我當學生, 也不去管這個問題重不重要。 可是坦白講, 當時一直不懂去證明一個量子力學系統, 它的 energy per particle 是 finite, 到底有什麼重要, 也不覺得很有趣。 當然, 後來加了一些相對論的效應, 再加了一些其他的東西如磁場, 問題就變得比較活潑。 雖然說問題更有趣了, 只是心裡還是覺得不是自己最想做的事情。

陳: 你跟 Lieb 有很多工作嗎?

姚: 在研究所第三、四年及畢業後第一年, 我跟 Lieb 做了好幾篇文章。 在這三年之間, 尤其在 Princeton 大學最後一年, 我差不多每天都在 Lieb 的辦公室。 後來我離開 Princeton 大學, 在高等研究院當 postdoctor 一年, 有一半時間我去跟 David Brydges 學 renormalization group。 另一方面, 我又跟 Lieb 繼續做一些工作。 當時 renormalization group 是 quantum field theory 最核心的想法, 我去跟 Brydges 學, 本來是很高興的。 只是後來我們寫了一篇論文, 讓我寫得很痛苦。 它的論證過程實在是很煩很複雜。 一個想法, 寫下來都將近七、八十頁, 真的讓我覺得很難過。 之後我到紐約去, 一開始跟 Aizenman, 最後換成跟 Varadham 學 probability。 之後我跟他做了很多工作。 對於 probability, 我一直是用比較統計力學的觀念去思考它。 不過我當時是從零開始學 probability。 在台灣的時候, 幾乎沒有什麼這方面的背景, 像 central limit theorem 當時也根本不曉得, 真的是從零開始。 我去 Varadham 的辦公室, 那時張志中也在那裡。 於是我就向張志中學, 然後再向 Varadham 問問題。 這樣也做了一陣子。 因為我對物理比較有興趣, 所以在跟 Varadham 合作的時候, 我思考的方向比較偏向物理現象的問題。 差不多到了五、六年前, 我開始思考原來的方向已經做了很久, 下一步到底應該做什麼, 想找一些新的方向。 後來決定去做 quantum dynamics, 理由是: 第一它幾乎沒有人做, 第二則是量子力學的重要性。 我相信即使過了三十年或五十年, 量子力學仍佔有一席之地。 在數學裡, 最重要的常常是多年的 conjectures。 我覺得其實更應該問的是, 我們研究的問題以後是不是還重要, 到底是不是有恆久的價值。 由於自己有時沒有辦法回答這問題, 所以研究也常常做不下去。 但是對於量子力學, 我相信它的重要性, 所以沒有這個問題。 在我的研究中, 一方面我跟 Lieb 做 stability of matter, 這是量子力學中的靜態問題。 另外我做 probability 是研究 evolution 的問題。 量子力學加 evolution, 合起來差不多就是 quantum dynamics。 我選擇這樣的題材, 因為我在量子力學方面有些背景, 在跟 dynamics 有關的方程式也有些背景, 而這個方向又沒有人做, 應當是很不錯的。 在這方面我投入很多時間, 但進展緩慢, 相當困難。 可是我相信 quantum dynamics 的重要性是不容置疑的。

姚: 量子力學的發現, 早期像 von Neumann 及 Weyl, 他們做了不少。 像 von Neumann 做的那些東西, 都慢慢變成 functional analysis、 C* algebra。 數學界很多做 C* algebra 的人, 對原來量子力學許多基本現象的的興趣越來越少。 其實你真正把量子力學的 equation 寫下來, 有很多基本現象可以探討。 那麼在數學上你該怎麼提適當的問題呢? 這方面卻少有人好好去想。 所以我覺得這是一個非常大的方向, 值得花上二、三十年好好研究。

陳: 在物理上, 比如量子力學中, 解出重要的特例便滿足了。 你覺得這種方式夠不夠好?

姚: 物理跟數學所關心的不太一樣。 物理一方面想找出新的 basic 方程式, 另一方面想找出實驗及應用所需的簡易模型。 這個簡易的模型, 不見得是原來的量子力學模型。 它只要是一個比較有效率, 可以計算, 可以逼近的模型就好。 因此對量子力學很多 foundation 的問題, 他們都比較少去碰觸。 比方說, 我們對量子力學中 many bodies effect 的了解是很少的。 把這東西做好, 即使對物理本身, 也是非常重要的。 其實量子力學的方程式, 所包含的內容非常地豐富。 如果和數學上其它方程式相比, 像 elliptic、parabolic 及 hyperbolic 方程, 甚至 Boltzmann 方程, 都被研究了很長很長的一段時間, 數學家對它們的興趣至少都有百年以上。 但是數學家對 Schrödinger 方程的興趣, 基本上是相當小的。 就算有也限制在一些特定的 nonlinear Schrödinger 方程方面。 稍微問一點其他不同的問題, 幾乎就沒有人碰過。 如果其它的不談, 縱使從純粹方程式的角度來看, Schrödinger 方程也是一個非常豐富的例子。

陳: 那麼對想做數學物理的人, 是否可以從 Schrödinger 方程的數學著手?

姚: 我覺得 Schrödinger 方程是一個很好的題材。 但是另一方面, 我也一向不鼓勵別人一定要去做某件事情, 我覺得每一個人順其自然比較好。 譬如在大學的時候, 挑幾個比較基本或比較廣的東西學學, 不需要那麼窄。 當然也可以專注一兩個方向。 到時候不論出國去唸書或是留在台灣, 你的指導教授也都有他們的方向, 所以你那時碰到什麼就是什麼, 你現在急也是沒有用的啊。 我在大學時, 所有時間都花在微分幾何, 想用它做 gauge theory, 可是我到 Princeton 發現沒有人做 gauge theory, 那我該怎麼辦呢?

李: 你提到高中時, 也有很多自修數學的同學。 後來大家的發展不一樣, 是什麼原因?

姚: 讀數學最後能走出來, 除了努力之外, 機會與運氣也是很重要的。 一位數學家的表現, 除非他的才智和大家比起來有很大的差距, 不然的話, 常常也要看其它的條件能否配合。 同樣有聰明才智的人, 往往因為運氣, 身體健康的程度, 及個性等的因素配合, 最後的表現可能很不一樣。 其實我覺得個性對一個人的影響很大。

李: 那你有怎樣的機會與運氣? 還有怎樣的個性, 對你的研究是比較合適的?

姚: 剛才提到在 Princeton 時, 我找 Lieb 當指導老師。 他做數學的 style 和我蠻像的, 這是我的運氣。 跟一位非常好的老師是很重要的, 第一他要肯教你, 第二他要真正是最好的數學家。 跟個大師與跟個一流的數學家中間的差別幾乎是無限大的。 像 Dyson, 也是一位真正好的數學家, 可惜他不收學生, 沒辦法跟他學。 當然若是絕頂天才, 不論跟誰都沒有問題, 但是這種例子畢竟很少。 後來去紐約跟 Aizenman, 沒有做出什麼, 另外找了 Varadham, 才發現他的研究非常好。 當時也想過找其它人, 不過現在看起來他們其實沒有做得那麼好。 有時很奇怪, 有些好的研究者, 學生反而並不是那麼知道。 Varadham 對我影響很大, 這也是運氣。 當時如果跟其他的人做下去, 我現在數學上可能沒什麼特別結果。 我每天與 Varadham 討論數學至少兩個小時以上, 長期下來, 影響很大。 那時我在 NYU 升上 assistant professor 是在十月、十一月之間, 而與 Varadham 做的題目是到九月才做出來, 這中間只差一兩個月。 如果再晚一點才做出來, 我就離開 NYU 了。 若真離開了, 可能走的是完全另外一條路了, 所以說運氣是非常重要的。 至於性格, 人與人的相處, 溫和一點是比較好, 不過做研究的, 個性裡還是要有些堅持才好。 個性若不夠強, 研究很難做下去。 然而個性太強了也會有問題, 可能找到一個很難的題目, 因為不肯放棄最後卻被卡死在那裡。 我看過研究做得非常好的數學家, 他們做研究時的性格都非常強。 不論平時待人處世是什麼個性, 他們在做研究時, 那很深沉和侵略性的一面都會浮現, 不然研究都做不出來了。

李: 你選擇 Lieb 與 Varadham, 真的純粹是運氣好嗎? 他們不也是經過你的挑選?

姚: 我也不確定。 可能不完全是運氣好, 自己也挑。

李: 挑選過程中, 什麼因素影響你的選擇和決定?

姚: 在紐約找 Varadham 之前, 曾去找另外一位老師, 他常常很忙, 無法和他談數學。 Varadham 有時間又肯與我談數學, 張志中又是他的學生, 對我而言很方便, 這是我的運氣。 Lieb 是我換了很多老師之後的選擇。

李: 剛才你提到有些很好的數學家, 在學生中的知名度不見得很高, 學生應該怎麼去找出這些老師來?

姚: 這沒有辦法。 作研究和教書是兩回事, 學生很難區分。

李: 你在選老師的過程中, 換了不少人。 聽你剛剛講的, 似乎當你覺得不適合時, 就不會一直待在同一個人那裡。

姚: 我不太喜歡唸書, 喜歡直接做題目。 在 Princeton 時, 很多老師要我唸很多書, 我並不太想唸, 所以就跑掉了。 Lieb 比較直接了當, 他給了一個題目要我去想想。 我問他要讀什麼書, 他說通通不用讀, 甚至也不要求我去看他的論文。 不過我還是去圖書館找了一堆 paper, 他看看說都不用讀。 他的題目在數學上沒有已知的理論可以處理, 所以不用讀什麼。 我的論文是他給的題目, 主要在證明一個一階方程式無解。 一階方程式通常比較難處理, 當時我把它先變成二階的方程想證明無解。 但是證了半天都證不出來, 最後才朝反方向想, 居然找出了解, 而且是可寫下的 exact solution。

李: 在什麼情況之下, 你開始換個方向, 想去找出它的解呢?

姚: 他叫我證明無解時, 我問他為什麼相信是無解, 他也說不出所以然。 他只說有解的話, 物理現象會變得比較複雜, 無解的話比較簡單。 那個方程式從來也沒有人看過。 我拿了很多 paper 給他看, 他說這個不相干, 那個沒有用, 所以只有自己去想。 最後找出一些式子, 才把問題做出來。 他給的題目很活潑, 不需要先學很多理論。 我非常喜歡這樣的方式。

李: 在他這樣方式的教導之下, 其他學生的情況呢?

姚: 他給學生的第一個題目通常是一個很難的題目, 通常是他想了五年、十年想不出來的。 若是做出來了, 他會非常高興; 若是學生做不出來, 他會換一個簡單點的題目。 Lieb 帶了很多很好的學生。

李: 你是否比較喜歡分析?

姚: 不是, 我也喜歡代數, 大學時有一段時間我喜歡分析, 一段時間喜歡代數。 讀博士時, 傾向分析, 代數沒有機會讀下去了。

李: 你對代數, 數論也有興趣, 到 Princeton 時也嘗試轉系, 是什麼時候確定分析的方向, 怎樣做決定的?

姚: 剛開始想轉物理系, 過了一年多也沒有轉成。 想轉物理系, 是覺得當時看到數學系考慮的問題, 不是那麼有趣。 我比較喜歡處理一些可以看得到的東西, 物理世界的問題很自然, 生活週遭產生的事情它都有, 讓我覺得有趣。 對古人所提的一些問題及 conjecture, 並不特別感興趣。 當初想學物理, 是想用微分幾何去研究 gauge theory。 現在看起來, 這種想法其實也是從數學系的角度出發的。

李: 那又怎樣走到現有的方向?

姚: 走到現有的方向, 其實也不是我的選擇。 我跟著 Lieb 時, 他做 many-body problem, 我也就跟著做 many-body problem。 這方面在數學裡幾乎沒有人做。 我跟 Varadham 時, 他做的是 interacted particle system。 那其實也是 many-body problem, 只是它加了 stochasticity。 Varadham 做的是有時間, Lieb 做的是沒有時間。 Varadham 做的是 stochastic, Lieb 做的是量子力學。 跟他們做, 兩方面我都有背景。 好幾年前我想走新的方向, 當時最想做的是 quantum dynamics。 一方面是因為量子力學是上個世紀最重要的理論, 另一方面它和我的兩背景都有關, 裡面又有很多題目沒有人探討。 因此它是值得做的方向。

李: 這方面幾乎沒有人做, 你會不會因而感到很孤單?

姚: 不會, 感覺很好。 這是一個新的方向, 基本上也是自己要找的方向, 很有挑戰性。 另外數學家對量子力學忽視了一個世紀, 是不可思議的事情。 所以, 很少人作我也無所謂。 這百年來除了生物以外, 最重要的兩個科學就是相對論與量子力學。 量子力學不管在工業上或科學上都是最基本的東西, 數學家放了一百年沒有去處理, 是很不可理解的事情。 我想問題是 quantum dynamics 非常困難。

李: 你習慣自己一個人研究呢? 還是也喜歡與他人合作?

姚: 我現在喜歡找年輕人一起做, 比方說, 目前我和蔡岱朋就合作得很好。 做這個方向的另外一個好處是, 當我演講談到量子力學時, 可以看出數學家他們其實非常羨慕這些東西。 羨慕我可以去找一個他們完全不熟悉, 一個基於自然界非常重要的方程所產生的問題, 然後給它一個有意義的數學陳述。 情形就是這樣, 我只好有些寂寞了。

李: 要懂很多, 才能做這方面的問題?

姚: 其實做研究, 不需要懂全部的東西, 就可以開始。 而且很多題材, 可以敘述成孤立的問題, 不見得會牽連到太多東西。 比較重要的是, 將一個物理的問題用數學去處理, 你一定要處理到即使是學物理的人也覺得有意思。 我覺得提出一個新問題, 要讓數學家相信它有意思, 要比讓物理學家相信容易多了。 研究新問題, 從舊有的數學角度來說, 最重要是能發展一些新的數學, 一些新的工具出來。

四. 對數學和科學的看法

陳: 目前整個數學的發展有什麼重心?一般來說, 數學家比較不跟別人接觸, 他們在今日扮演了什麼角色? 你覺得數學在整個社會是走向沒落, 還是受到更多的需要?

姚: 你問我現在數學的位置, 我覺得其實蠻難說的。 我們可以從一個比較的角度來看, 你想想一百年前、兩百年前, 當科學家在做各種科學研究的時候, 都想找個數學家來幫他們做一些計算。 那個時候除了數學家以外, 你要他算點什麼基本的東西, 他都不會。 我們現在看起來一些很基本的東西, 如一些簡單的複變、微分方程, 除了數學家以外, 整個科學界大部分都不會。 所以那時候的數學家在整個科學界絕對是佔中心的地位。 現在情形不一樣了, 現在每個行業, 每個科學, 如果有東西不會的話, 譬如他們方程不會, 數學不會, 就買個電腦去跑一跑, 看見個圖就好了。 他們不管相關的理論, 也不管電腦算出圖形的對錯, 反正差不多就可以了。 在這意思下, 數學在這整個科學上扮演的角色, 其實比較微弱, 代替它的是做這些計算的, 讓大家看到想看到的東西。 所以至少對我來說, 數學家必須要了解到數學今天已沒有一百年前、兩百年前, 在整個社會那樣子的中心地位。 那數學新的生命在那裡呢? 任何一個學門在一個方向上遇到困難出了問題, 總會想辦法在另一個方向上發展, 表現出新的意義。 比方說寫軟體的人, 他們希望多學一點數學。 他們覺得受用的是, 在學習數學過程中具有的一些訓練, 而不是真正要 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 這種嚴格的數學。 從這類的例子來看, 數學可以訓練出一批人, 在這個社會上還有另外重要的功能。 至於數學在純粹科學上的直接應用, 比方說編碼學及影像辨識, 還有像作機率的人訓練出一大堆人做金融數學, 都是極佳的例子。 不過很多數學上比較抽象的題材, 它們對其他科學扮演的角色, 就不是那麼明顯。 比如說你問: 現在數學做的東西會是將來物理的 foundation 嗎? 這我就不曉得。 可以確定的是, 當年數學家所扮演的那麼重要絕對的角色, 現在變得比較不一樣了。 今天, 你可以和生物學家一起工作。 可是跟生物學家合作, 數學家是不是能扮演著最中心的角色, 這並不是那麼清楚。 以前數學家的角色很清楚, 他在最中心的位置。 今天的數學卻往各個方向發展, 每一個方向都有它的意思, 但不見得是在中心位置。 因此, 我沒有辦法清楚說出現在數學的位置是什麼。

陳: 在早些時候, 物理學中有些大的中心題材, 像高能物理、粒子物理以及像宇宙論等。 近年來像材料科學方面的問題, 受到更重視, 物理好像失去比較大的中心議題。 數學也有類似情形嗎?

姚: 我想數學現在變得比較多樣化, 不再像以前那樣。 在應用方面也同樣變得更多彩多姿。 還有, 各種現象的計算等等, 其實大部分還是需要數學家參與。

李: 怎樣區隔物理與數學?

姚: 大致來說, 數學家是不碰實驗, 不懂實驗的結果如何解釋, 只討論基礎理論的結構問題。 物理學家則必須對實驗結果有些感覺, 即使不做實驗, 也能了解其中的主要含意。 但是現在數學對很多科學的現象不關心, 越來越狹窄, 這對數學的發展是很不好的。

李: 你是不是覺得有些時候數學的進展太慢了? 你定義的數學是只要不碰實驗的就是數學, 那你有沒有考慮過做數學以外的事情?

姚: 我沒有做實驗的天份, 數學還是我比較習慣的方向。 數學家應該要想一件事情, 就是今天我們做的數學到底跟世界有什麼關聯, 如果失去關聯性的話, 那數學就死了。 不可避免的, 數學每經過一段時間之後, 一定要回來看看它跟人類文化有什麼相關。 我不相信數學是可以離開人類文化而完全獨立發展。 就像我剛說的, 一兩百年前任何人要做科學, 不管是物理, 化學等等都需要數學, 都會找數學家。 那時的數學家, 即使只會做些基本的計算, 就很偉大了。 今天的情況已經不是這樣, 我們在處理問題時, 若只說這方程式有一組解, 這對於其他科學的人是沒有意義的。 你一定要能在某種程度上刻畫這個解的性質, 而且這個性質是他們所感興趣的。 這樣的標準非常嚴格, 現在的數學常做不到。 做不到的部份原因, 或許是因為很多自然界產生的數學問題, 超過人類能解決的範圍。 不論是否如此, 至少最近這段時間, 一直沒有什麼數學的發展, 讓別的行業看出數學家真正在解決問題。 當然也有些例外, 如 integrable system, 真的找出一些具體的解, 對別的行業是有意思的。 不過, 這只是極少部份的數學。 數學和其他學科的關係已經越走越弱, 在數學、物理、化學、生物等等的光譜中, 數學家是在最右邊, 或最左邊, 與以前數學是科學的中心不一樣。 數學家必須了解到這件事情, 並且讓我們做的數學伸出觸角, 與科學有某種程度的關聯。 數學有的部份是非常純的, 可以跟其它科學不相干, 但一定也要有一部份跟別的科學有關。 當然, 這些只是我個人的意見。

李: 在整個數學裡面, 有些是做純數學的, 另有一些是觸角必須踏出去, 與其他的領域搭上線。 但是誰去做伸出觸角的部份呢? 可能每個人都會說我是做純數學的。

姚: 大部份數學家其實很沒有自信。 與其它科學的人在一起常常沒有信心。

李: 會不會是在學習的過程中花了很大很大的力氣, 已經沒有多餘的力氣去接觸其他的東西了?

姚: 你可以問一個數學家必須要面對的問題。 在做 string theory 的人, 大部份都是物理學家, 數學幾乎是從零開始。 他們要學 theta function, Riemann surface, 複雜的代數幾何等等, 各式各樣的技巧。 數學家必須要想一想他們為什麼在那麼快, 那麼短的時間內就可以應用這些知識? 他們當中一批真正好的人, 能抓住數學知識精髓, 並不是亂用。 數學家在建立一個架構時, 要求能放諸四海皆準, 所以每一步都要非常嚴格。 但是物理學家在學這些東西時, 只拿一兩個物理的例子, 然後用這一兩個例子, 去了解每個定理的內容。 所以他很快就可以抓住主要的內涵, 並開始應用。 如果我們教數學沒有辦法教得快, 學生一定要從絕對邏輯去建構一些東西, 那是非常可怕的。 如果每一步計算, 每一步過程, 唯一的想法是 check 它是否合乎邏輯, 背後沒有一個 picture, 我相信那樣是沒有辦法學懂的。 很不幸的, 我們現在訓練學生, 就是在訓練一個沒有 picture 的世界。

姚: 現在不只台灣數學的士氣很差, 美國也是如此。 但是台灣可能更明顯。

李: 士氣差與分工分得太細有關係, 很辛苦做出來的東西, 卻沒有人感興趣。

姚: 選擇數學這一行, 有時我也會想這樣的事情: 做數學到底和人類關心的各種問題有多相干? 依我看, 微分方程對科學的影響是比較多的。 問題是微分方程別人不會解的, 我們也不會解。 我指的不是解的存在性, 而是刻劃解的結構。 機率在科學的應用也很多。 另外 theoretical computer science 影響也很大。 其它的如拓樸、幾何對 string theory 有貢獻, 不過它們在科學上的影響還是比較局部的。

五. 數學獎

陳: 可否談談得麥克阿瑟獎 (MacArthur Fellow) 的前後情形?

尤: 我看到了中時晚報對你得獎的報導。

姚: 某一天有人打電話給我, 說我得獎了。 之前我不知道會得獎, 之後他們也沒有管我, 只是每個月寄一張支票給我。 就是這樣子, 也沒有太多可講的。

陳: 事前難道沒有一點風聲?

姚: 沒有。 我完全不知道。

尤: 你心情的感受呢?

姚: 得獎是很高興, 可是過了沒多久, 就覺得沒有什麼了。 你現在很難想像。

陳: 但是歷年得獎的像是 Gelfand, Mumford, Schoen, Uhlenbeck, 邱成桐, Wiles 等都是偉大的數學家。

姚: 是沒錯, 當時是非常高興。 但得獎這種事是沒完沒了的, 過了兩個月就麻痺了。 自己在研究上做出很好的東西, 對自己的工作很滿意, 這種還是比得獎長久。 例如諾貝爾獎我們都沒有得到, 你會想如果得到一定萬事 O.K.。 但是得到後過一陣子, 你還是需要有別的東西來滿足。 你並不能每天把得過的獎牌貼在牆上, 然後就這樣自我陶醉。 它是一種肯定, 當時你很高興, 對你心情有影響, 可是之後讓你每天高興的是你自己的研究。

尤: 可是這代表別人對你研究的肯定和推崇......

姚: 每個人對自己的研究都有個評估, 看自己值得什麼樣的評價。 可是總是把自己估得高了一點, 所以得到的肯定, 總是比自己想的差了一點。 反過來想, 我們現在得到的肯定, 說不定都已經超過我們應該值得的。 有時我們讀一些數學的文章, 看到很好的研究工作, 也會覺得奇怪, 像這樣的文章, 這樣的人, 也沒有得獎啊!
有些人做了很多很好的工作, 可是什麼獎也沒有得到。 例如以前 Berkeley 的 Morrey, 他根本不是做我們這個方向的, 但也在我們這個領域做了非常有意思的工作。

陳: 你是說做橢圓方程和變分的 Morrey? 他做了這方面的工作嗎?

姚: 你看, 連你們都不知道。 從某觀點來說, 他可能也是第一位對統計力學有興趣的數學家。 現在有關 equilibrium state 的重要結果, Morrey 其實也看到一些東西並做過這方面早期的工作, 非常非常有意思。 好的人未必受他人肯定。 然而反過來, 有些很出名的人, 去看他的研究工作, 卻發現並不怎麼樣。 這也是沒有辦法的事, 人類的社會結構如此, 大眾對你的認可及評價未必正比於你的研究工作。 如果覺得自己值得八十, 能得個六十, 也就應該很高興了。 還有人值得有一百, 卻只得了四十, 那怎麼辦呢? 因此, 只要自己懂得愉快就好了。

尤: 怎樣才是讓自己愉快的好辦法呢?

姚: 做研究是一種生活方式, 也是生活的一部份。 當然, 所面對的是專門領域的東西, 未必得到其他人對等的評價。 然而反過來看, 我們有職業, 有可以的薪水, 期望未來更美好, 能做更多, 如此就可以了。

陳: 可不可以談談你得的 Poincare Prize? 也有獎金嗎?

姚: 那是數學物理獎, 三年頒一次。 上次在倫敦, 跟我獲得 MacArthur Fellow 是同一年 (2000年)。 每次發給三個人, 一個年輕一點及兩個 senior。 第一個年輕得主是 Kosevich, 這一次是我。 它幾乎沒有什麼獎金, 只有一張獎狀。

尤: 你覺得這代表對你工作領域的肯定嗎?

姚: Poincare Prize 本來就是數學物理方面的, 所以比較沒有這樣的效果。 不過, 也可以說是對我做的 analytic approach 的一種肯定。 我想因為 MacArthur Fellow 涵蓋各個領域, 它比較讓你覺得自己的領域及工作受到肯定。

陳: 可否談一下你和其它重要獎擦身而過的情形?

姚: 這世界上擦身而過的, 就是過了, 也沒有什麼好講的。 任何的獎, 夠資格得這個獎的一定比得獎的還要多。 例如一個獎有五個人得到, 夠資格得這個獎的可能有二十個、三十個。 因此不能聽到某人得了獎, 就問: 那人跟我差不多, 他有, 那我為什麼沒有得獎, 我也夠資格啊! 這是說不過去的。 夠資格得獎的人絕對是遠超過真正得獎的人, 評審的委員總要做個選擇。 除非自己的研究工作遠超過別人, 有個清楚的差距, 否則沒有得獎, 也沒有什麼好講的。 所以整個來說, 沒得獎只是表示自己的工作沒有作得那麼好。

陳: 從台灣的角度來說, 這是非常可惜的。 錯過了這次, 下次不知何時才能得獎。

姚: 你不要這樣子想, 年輕人總是有希望。 每一代總是比前一代的要好, 不要覺得年輕的傢伙現在看起來不怎麼樣, 將來真正做得好的就是他們這些人。

陳: 台灣人留在美國立足的好像一代比一代少? 華人又是怎麼樣的情形呢?

姚: 台灣地方小, 人口少, 想留在美國發展也相對少。 華人在美國並沒有一代比一代差, 我在台灣看到的年輕人也比以前好多了。

陳: 所以你覺得台灣看起來仍相當有希望拿個獎?

姚: 這要看你希望的是什麼。 例如敬業的精神比以前好很多。 把 research 當作是自己的職業和應該做的事情, 每天教完書之後就想數學, 這個觀念漸漸被越來越多的人接受, 就是很大的進步。 而且, 這也是比什麼都更深入更重要的。 另外, 現在年輕的一輩, 每個人都很活潑, 如果慢慢有了自己的方向, 十年之後, 就會有一番成就。 數學有個現象, 通常要做到五十歲, 或除非你在一個很大的領域中, 有人支持你, 不然你做的東西好像就不怎麼重要。 但是等到出了名之後, 即使所做的東西不怎樣, 也變得很重要了。 這樣的現象會讓人以為以前的人做得比較好。 其實真正的原因是做出那些東西的人大多五六十多歲了, 他們的研究題材本來就受到更多的認可。

陳: 數學二、三十年來基本的課程都沒太大的變化, 但是目前數學也越來越多元化了, 你認為課程上需要作改變嗎?

姚: 應該這樣講, 基礎的課程還是基礎的課程, 但是也不能說有那麼多的東西全都是基本要學的。 所以必修課稍微少一點, 學生自然會到處去學, 這樣就沒有問題了。 例如要走純數學的, 可以多選些相關課程。 以前我唸書時幾乎沒有什麼課可選, 都是必修課, 這樣不是太理想。
另外有件事情讓我不能理解的是, 一個數學的觀念常被描述成很偉大的東西, 一定要花很多時間去了解才能學會。 這是完全不對的。 我們應告訴學生, 數學的東西並沒有什麼偉大, 數學很多是簡單的。 去學它, 中間有一些細節不會也沒有關係。 基本的觀念學會就可以用, 用了也不要怕錯。 但是現在數學系訓練的方法卻倒過來, 以為任何東西一定都很偉大, 背後藏了很多了不得的細節, 沒有完全學懂之前就使用一定是錯的。 因而把學生訓練成一點膽子都沒有, 這是很嚴重的問題。

尤: 這是到處都這樣, 還是只有台灣?

姚: 我看到的幾乎到處都是這樣。 就像剛講的, 以前我唸書時花好幾個月讀拓樸, 光是學 manifold、vector field、pull back 這些名詞就學了好久, 這是不對的。 數學應該是思考的、活的, 應該想辦法讓學生很快進入狀況, 進入中心, 一些細節可以先拿掉, 以後有需要再慢慢補上。 不能什麼東西都像蹲馬步、挑水一樣學習。 如果數學系四年中高微就只學會 compactness, 不會作計算, 這樣是不行的。

陳: 你會不會覺得美國教育方法比較好? 大學沒有學那麼多, 但研究所很快進入狀況。

姚: 美國研究所教書通常進度是快得多, 歐洲也是這樣。 不過重要的還是像剛講的, 如何使學生不要怕數學。 像積分跟微分, 積分跟 limit 可不可以交換, 學生被要求每一步都要檢查, 等確定所有假設都滿足才能做下去。 可是在實際做研究時並非如此, 都是先假設可以交換, 答案出來後再回去慢慢看細節。 在大學訓練中如果每步都必須循規蹈矩, 如此一來很多東西就沒有辦法學。 所以大學學了高等微積分, 可是像 Fourier analysis, 以及用 Fourier analysis 解 ODE 和 PDE, 或像機率, 都幾乎沒有學到。 很多可以用的東西都沒有, 學生會的都是沒有用的。

尤: Apostol 那本書是典型的例子吧!

姚: 怎麼可能高等微積分要寫到五百頁呢!

陳: 教科書的取材和不同觀點的強調, 是否也受當時潮流影響, 也會風水輪流轉?

姚: 其實也不是。 一些比較舊的微積分像 Courant and John, 他們寫的也都非常強調可以用, 可以計算。 一些不可以計算、基礎的東西、像是專用詞彙等應該讓它很快地過去。

陳: 你覺得在美國的台灣人才最好能回來, 還是我們該把多點人才儲存在美國?

姚: 對台灣而言最好當然是大部份人才都可以回來。 但是也要有些人在國外, 作為學術交流的網絡。 當台灣有人做出好的結果, 也可以讓外面的人更容易知道。 不過現在還不用擔心這個問題。

陳: 因為台灣人才還是太少?

姚: 是的。 同時每個人有各自考慮的因素, 也不能強迫他一定要回來。

陳: 在國外環境較好, 回來可能研究進展變慢。

姚: 當然會有這種問題。 回來的話基本上要帶一批學生, 再慢慢發展。 對台灣而言, 多些人回來是好的。

六. 對做研究進一步的看法

尤: 當你做研究的時候, 卡到了, 該怎麼辦呢? 你是硬著頭皮做下去呢? 還是會退縮? 或著是暫緩停頓一下? 還有你對問題有怎麼樣的品味?

姚: 通常你真正有興趣、夢想要達到的問題, 都是做不出來的。 你必須將原來的問題稍微修改, 提出比較合理、比較可以做的 version。 即使是這樣, 常常還是做不出來。 一陣子後你可以先把問題放下來, 過了幾個月, 甚至半年, 一年再回來。 有時候要這樣試了好幾回, 才會慢慢發現, 還有一個更簡單的 version, 都還沒有解決, 應該從這邊開始。 所以研究都需要經過一段長時間的累積, 它的進展不是那麼直接了當。 不過我想不只是我, 每個人做研究都是這樣。
在獲得 Ph.D. 後, 可能作 postdoctor 一陣子, 然後是 assistant professor 等等, 可能跟以前論文指導老師還有很多合作關係。 不過畢業7、8年或10年後, 應該去找出自己的方向。 你可以在原來的題材上去發揚光大, 甚至超越指導老師, 或者也可以去找另一個方向, 走出自己的風格。 這是因人的個性而異。 重要的是, 畢業一段時間後, 要想辦法更上一層樓, 超越以前的。 當然, 我認為最好能在新的方向努力, 花長一點時間, 做出自己的風格。 開始的時候會比較辛苦, 因為外人可能會覺得你的研究不是那麼有意思、那麼重要, 但長遠來看, 很可能會有一番更了不起的成就。

陳: 那你怎麼尋找重要的新方向?

姚: 我也一直有這個問題。 對自己做的東西常常覺得不滿意, 認為應該有更有意思的題目, 因此也一直在尋找。 我不是很確知自己怎麼找到新方向。 不過通常我們進入一個新領域, 都會有些不同想法。 過一陣子後, 那些想法可以解決的問題都做完了。 這時你可以繼續待在原來的地方, 改進原來的方法, 看看還有什麼可做。 我不喜歡這樣, 我喜歡重新開始, 另外找一個讓自己比較高興的方向。 雖然比較辛苦, 卻比較好玩和有趣。
這樣子做也有不利的地方。 在數學界或科學界, 每人都有標籤, 說這個人做了什麼, 那個人做了什麼。 你在某個領域裡待久了, 就會認識這個領域的所有人, 你就是這領域家庭的一分子, 人人會支持你。 如果你的研究太常更換, 就不容易有自己的標籤。 因此在一個方向上, 至少也要做上五年、十年, 等做出些樣子, 有些成就後再更換。 這跟我剛才講的年青人要做出自己的方向, 又有些不同。 年青人跟著指導老師做的方向, 基本上不是屬於他的。 除非他可沿著同樣方向看到更多更深及非常不一樣的東西, 才值得繼續做下去。 否則, 應當慢慢找出自己的方向。 我們可以看看幾個數學家的例子。 譬如說 Sinai, 他是跟隨他的老師 Kolmogorov 做 dynamical system, 但是他另外也找出新的方向做出很好的東西, 所以他是非常好的數學家。 又譬如 Moser, 他當時做 Szegö 的 postdoctor, 可是他能夠做到更上一層樓。 若不是這樣, 他就不會是這麼偉大的數學家。 當然從大的眼光來看, 換個研究方向, 在數學上只是個小小的變動。 但若個人研究要進一步突破的話, 一直跟著指導老師太久, 其實並不好, 自己要找些不一樣東西來做才是。

陳: 對於找新方向, 多跟人談談, 多聽些不同領域的演講有幫助嗎?

姚: 要多聽一些 seminar。 其實找方向和對科學的眼光有關係。 有了好的眼光, 才可以看出什麼是比較重要的方向, 並且幫助你去選擇自己真正有興趣的東西。 我想重要的東西有兩項, 一個是眼光, 一個是興趣。 這點台灣數學界的訓練很差, 美國也有同樣的問題。 學數學幾乎不懂科學, 如物理、化學等等都不懂, 看到的東西常常太狹窄, 這對將來的眼光大有影響。 這樣一來, 你永遠只看到老祖宗一百年前的數學, 並不知道新的走向。 數學應放在科學的大領域裡, 才能看出它的位置。 當然也有一些例外, 像數論, 它比較自成體系。 但是除非只對數論感興趣, 否則整個數學還是與其他科學密切相關。

尤: 可不可以談談純數學與應用數學的潮流。

姚: 我比較不去注意潮流是什麼。 在熱門的領域中, 可以看到已經有很多好的結果, 大家也都拼命去追逐。 然而這些熱門的題材通常是別人做了許久的成果, 現在跟著加入已經來不及了, 未必能做出好的研究。 倒是一些不熱門的題材, 雖然剛開始時, 沒什麼特別的結果, 也不是一個那麼大的方向。 但是若你能看出它將來的重要性, 經過五年, 或十年的努力累積, 也許可以得到很有意思的結果。 到時候它的重要性, 將受到別人的重視。 萬一到時候它仍然不怎麼重要, 那也是沒辦法的事情。 人生本是如此。

尤: 所以去選擇一個好的領域, 才是最重要的事情。

姚: 對, 但通常最有意思的領域並不是現在最熱門的。 現在最熱門的, 往往十年前大家並不是那麼重視它。 數學裡也有兩、三個方向二三十年來一直都是主流的, 如果你走的是這方向, 可以繼續。 除了這樣以外, 可以找現在不是很重要的方向, 慢慢去做, 培養技巧。 等到這個方向變得重要了, 在技巧方面已經沒有人可以跟你比, 你就是這方面的佼佼者了。

陳: 比如說 DNA 定序計劃, 前一陣子這麼熱門。 現在投進去, 已經來不及了, 可是又不知道下一波的重心在那裡。

姚: 對於 bio-informatics 我沒有什麼意見。 不過數學家有時要問在做這個計劃時, 數學扮演的角色是什麼。 如果只是純粹對生物學的服務, 當然也是可以。 但要了解到這只是服務, 並不是這整個計劃的中心。

陳: 你覺得能成為傑出數學家最重要的是什麼?

姚: 這點我沒資格談, 可以說一些我的看法。 一個人的成就努力是很重要, 個性也有影響, 天份也不容忽視的。 仔細看每個數學家做數學的風格, 除了跟所做的方向有關外, 也跟個性有很大的關係。

陳: 你會不會覺得數學界的人, 個性都比較特別一些?

姚: 個性通常會影響到一個人的眼光。 而影響一個人數學的是他的眼光, 看他看到的東西有多深。 假設有個數學家問了一個很有意思很重要的問題, 他的技巧不是那麼好, 做到一半卡住做不下去了。 此時他做了某些假設, 讓他的論證能過去。 然後, 由於他認為他的問題很重要, 繼續朝著這個方向想下去。 三十年後我們再回來看, 他很可能已做出一些非常重要東西。 另外有一個人, 他的技術非常好, 任何困難問題, 能很快解出, 但未必能看出新的有意思的問題。 三十年後來比較這兩個人, 即使後者技術非常好, 很聰明能解決任何問題, 我們也很難確定那一個人的影響會更深。 所以有時眼光真的是非常重要。 當然這種區分也不應講太多, 講多了會比較空洞, 失去對做數學札實的感覺。 當然, 能兩者兼具最好, 但這是勉強不來的。

尤: 所以成為好數學家除了運氣外, 眼光真的很重要。

姚: 有好的眼光, 把數學放在科學裡, 看它的位置, 再決定要做什麼。 可是講起來容易, 卻很難做到。 就算你看到或想到該往那裡走, 也不見得有能力可以達成。

陳: 你提過很喜歡滑雪, 而且也滑得不錯, 這對研究生活的平衡是否有很大幫助?

姚: 有啊! 做數學研究是很辛苦的事情, 每天面對方程式, 不等式等等。 真實的世界與數學沒有很大關連, 你不能只是關在數學世界裡想許多的問題, 萬一解不出來怎麼辦? 所以生活上要有些調劑, 找些嗜好, 多學些其他的東西。 人生是多方面的, 數學只是小小一部份。 百分之九十的時間花在數學上, 百分之十的時間去看看各式各樣的行業。 你會發現每個行業做得非常好的東西, 都是很有趣的。 或者多去運動, 可使身體健康, 心情保持愉快。

陳: 對於做數學的人以打橋牌, 下圍棋作娛樂, 你個人的看法怎麼樣?

姚: 我唸 Ph.D. 時也曾下過棋, 一段時間後, 便放棄所有用腦的娛樂。 因為做完數學後, 頭腦都快炸掉了, 不可能再用腦力去打橋牌, 下圍棋。 所以盡可能挑一些使用體能不用腦的事情, 就算用腦, 也挑些像看看書, 看看畫, 這些比較輕鬆的事情。

---本文策劃劉太平先生為中央研究院數學所所長, 訪問者李瑩英、陳俊全教授任教於台灣大學數學系, 尤釋賢教授任教於香港城市大學數學系---