47302 數字與方程式的對稱性──Langlands綱領
數字與方程式的對稱性──Langlands綱領

本文於2023年5月18日刊載於中研院訊漫步科研專欄, 作者及中研院訊同意本刊轉載。

在複雜的現代社會裡, 我們會在各種小地方與數字有關的小問題不期而遇。 比如說, 我想要為一款遊戲設計一個方格狀的棋盤, 裡面有五種顏色的方格:

上圖的設計有一些對稱性, 像是:

1. 讓盤面無限延伸的話, 每種顏色出現的頻率和方式都一樣。

2. 把同色的方格連起來, 也會形成一個正方格狀的結構。

讀者可以發現, 大的正方格面積是小方格的五倍。 這是因為我們有畢氏定理:

$2^2+1^2=5$

如果小方格的邊長與面積是 1, 那麼大方格的邊長是 $\sqrt{5}$, 面積是 5。 這也說明了每種顏色佔據的比例是五分之一, 所以五種顏色正好填滿棋盤。 這給了我們一個有趣的小觀察:

「同樣的設計, 對三種顏色或是六種顏色行不通, 因為3和6不能寫成兩個整數的平方和。」

這就給了我們一個信手拈來的關於數字的小問題: 有哪些數字 (整數)可以寫成另外兩個整數的平方之和呢? 比如說 $4=2^2+0^2$、 $8=2^2+2^2$、 $9=3^2+0^2$、 $10=3^2+1^2$、 $13=3^2+2^2$。 中間被我們跳過的 3, 6, 7, 11, 12 則不能寫成兩個整數的平方和。 法國數學家吉哈 (Girard) 和費馬 (Fermat) 都曾提出過以下的觀察:

定理A: 一個正整數 $n$ 可以寫成兩個整數的平方和的條件如下: $n$ 可以寫成一個平方數和一些質數的乘積, 使得這些質數都可以寫成兩個整數的平方和。

比如說, $45=3^2\times 5$, 而我們也可以從 $5=2^2+1^2$ 推導出 $45=6^2+3^2$。 反過來說 $12=2^2\times 3$, 而 3 不能寫成兩個整數的平方和, 12 也不行。 又比如 $15=3\times 5$, 其中 3 不能寫成兩個整數的平方和, 於是 15 也不行 (儘管 5 可以)。 一般來說, 哪些質數可以寫成兩個整數的平方和呢? 我們有:

定理B: 一個質數 $p$ 可以寫成兩個整數的平方和的條件是: $p$ 除以 4 的餘數不等於 3。

好比像 $2=1^2+1^2$、 $5=2^2+1^2$、 $13=3^2+2^2$、 $17=4^2+1^2$、 $29=5^2+2^2$ 這些除以 4 的餘數都不是 3。 至於 3, 7, 11, 19, 23 這些除以 4 餘 3 的質數, 就只能乾瞪眼了。

在我們看更多例子之前, 讓我們談談上面這兩個定理的原理。 首先, 讓我們提煉一個在本文會一直若隱若現的哲學。

「關於整數的問題, 經常可以分解成關於每個可能的質(因)數的問題。」

有興趣閱讀完整定理 A, B 證明的讀者可以參考維基百科關於「費馬平方和定理」的條目 (英文條目"Fermat's theorem on sums of two squares"有比較多的內容)。 通常在大學代數如果講到這個定理的話, 會從如下的引理出發 (詳見英文條目裡 Dedekind 的第二個證明):

引理C: 對於一個質數 $p$, 存在整數 $n$ 使得 $n^2+1$ 是 $p$ 的倍數的條件等同於定理B的條件, 也就是 $p$ 除以 4 的餘數不等於 3。

前面定理 A、 B 和引理 C 都是數學家所研究的對稱性。 說得哲學一些是:

「用一種方式表述的結構 (好比一個 $\star$ 符號、 或是能寫成兩平方和的質數), 在另一種操作底下 (旋轉 72 度、 或是除以 4 取餘數) 保持不變。」

在數論 (研究整數的數學)中, 有一系列像前述這樣子, 相當奇特的對稱性。 讓我們看看更多例子。 比如說, 引理 C 的高次方變體是:

定理D: 對於任意兩個相異質數 $p$ 和 $q$。 以下兩個條件等價:

I. 存在整數 $n$ 使得 $n^{p-2}+n^{p-3}+\cdots+1$ 是 $q$ 的倍數。

II. $q$ 除以 $p$ 的餘數是 1。

接下來這個例子更神奇了。考慮無窮級數

\begin{align*} h(u)=\,&u\prod_{n\ge 1} (1-u^n)(1-u^{23n})\\ =\,&u(1-u)(1-u^2 )\cdots(1-u^{22}) (1-u^{23} )^2 (1-u^{24} )\cdots(1-u^{45} ) (1-u^{46} )^2\cdots \\ =\,&u-u^2-u^3+u^6+u^8-u^{13}-u^{16}+u^{23}-u^{24}+u^{25}+u^{26}+u^{27}-u^{29}\\ &-u^{31}+u^{39}-u^{41}-u^{46}-u^{47}+u^{48}+u^{49}-u^{50}-u^{54}+u^{58}+2u^{59}+\cdots \end{align*}

(喜歡計算的讀者, 可以享受一下把上一行乘起來得到下一行的過程。)

定理E: 對於質數 $p$, 以下兩個條件等價;

I. 存在整數 $n$ 使得 $n^3-n-1$ 是 $p$ 的倍數。

II. 在無窮級數 $h(u)$ 裡, $u^p$ 的係數非正。 (這時它們的係數一定是 $-1$。)

比如說, 在上面的級數中, 對於 $p=2, 3, 13, 29$ 等質數, $u^p$ 的的係數是 $-1$。 其他係數不是 $-1$ 的質數 (最常見的是 0, 第一個正係數的質數次方是 $u^{23}$, 再來是 $2u^{59}$) 像是 $p=5, 7, 11$ 等, 就存在整數 $n$ 使得 $n^3-n-1$ 是 $p$ 的倍數, 比如 $2^3-2-1=5$ 是 5 的倍數, $5^3-5-1=119$ 是 7 的倍數等等。

讓我們再瞪著上面的級數看幾眼, 它有幾個令人想吐槽的問題。 好比說, 為什麼要有 $u$ 的 23 次方呢? 23 這個神奇數字是 $x^3-x-1$ 這個三次多項式的判別式。 但更令人抓狂的是 $\cdots$ 好吧, 就算有 23 好了, 那為什麼是上面這個神祕的無窮級數呢?

再看一次這個無窮級數:

\begin{align*} h(u)=\,&u\prod_{n\ge 1}(1-u^n )(1-u^{23n} )\\ =\,&u-u^2-u^3+u^6+u^8-u^{13}-u^{16}+u^{23}-u^{24}+u^{25}+u^{26}+u^{27}-u^{29}\cdots \end{align*}

它有一系列美妙的性質。 比如說,

I. 每當 $a, b$ 是兩個互質的正整數, 在無窮級數 $h(u)$ 裡我們都會有

$$u^{ab}\, \hbox{的係數} = u^a\,\hbox{的係數} \times u^b\,\hbox{的係數。}$$

例如

$\bullet$ $u^2$ 和 $u^3$ 的係數都是 $-1$, 而 $u^6$ 的係數果然是 $-1\times -1=1$。

$\bullet$ $u^4$ 的係數是 0, 對所有奇數 $k$, $u^{4k}$ 的係數 (例如 $u^{12}, u^{20}, u^{28}$) 都是 0。

$\bullet$ $u^3$ 的係數是 $-1$, $u^8$ 的係數是 1, 而 $u^{24}$ 的係數果然是 $-1\times 1=-1$。

順帶一提, 我們的無窮級數若是沒有乘上 $(1-u^{23n})$ 的項, 那麼 $u^{24}$ 的係數就會不一樣, 這個特別的性質也就不會成立了。

II. 上面那些係數是 $-1$ 的質數 $(p=2, 3, 13, 29)$ 等等都可以寫成 $2x^2+xy+3y^2$ 的樣子, 其中 $x, y$ 是整數。

例如 $13=2\times 2^2+2\times (+1)+3\times (+1)^2$。 這裡 $2x^2+xy+3y^2$ 的判別式也是 $1^2-4\times 2\times 3=-23$ (我們的 23 又出現啦!)。 總之, 這個無窮級數還有幾個這樣的特性。 其中最厲害也最神祕的特性, 需要考慮將 $u$ 帶入複數的值。 讓我們對無窮級數 $h(u)$ 帶入 $u=e^{2\pi iz}$, 其中 $z$ 是任何虛部大於 0 的複數。 讓我們寫做 $f(z)=h(e^{2\pi iz})$。 由於複數指數函數 $e^{2\pi iz}$ 的性質, 我們有:

(a) 在 $z$ 的虛部大於 0 時, $|u|\lt1$, 從此可以證明無窮級數收斂。

(b) 由於 $e^{2\pi i(z+1)} =e^{2\pi iz}$, 我們有 $f(z+1)=f(z)$。

不只如此, 我們有:

(僅為示意圖; 上圖是沒有考慮 23 的情況。23 這個數字有點大, 我不會畫。)

定理F: 函數 $f(z)=h(e^{2\pi iz})$ 滿足方程式:

$$f\Big(\frac z{23z+1}\Big)=(23z+1)f(z).$$

定理 F 完整的描述是:

定理G: 對於任意整數 $a, b, c, d$ 滿足 $ad-bc=1$, 且 23 整除 $c$ 和 $d-1$, 我們有:

$$f\Big(\frac{az+b}{cz+d}\Big)=(cz+d)f(z).$$

(定理 F 是定理 G 在 $a=d=1$, $b=0$, $c=23$ 時的特例。)

滿足定理 G 的函數稱為一個模形式(modular form)。 模形式有高度的對稱性。 把關於變數 $z$ 的對稱性畫出來, 大概像這樣:

現在我們可以跟大家分享標題裡的 Langlands 綱領是什麼。 這是數論近年來最重要的領域之一。 你可以說 Langlands 綱領是一套哲學, 它表述的是:

「每個多項式整數方程式, 都對應到某個定理 G 這樣有極大對稱性的函數。」

上面這句話有很多模糊之處, 比如「對應」到底是誰對應誰, 以及怎樣算是「有極大對稱性的函數」; 這些都有具體的陳述, 但筆者沒有能力在幾千字的篇幅解釋。 在比較簡單的情況, 好比定理 B 和定理 D。 我們的「函數」非常直接 (除以 4 取餘數, 或是除以 $p$ 取餘數)。 定理 E 的函數$f(z)=h(e^{2\pi iz})$則相當複雜。 另一方面, 「多項式整數方程式」的解的概念可以做相當的推廣。 這需要用到抽象代數裡面「域擴張」(field extension) 和「伽羅瓦群」(Galois group)的概念。

在 Langlands 綱領的研究裡, 數十年來許多數學家累積起來的結果讓上面的句子不只是哲學, 而是像本文的各個定理, 是具體可以驗證的結果。 好比說, 讀者可能聽說過費馬最後定理:

「對於正整數 $n\ge 3$, 方程式 $a^n+b^n=c^n$ 不存在正整數解。」

這個在 1995 年由 Wiles 以及他的合作者 Taylor 完成證明的定理, 其證明正仰賴 Langlands 綱領的一個特別的情形。 雖然這個證明有數百頁艱難的過程, 我們可以用 Langlands 綱領的哲學來做個簡單的總結:

1. 首先將費馬最後定理化約到 $n=p\ge 3$ 是個質數, 並且 $a, b, c$ 互質的情形。

2. 假設方程式有正整數解, 則我們可以考慮另一個方程式 (Frey curve):

$$y^2=x(x-a^p)(x+b^p)$$

這個方程式的性質是等號右邊的三個一次項 $x,x-a^p$ 和 $x+b^p$ 之間兩兩的差是 $a^p, b^p$ 和 $c^p$, 是三個互質而且各自有高度重複質因數的數字。 接下來是真正困難的部分:

3. Wiles 和 Taylor 證明了此時的Langlands綱領: 上述方程式對應到一個類似定理 G 的模形式。

4. 由 Ribet 在 1986 年證明的一個重要結果, 我們可以把這個模形式化約到另一類更簡單的模形式。 後者這類簡單的模形式只有有限多個, 可以被一一列舉, 從而檢查沒有一個可以是步驟 3 的模形式化約的結果。 因此不可能有 $y^2=x(x-a^p)(x+b^p)$ 這樣的方程式。

讓我們給幾句結語: 現代的數學非常困難, 往往在小地方就充滿了幾個禮拜也難以解釋的現象與細節。 但數學的美妙之處之一是數學研究往往蘊含有富有解釋性的哲學 (例如 Langlands 綱領), 這些哲學可以用很精確的方式, 來解釋一些具體的問題 (例如費馬最後定理、 或者設計遊戲的棋盤)。 而我們數學家的工作, 正是去找到這樣的哲學/理論、 並且給出具體的解釋/定理。

本文作者任職於中央研究院數學所