47308 應用極坐標三點共線公式證明幾何題
應用極坐標三點共線公式證明幾何題

摘要: 極坐標是高中解析幾何中的必學內容。然而國內外教材中對極坐標的應用介紹甚少。 為彌補教材之不足, 以達到"數學傳播"之目的, 本文現補充介紹極坐標三點共線公式在幾何證明中的應用, 供高中師生和數學愛好者參考。

關鍵字: 三角形、 垂足三角形、 邊長、 面積。

一、極坐標三點共線公式

已知直線上三點的極坐標為 $A(\rho_1,\theta_1)$, $B(\rho_2,\theta_2)$, $C(\rho_3,\theta_3)$, 其中 $\rho_1\!\gt\!0, \rho_2\!\gt\!0, \rho_3\!\gt\!0$, 求證 $\left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{\rho_1}&~&\dfrac{1}{\rho_2}&~&\dfrac{1}{\rho_3}\\ \cos\theta_1&&\cos\theta_2&&\cos\theta_3\\ \sin\theta_1&&\sin\theta_2&&\sin\theta_3\end{array} \right|=0$。

圖1

證明: 設 $A$、 $B$、 $C$ 三點的直角坐標分別為 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$, $A$、 $B$、 $C$ 三點共線則有 $\left|\begin{array}{ccccc} 1&~&1&~&1\\ x_1&&x_2&&x_3\\ y_1&&y_2&&y_3\end{array} \right|=0$ 以 $x_i=\rho_i\cos\theta_i$, $y_i=\rho_i\sin\theta_i$ $(i=1,2,3)$ 代入得: $\left|\begin{array}{ccccc} 1&~&1&~&1\\ \rho_1\cos\theta_1&&\rho_2\cos\theta_2&&\rho_3\cos\theta_3\\ \rho_1\sin\theta_1&&\rho_2\sin\theta_2&&\rho_3\sin\theta_3\end{array} \right|=0$ $\because$ $\rho_i\gt0$ $(i=1,2,3)$,

$\therefore$ $\rho_1\rho_2\rho_3\left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{\rho_1}&~&\dfrac{1}{\rho_2}&~&\dfrac{1}{\rho_3}\\ \cos\theta_1&&\cos\theta_2&&\cos\theta_3\\ \sin\theta_1&&\sin\theta_2&&\sin\theta_3\end{array} \right|=0$。因而得 $\left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{\rho_1}&~&\dfrac{1}{\rho_2}&~&\dfrac{1}{\rho_3}\\ \cos\theta_1&&\cos\theta_2&&\cos\theta_3\\ \sin\theta_1&&\sin\theta_2&&\sin\theta_3\end{array} \right|=0$。

設極點 $O$ 在直線 $L$ 上, 則有三種情況:(1) $\theta_1=\theta_2=\theta_3$; (2) $\theta_1=\theta_2$, $\theta_3=\pi+\theta_1$; (3) $\theta_2=\theta_3=\pi+\theta_1$; 容易驗證結論也都成立。

二、應用舉例

例1 : 如圖2, 以圓 $O$ 的直徑 $AB$ 為一邊作一正 $\triangle ABC$, 同時將另一側的半圓三等分, 其分點為 $M$、 $N$, 連 $CM$、 $CN$ 交 $AB$ 於 $D$、 $E$。 求證: $AD=DE=EB$。

圖2

證明: 以 $O$ 為極點, $OB$ 為極軸建立極坐標系。 設圓 $O$ 半徑為 $R$, 則 $C(\sqrt 3R,90^\circ)$, $\because$ $\angle BON=60^\circ$, $\therefore$ $N(R,300^\circ)$, 令 $E(\rho_E,0^\circ)$, $\because$ $C$、 $E$、 $N$ 三點共線, $\left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{\sqrt 3R}&~&\dfrac{1}{\rho_E}&~&\dfrac{1}{R}\\ \cos 90^\circ&&\cos 0^\circ&&\cos 300^\circ\\ \sin 90^\circ&&\sin 0^\circ&&\sin 300^\circ\end{array} \right|= \left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{\sqrt 3R}&~&\dfrac{1}{\rho_E}&~&\dfrac{1}{R}\\ 0&&1&&\dfrac 12\\ 1&&0&&-\dfrac{\sqrt 3}{2}\end{array} \right|=0$。

按三階行列式的薩魯斯法則展開即得, $\dfrac 1{2\rho_E}\!-\!\dfrac 1{2R}\!-\!\dfrac 1R\!=\!0$ 解得 $\rho_E\!=\!\dfrac R3\!=\!|OE|$。 由圖形的對稱性得知, $|DE|\!=\!\dfrac 23R$, 又 $|BE|\!=\!R\!-\!|OE|\!=\!\dfrac 23R$, 故$|AD|\!=\!\dfrac 23R$, $\therefore$ $AD\!=\!DE\!=\!EB$。

例2 : 已知 $M$ 為正 $\triangle ABC$外接圓弧$BC$ 上一點, $MA$ 和 $BC$ 交於 $F$, 求證: $\dfrac{1}{MB}+\dfrac 1{MC}=\dfrac{1}{MF}$。

圖3

證明: 如圖 3, 以 $M$ 為極點, $Mx$ 為極軸建立極坐標系。 設 $|MB|=c$、 $|MC|=a$、 $|MF|=b$, 則 $B\Big(c,\dfrac{\pi}3\Big)$、$C\Big(a,\dfrac{5\pi} 3\Big)$、$F(b,0)$, $\because$ $B$、$F$、$C$ 三點共線,

$\therefore\quad \left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{c}&~&\dfrac{1}{b}&~&\dfrac{1}{a}\\ \cos\dfrac{\pi}{3}&&\cos 0&&\cos\dfrac{5\pi}{3}\\ \sin\dfrac{\pi}{3}&&\sin 0&&\sin\dfrac{5\pi}{3}\end{array} \right|=0, $ 接三階行列式的薩魯斯法則展開即得 $\dfrac 1a+\dfrac 1c=\dfrac 1b$, $\therefore$ $\dfrac{1}{MB}+\dfrac 1{MC}=\dfrac{1}{MF}$。

例3 : 過等腰$\triangle ABC$的底邊$BC$的中點$D$任作一直線與$AB$交於$M$, 與$AC$的延長線交於$N$。 求證: $\dfrac 1{AM}$、 $\dfrac 1{AB}$、 $\dfrac 1{AN}$ 成等差數列。

圖4

證明: 如圖 4, 以 $A$ 為極點, $Ax$ 為極軸建立極坐標系。 設 $N(n,\alpha)$、 $D(d,0)$、 $M(m,2\pi\!-\!\alpha)$。 $\because$ $N$、 $D$、 $M$ 三點共線, $\left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{n}&~&\dfrac{1}{d}&~&\dfrac{1}{m}\\ \cos \alpha&&\cos 0&&\cos (2\pi\!-\!\alpha)\\ \sin \alpha&&\sin 0&&\sin (2\pi\!-\!\alpha)\end{array} \right|=0$, 按三階行列式的薩魯斯法則展開即得 $\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac{2\cos\alpha}{d}$。

而在直角三角形 $ADB$ 中, $d=AB\cos\alpha$, 故代入上式即得 $\dfrac 1{AM}+\dfrac 1{AN}=\dfrac 2{AB}$, $\therefore$ $\dfrac 1{AM}$、 $\dfrac 1{AB}$、 $\dfrac 1{AN}$ 成等差數列。

例4 : 已知定圓 $S$ 的直徑 $AB=2r$, $BC$ 是過 $B$ 的一條動弦, 延長 $BC$ 到 $D$, 使 $CD=BC$。 求證: $AC$、 $SD$ 的交點 $M$ 的軌跡是一個圓。

圖5

證明: 如圖 5, 以 $A$ 為極點, $Ax$ 為極軸建立極坐標系, 設 $M(\rho,\alpha)$, $S(r,\pi)$。 $\because$ $AC$ 垂直平分 $BD$, $\therefore$ $AD=AB=2r$, $\therefore$ $\angle B=\alpha-\dfrac \pi 2$, $\therefore$ $\angle xAD=\angle D+\angle B=2\angle B=2\alpha-\pi$, $\therefore$ $D(2r,2\alpha-\pi)$。 $\because$ $S$、 $M$、 $D$ 三點共線, $\left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{r}&~&\dfrac{1}{\rho}&~&\dfrac{1}{2r}\\ \cos \pi&&\cos \alpha&&\cos (2\alpha\!-\!\pi)\\ \sin \pi&&\sin \alpha&&\sin (2\alpha\!-\!\pi)\end{array} \right|=0$,

按三階行列式的薩魯斯法則展開化簡即得 $\rho=-\dfrac 43 r\cos\alpha$。 化為直角坐標方程為: $\Big(x+\dfrac 23r\Big)^2+y^2=\Big(\dfrac 23r\Big)^2$, 因此 $M$ 點的軌跡是以 $\Big(-\dfrac 23r,0\Big)$ 為圓心, $\dfrac 23 r$ 為半徑的一個圓。

例5 : 過 $\angle P$ 的平分線上一點 $F$, 任作二直線 $AD$、 $BC$ 分別與 $\angle P$的兩邊相交於 $A$、 $D$ 和 $C$、 $B$。 求證: $\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{PA\cdot PC}{PB\cdot PD}$。

圖6

證明: 如圖 6, 以 $P$ 為極點, $PF$ 為極軸建立極坐標系, 設 $A(a,\alpha)$、 $F(f,0)$、 $D(d,-\alpha)$、 $C(c,\alpha)$、 $B(b,-\alpha)$ 則 $\because$ $A$、 $F$、 $D$ 三點共線 $\therefore$ $\left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{a}&~&\dfrac{1}{f}&~&\dfrac{1}{d}\\ \cos \alpha&&\cos 0&&\cos (-\alpha)\\ \sin \alpha&&\sin 0&&\sin (-\alpha)\end{array} \right|=0$,

按三階行列式的薩魯斯法則展開即得 $-\dfrac{\sin\alpha}a+\dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}f+\dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}f-\dfrac{\sin\alpha}d=0$, 化簡得 $\dfrac 1a+\dfrac 1d=\dfrac {2\cos\alpha}f$ (a) 同理由 $B$、 $F$、 $C$ 三點共線可求得 $\dfrac 1c+\dfrac 1b=\dfrac {2\cos\alpha}f$ (b) $\therefore$ (b)$-$(a) 得 $\dfrac 1c-\dfrac 1a=\dfrac 1d-\dfrac 1b$, $\therefore$ $\dfrac{a-c}{ca}=\dfrac{b-d}{db}$。 即 $\dfrac{AC}{PC\cdot PA}=\dfrac{BD}{PB\cdot PD}$, 故 $\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{PA\cdot PC}{PB\cdot PD}$。

三、極坐標三點共線公式逆命題的應用

例6 : 已知在圓 $O$ 內, 直徑 $AOB$ 和半徑 $OC$ 互相垂直, 圓 $O'$ 與 $OB$、 $OC$ 分別相切於 $D$、 $E$, 並與圓 $O$ 內切於 $F$。 求證: $A$、 $E$、 $F$ 三點共線。

圖7

證明: 如圖 7, 以 $O$ 為極點, $Ox$ 為極軸建立極坐標系。 設圓 $O$ 的半徑為 $R$, 圓 $O'$ 的半徑為 $r$, 則 $A(R,180^\circ)$, $F(R,45^\circ)$。 而由 $OO'=R-r$, $OO'=\sqrt 2r$ 得 $R-r=\sqrt 2r$, $\therefore$ $r=\dfrac {R}{\sqrt 2+1}=(\sqrt 2-1)R=OE$, $\therefore$ $E[(\sqrt 2-1)R,90^\circ]$ 由 \begin{align*} \left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{R}&~&\dfrac{1}{R}&~&\dfrac{1}{(\sqrt 2-1)R}\\ \cos 180^\circ&&\cos 45^\circ&&\cos 90^\circ\\ \sin 180^\circ&&\sin 45^\circ&&\sin 90^\circ\end{array} \right|=\,& \left|\begin{array}{ccccc} \dfrac{1}{R}&~&\dfrac{1}{R}&~&(\sqrt 2+1)\dfrac{1}{R}\\[4pt] -1&&\dfrac{\sqrt 2}{2}&&0\\[4pt] 0&&\dfrac{\sqrt 2}{2}&&1\end{array} \right|= \frac 1R \left|\begin{array}{ccccc} 1&~&1&~&(\sqrt 2+1)\\ -1&&\dfrac{\sqrt 2}{2}&&0\\[5pt] 0&&\dfrac{\sqrt 2}{2}&&1\end{array} \right|\\ =\,&\frac{1}{R}\Big[\frac{\sqrt 2}{2}+1-\frac{\sqrt 2}{2}(\sqrt 2+1)\Big]=0 \end{align*} $\therefore$ $A$、 $E$、 $F$ 三點共線。

綜上所述可見: 運用極坐標三點共線公式證明這類問題時, 首先要選擇好極坐標系, 再從分析題設和結論中有關點所在的直線入手, 根據三點共線公式, 適當結合三角形的邊角關係, 通過恒等變形, 消去無關的量即可。 此法簡捷明快, 富有規律, 很少添設輔助線, 是證題的一種好手段, 值得重視。 通過這一專題講座, 我還有如下幾點體會:

1. 注意極坐標應用的研究, 利於培養學生的思維品質、 創新精神和探索精神, 利於融會貫通學過的內容, 利於培養學生學數學用數學研究數學的興趣, 利於提高教學品質。

2. 注意極坐標應用的研究, 不僅符合新課程改革, ``$\cdots$讓學生的思維活躍起來'' 的理念要求, 而且利於提高學生的專題總結水準, 利於學生在總結過程中, 開闊思路, 鞏固所學內容, 提高學習和研究專題講座的水準。

3. 注意極坐標應用的研究, 對於幫助學生理解課本內容, 提高解證題水準, 啟迪思維, 拓寬視野, 對於在理性思維中培養和發展學生的思維能力, 均頗有益處。

4. 注意極坐標應用的研究, 不僅利於學生系統靈活地掌握學過的知識, 提高學習效率, 而且利於提高學生數學思維的能力和綜合運用知識的水準, 對於培養學生探索精神和創新意識, 將會起到積極的作用。

參考文獻

于志洪。 用直線極坐標兩點式證明競賽題。 中學教研 (數學), 浙江師大主辦, 1992 年第 3 期。 于志洪。 極坐標法證朗古萊定理及其推廣。 太平洋數學雜誌 (美國加州大學主辦), 1996 年第 2 期。 于志洪。 三點共線的極坐標公式在平幾中的應用。 教學通訊(理科版), 河南鄭州, 1984 年第 11 期。 于志洪。 應用極坐標兩點式方程證明幾何定理。 天津教育學院學報(自然科學版), 1998 年第 1 期。

本文作者為中國江蘇省泰州中學附屬初級中學退休教師