摘要: 學證明是高等數學的重要學習指標, 證明除了有解釋以及交流溝通的功能之外, 在數學系所的實務課堂中, 不管是教學、 作業、或是考試,證明佔有的比例都相當高。 本文介紹數學證明中可能出現的錯誤, 並依照其特點進行分類, 共有十個子類型並分成三大類型。 於文中所展示之實例均盡可能使用現有文獻曾出現過的範例。 希望透過這些類別的介紹, 能提高證明學習初學者對證明的理解, 也可以讓專業的數學教師編寫出更好的證明文本。
關鍵字: 數學證明、證明錯誤。
一、緒論
長期以來, 數學證明一直被視為數學的中心和數學教育的重點
由於證明在數學教育的重要性, 課程設計者也會強調證明在數學課程中的作用。
數學教育研究人員認為, 在中學數學的課程中持續接觸證明內容可以使大多數學生保持連貫性與一致性
綜上所述, 以及參考國內外的國家級教育單位所明列之推行政策, 可窺得數學證明的理解與學習實在是扮演數學教育中舉足輕重之地位, 其重要性可見一斑。 同樣地, 數學證明錯誤類型的分類也相當重要, 原因有以下三個：
(1) 在書寫數學證明時能少犯錯誤
了解數學證明錯誤類型的人可以在自己編寫數學證明時防止出錯, 因為他們已經知道可能出現哪些類型的錯誤, 在檢查時也能依照分類去檢視, 避免自己在書寫證明時犯下錯誤。
(2) 為大學教師提供確認學生證明的參考
在高等教育的課堂中, 教師需要確認學生所寫的證明, 例如考試、作業中的證明題。除此之外, 教師需要深入了解數學證明的不同過程, 以便解釋和回應學生的論點
(3) 提供大學教師設計教材作為參考
確認證明有效或無效是學生的一項重要能力, 在學生確認證明時, 要去決定論述是否能接受可以帶給學生對於證明理解的不同觀點
然而, 目前的文獻並沒有提供數學證明錯誤類型較完整之分類, 大多數研究只介紹了一些證明錯誤類型。
以下是現有文獻提及證明錯誤類型的介紹： 許介彥
由於尚未有文獻提供較完整分類錯誤的類型, 可能會導致數學讀者不清楚數學證明中可能出現的錯誤類型。 有鑑於此, 作者專門對數學證明錯誤類型進行了分類, 且有別於上述介紹之文獻, 本分類兼具宏觀性與微觀性, 在三大分類之下還有細分不同子類型, 以便未來對設計證明驗證任務感興趣的讀者可以更方便地進行錯誤類型說明和文本設計。 在本文中, 我們將介紹證明錯誤的類型, 如表 1 所示。 將錯誤類型分成三大類： 迷思概念、推導錯誤、其他。 其中迷思概念有五種錯誤子類型, 推導錯誤有三種錯誤子類型, 其他有兩種錯誤子類型。 迷思概念類型包含錯誤起因是對證明方法、證明架構、數學定義或符號有迷思概念； 推導錯誤類型主要探討行與行之間推論的錯誤； 而其他類型則是用以補足上述兩類型之外, 但又確實常見於學生答案之狀況。 本文的下一節將更詳細地介紹這些內容。
二、數學證明錯誤類型
如表 1 所示, 十種證明錯誤類型分為三類, 根據需要又分為一些子類型。 其中大多數錯誤類型的例子都可以在現有的實證研究中找到, 以下是證明錯誤類型的介紹：
(一) 迷思概念類型
迷思概念類型的證明錯誤內含五種子類型, 前四類為對證明的迷思概念, 第五類為對定義的迷思概念。 對證明的迷思概念意指不清楚何謂證明或不了解特殊的證明架構, 包含： 不知道使用的變數需宣告、把舉例當成是有效證明、在證明一開始即假設結論為真、不懂充要條件的證明需證明雙向、 不清楚證明方法的架構。對定義的迷思概念意指對於證明當中會使用到的定義不夠清楚, 錯誤的使用而導致證明不正確。 迷思概念所造成的書寫證明錯誤, 幾乎只發生在證明的初學者(大學生以下), 由於數學家(指專業研究人員或大學教師) 的迷思概念較少, 因此鮮少發生在數學家所寫之證明。 對於子類型的詳述如下：
1. 出現未宣告變數
此錯誤類型乃是指在證明書寫過程中, 出現了未加定義或無宣告說明的變數。 被歸類在迷思概念類型之中, 是因為書寫證明的作者不清楚使用變數需宣告, 對於證明中的變數使用有迷思概念。 由於數學語言常常會使用符號, 因此對於每一個出現的變數都必須加以說明敘述, 才能讓讀者清楚了解該變數的定義為何。 對於數學證明的非初學者而言, 宣告變數可算是習以為常, 因此這類型錯誤較常出現在尚未將變數宣告當成習慣或是沒把變數宣告當成有效證明之必要條件的證明初學者。 雖然有時未宣告的變數僅僅是證明錯誤中的「小瑕疵」, 但有時也會導致初學者產生錯誤的理解, 圖 1 是文獻中發現有「出現未宣告變數」的錯誤例子：
在圖 1 中, 這個命題的目標是證明「質數有無窮多個」, 這是一個眾所周知的證明。 然而, 8 行證明之中沒有宣告 $p_1$、 $p_2$、 $p_3$、$\cdots$、 $p_n$ 為何, 在證明的第3行便出現了 $p_1$、 $p_2$、 $p_3$、 $\cdots$、 $p_n$。 除了變數本來就應該宣告說明的原則之外, 變數定義的缺漏會讓讀者更難跟隨證明的思考模式, 特別是在一個證明中出現很多變數的時候。
2. 以特例做為證明
此錯誤類型是指在證明過程中, 僅僅舉了有限個例子便以為是正式證明(非指舉反例的否證)。
被歸類在迷思概念類型之中, 是因為書寫證明的作者不清楚可形成證明之條件, 具有舉例可當成證明的迷思概念。
由於證明需滿足所有可能的狀況, 而常見的自然數、實數或是數線與平面上的點都有無窮多個元素, 因此只有舉部分的例子, 是無法符合數學強調的一般性。
Inglis 與 Alcock
在圖 2 之中, 此題目標是證明「若 $m$ 是 $n$ 的因數且 $m$ 是 $p$ 的因數, 則 $m$ 是 $n+p$ 的因數」, 證明過程僅僅舉了一組合乎此關係的數字便認為得證, 可看出學生含有舉例可做為正式證明的迷思概念。
3. 假設結論正確
此錯誤類型乃是指在證明過程的最開始便假設結論正確, 這在一個有效的證明中是絕計不會看到的, 把 $p\Rightarrow q$ 的證明目標證成 $q\Rightarrow q$ 或是 $q\Rightarrow p$。 有別於常見的反證法, 因為邏輯上 $p\Rightarrow q$ 等價於 $\sim q\Rightarrow \sim p$, 反證法是由 $\sim q$ 起始證明, 這與此錯誤類型由 $q$ 起始是完全不同的。 被歸類在迷思概念類型之中, 是因為正確的證明方法(直接證明法、矛盾證法、反證法、 $\cdots$) 都不會出現此錯誤類型, 書寫出此錯誤類型證明的作者可能尚不清楚證明的常用方法有哪些, 對於要如何形成證明有迷思概念。 這類型錯誤常見於對證明架構不夠了解的證明初學者, 而其中可再分為兩種子類別, 以下是子類別的說明與舉例：
(1) 結論同時為證明的起點與終點
此錯誤類型即把 $p\Rightarrow q$ 的證明目標證成 $q\Rightarrow q$ , 一開始先假設結論正確, 最終自然會發現結論是對的。 在沒有其他錯誤發生之情況, 這樣的證明若只看推論過程, 會發現是沒有推論錯誤的, 但不符合命題要求而已。 圖 3 是文獻中發現有「結論同時為證明的起點與終點」的錯誤例子：
圖 3 中, 此題目標是證明「若 $x,y$ 均為正偶數, 則 $x+y$ 為偶數」, 證明過程一開始便假設 $x+y$ 為偶數, 最後當然會得證 $x+y$ 為偶數, 但並不是一個合乎命題的有效證明。
(2) 證明方向相反
此錯誤類型即把 $p\Rightarrow q$ 的證明目標證成 $q\Rightarrow p$, 原始目標要證明 $q$ 為真, 卻證成 $p$ 為真, 自然是錯誤的證明。 此類型與前一類「結論同時為證明的起點與終點」相當類似, 但仍不盡相同。 除了結論部分一為 $q$、 一為 $p$ 之外, 前一類型的推論過程多半無誤, 但此類型則不一定, 因為 $p\Rightarrow q$ 並不等價於 $q\Rightarrow p$, 即便 $p\Rightarrow q$ 正確, 也不保證 $q\Rightarrow p$ 正確。 圖 4 是文獻中發現有「證明方向相反」的錯誤例子：
圖 4 中, 此題目標是證明「若 $m,n$ 均為整數且 $mn$ 為奇數, 則 $m$ 為奇數且 $n$ 為奇數」, 證明過程一開始便假設 $m$ 為奇數且 $n$ 為奇數, 最後得證 $mn$ 為奇數。 因為兩奇數相乘為奇數為真, 此題證明過程的邏輯推論無誤, 但不符命題要求, 不為有效證明。
4. 特殊的證明架構不清楚
此錯誤類型乃是指學生對於一些特殊的證明手法不熟悉, 不清楚證明架構, 以致於無法正確寫出證明。 數學證明的特殊方法都有其自己的架構, 例如： 數學歸納法、矛盾證法、反證法、等價敘述證明, 此類型錯誤常見於對特殊證明架構不夠了解的證明初學者, 針對較常見的錯誤可再分為兩種子類別, 以下是子類別的說明與舉例：
(1) 等價敘述的證明方法不清楚
此錯誤類型即不清楚如何證明等價敘述。
被歸類在迷思概念類型之中, 是因為書寫出此錯誤類型證明的作者對於要如何完成等價敘述之證明有迷思概念。
等價敘述的要求, 即滿足若某一敘述成立, 要能推得其他敘述成立。
舉例來說：若要證明三敘述 $A, B, C$ 為等價敘述, 正確的證明方式大致有兩種, 一為環狀式的證明, 分別證明「$A\Rightarrow B$」、
「$B\Rightarrow C$」、「$C\Rightarrow A$」, 另一是證明兩兩敘述為充要條件「$A\Leftrightarrow B$」、
「$B\Leftrightarrow C$」(若這兩關係成立, 「$A\Leftrightarrow C$」已隱含在其中, 故不需再證明)。
Stavrou
圖 5 中, 雖然成功證明了「$1\Rightarrow 2$」、「$2\Rightarrow 3$」, 但這 10 行的證明並不是此等價敘述性質的完整證明, 因為等價敘述證明需符合若某一敘述成立, 要能推得其他敘述成立。 在此示例中, 僅完成當敘述 (1) 成立時, 可以推得敘述 (2)、(3) 成立, 以及當敘述 (2) 成立時, 可以推得敘述 (3) 成立。 若是敘述 (3) 成立時, 並沒有辦法以此證明得到敘述 (1)、(2) 成立 (也無法說明敘述 (2) 推到敘述 (1))。 另一種常見於初學者對於等價敘述證明的迷思概念, 會誤以為要直接證明個別敘述為真, 圖 6 是線性代數中等價敘述之命題, 可依此例來說明若學生誤以為等價敘述證明是要直接證明個別敘述, 在證明過程中會遇到何種困難：
圖 6 是等價敘述之命題, 目標應證明當敘述 (1) 成立時, 敘述 (2) 也會成立, 以及當敘述 (2) 成立時, 敘述 (1) 也會成立。 如果有學生誤以為要證明「下列兩敘述均成立」, 此命題將變成錯誤之命題。 因為只有在 $V$ 沒有 non-trivial subspace 時 (即 $V$ 的 subspace 只有零空間與自己), 敘述 (1)、(2) 才會一定成立, 若 $V$ 有 non-trivial subspace, 則挑出來的 subspace $W_1$、 $W_2$ 就不一定會同時滿足敘述 (1)、(2)。 既然命題是錯誤的, 學生再如何嘗試證明也不可能得到正確之證明, 更有可能誤以為找到反例, 但其實是自己對等價敘述的證明方法有迷思概念。
(2) 數學歸納法的初始狀態無法迭代推論
數學歸納法具有獨特的兩階段證明結構： 基底步驟 (basis step) 和歸納步驟 (inductive step)。 其中, 歸納步驟是迭代推理, 目的是希望通過這個過程, 能讓證明目標從起始值滿足所有情況。 如果除了起始值之外的歸納步驟正確, 便會出現這種類型的錯誤。 這種錯誤類型的謬誤經常出現在流行的數學文章中, 作者的意圖是透過這樣的矛盾和趣味結果來震撼讀者的邏輯思維。 被歸類在迷思概念類型之中, 是因為看不出此類錯誤的讀者對於數學歸納法之操作模式不夠瞭解, 尚有些許迷思概念。 圖 7 是文獻中發現有「數學歸納法的初始狀態無法迭代推論」的錯誤例子：
在圖 7 之中, 此題目標是證明「任意 $n$ 個人, 生日都同一天」。 很明顯地, 這是個錯誤的命題, 因此, 證明過程中必定有誤。 在第一步驟起始值的部分沒問題, 因為一個人的生日當然只有一種。 在數學歸納法的歸納步驟中, 這個推理也是正確的, 但必須建立在 $k\ge 2$ 的前提下。 如果「任意兩個人的生日是同一天」成立, 自然會推導出「任意三個人的生日是同一天」。 但是很明顯地, 「任何兩個人的生日都是同一天」是錯誤的, 因為在第 3 行中, 如果將 $k$ 替換為 1, 可以看出敘述是不合理的。 從「任何一個人的生日都是同一天」不能推斷出「任何兩個人的生日都是同一天」。 因此, 本例的歸納步驟不適用於 $n=1$ 至 $n=2$。
5. 對定義的誤解
此錯誤類型乃是指學生對於證明中用到的數學定義存在迷思概念, 可能是對於符號不清楚或是對定義不了解, 例如不會區分「屬於 $\in$」與「包含於 $\subset$」、 不了解自然數的定義、 搞混 one-to-one 與 onto 性質 $\cdots$。 此類型強調的是對符號或定義內容的迷思概念, 而非前四類對證明的迷思概念, 這類型錯誤較容易出現在證明初學者, 因為初學者的符號、 定義迷思概念較非初學者多。 圖 8 是文獻中發現有「對定義的誤解」的錯誤例子：
圖 8 中, 此題目標是證明「函數 $f$ 為 onto」。 但學生卻證成「函數 $f$ 為 one-to-one」(最後一行表示學生以為這是 onto 的證法), 可看出這位學生將 one-to-one 與 onto 的定義混淆, 不清楚專有名詞的定義, 自然無法寫出正確的證明。
(二) 推導錯誤類型
推導錯誤內含三種子類型, 雖然有三種子類型, 但主因均為推導有誤, 被歸類在推導錯誤類型之中, 是因為行與行之間的推論錯誤(包含解釋不夠清楚)。
一言以蔽之, 即證明中前一行或前幾行的論述並不能推得下一行
6. 認知差距
「認知差距」意指證明過程中從上一行推到下一行, 被認為需更加詳細說明。
「認知差距」的特色是若單看邏輯推論過程, 是正確的, 也會符合題目要求, 被認為「錯誤」的原因是兩行之間的關連若無解釋是不夠清楚的。
因此, 若有的讀者認為兩行之間關連是不需解釋也可以明顯推得, 那麼該讀者便不會認為有「錯誤」。「認知差距」是少數讓有些讀者會覺得錯誤、
有些讀者會覺得正確的類型, 端看該讀者認定行與行之間的推導關係有無交代清楚。然而, 寫出「認知差距」的作者不同, 是學生抑或是學者, 其背後的原因也不太一樣。
學生寫出讓教師認為有「認知差距」的內容, 多半是教師覺得學生這句推論解釋得不夠清楚, 或是學生證明到一半, 發現不知如何推到結論, 便直接將結論寫在下一行,
形成一個看起來邏輯無誤的證明。若是學者寫出的「認知差距」, 通常有兩種原因, 一是在課本中為了使讀者多動腦思考, 讓讀者對於證明文本更有參與感
在圖 9 之中, 此題目標是證明「若 $n^2$ 為 3 的倍數, 則 $n$ 為 3 的倍數」。
證明過程僅由「$nn=3x$」便得到「$3|n$」。
雖然由邏輯推論的觀點是正確的, 然而, 此命題要考的即為說明如何從「$3|n^2$」得到「$3|n$」, 但學生卻沒有把原因詳細說出, 故此題錯在解釋不夠清楚。
前一段落提過「認知差距」類型的錯誤可能會有讀者覺得正確, 文獻的實徵資料也印證了這個觀點。
由於樣本若為證明確認能力較不足的學生, 在結果印證上可能會較存疑, 有可能被認為是能力不足而將此類型錯誤判斷成正確, 因此只尋找專家樣本的資料。
在 Inglis 與 Alcock
7. 性質或定理誤用
「性質或定理誤用」意指證明過程中推論到某一行是錯誤的, 其推論的因果關係不成立, 原因為錯誤使用性質或定理。 「性質或定理誤用」與「認知差距」的差別在於：「認知差距」的推論正確, 但需要詳述的理由沒有寫出, 而「性質或定理誤用」是推論錯誤。 雖然有錯誤出現, 便能以迷思概念來解釋, 此處可看成對於性質或定理的迷思概念, 但有別於前面所提專指定義或證明架構的迷思概念類型, 此處強調的是推論上的錯誤。 圖 10 是文獻中發現有「性質或定理誤用」的錯誤例子：
圖 10 中, 此題目標是證明「當 $n$ 趨近於無窮大時, $\sqrt{n}$ 也會趨近於無窮大」。 證明過程在出現「性質或定理誤用」之前有包含其他錯誤, 例如： 第一行「$a\lt b\Rightarrow a^m\lt b^m$」, 此式並非總是正確, 需要對於 $a,b,m$ 定義清楚, 為「出現未宣告變數」類型錯誤； 對於第三行的 $n$, 未說明屬於哪個集合, 也是「出現未宣告變數」類型錯誤。 雖然前三行的推論有瑕疵, 但第三行的性質「$\sqrt{n}\lt\sqrt{n+1}, \forall\, n\in {\Bbb N}$」是正確的, 而在第三行「$\sqrt{n}\lt\sqrt{n+1}, \forall\, n\in {\Bbb N}$」 推論到第四行「當 $n$ 趨近於無窮大時, $\sqrt{n}$ 也會趨近於無窮大」時, 便出現「性質或定理誤用」。 因為「$\sqrt{n}\lt\sqrt{n+1}, \forall\, n\in {\Bbb N}$」 僅能說明 $\sqrt{x}$ 在自然數定義域上是遞增函數, 但遞增不一定發散(例如令 $f:{\Bbb R}^+\to {\Bbb R},\ f(x)=-\frac 1x$。 $f$ 在 $R^+$上為遞增函數, 但並不會發散至無窮大, 而是收斂到 0), 因此為「性質或定理誤用」。 迷思概念類型的錯誤是強調連定義都不了解, 而「性質或定理誤用」是對於性質、定理的錯誤使用, 以此例來說, 便是學生誤以為有「遞增函數一定發散」的性質, 導致錯誤推論。
8. 考量情況未完整
「考量情況未完整」意指證明過程中推論到某一行是錯誤的, 其推論的因果關係不成立, 原因為在推論時以分類討論, 但卻漏了某些情況而導致推導錯誤。 「考量情況未完整」與「性質或定理誤用」的差別在於： 「性質或定理誤用」強調推論過程使用了錯誤的性質或定理, 而在推論過程若有分類且有遺漏的情況, 則屬於「考量情況未完整」, 此處特別強調是分類不夠完整。 圖 11 是「考量情況未完整」之例：
圖 11 是「考量情況未完整」之例。在第5行中, 「$k$, $k+2$, $k+4$ 並非都是質數」是指 $k$, $k+2$, $k+4$ 中至少有一個不是質數, 但是在第 6、 7 和 8 行中, 學生認為至少有一個是質數, 缺少考慮「$k$, $k+2$, $k+4$ 都是合數」。 雖然可能會有讀者認為該學生錯誤解讀「$k$, $k+2$, $k+4$ 並非都是質數」。 若是至少有一個不是質數, 在分類時應該是分別討論 $k$ 不是質數、 $k+2$ 不是質數、 $k+4$ 不是質數, 而非該學生分類的 $k$ 為質數、 $k+2$ 為質數、 $k+4$ 為質數。 然而, 我們可以試想一種情境, 如果今天是學生拿著這份答案來詢問為何有錯？ 單純只回答「因為學生想法解讀有誤」, 好像不是一個準確的回答。 就好像要如何說命題是錯的, 舉反例是最直接指出錯誤的方法, 通常不會去質疑錯誤命題的想法。 因此, 對於圖 11 之例, 要如何回應學生的
錯誤何在？ 單純要找證明內容出現的瑕疵, 最直接的就是「這樣的分類討論會少討論到 $k, k+2, k+4$ 都是合數」, 這也是研究者將此例作為「考量情況未完整」範例之原因。
當然, 若是從教學的角度思考, 在提出此證明錯誤之處後, 就可以再跟學生提醒犯錯的起源 : 學生解讀敘述「$k, k+2, k+4$ 並非都是質數」的錯誤。 這樣一來學生就能知道, 從證明內容來看, 為什麼這不是一個正確的證明(因為某些情況沒有討論到), 以及為什麼會導致這樣的內容出現(因為解讀敘述錯誤)。
(三) 其他類型
其他一類意指較不合適使用迷思概念或是推導錯誤來解釋證明錯誤發生之原因, 考量到學生所書寫出的證明, 的確有發生這類錯誤之可能性, 故研究者特別建此分類。 其他類型的證明錯誤內含兩種子類型, 對於子類型的詳述如下：
9. 無邏輯性推論錯誤
「無邏輯性推論錯誤」意指證明過程出現推論錯誤, 但其推論所使用的因果關係異於一般會出現的理由, 甚至可說是將毫無關連的兩件事當成因果。 此類型錯誤常見於學生在不會書寫證明時, 只好隨意將不相干的事實或性質湊在一起。 「無邏輯性推論錯誤」與「性質或定理誤用」、「考量情況未完整」的差別在於： 「性質或定理誤用」是誤用了不合適的定理或是錯誤的性質, 而「考量情況未完整」 專指證明過程中分情況討論, 卻遺漏了某些狀況沒提及, 但「無邏輯性推論錯誤」則是文中呈現的因果關係悖離合理性, 甚至會讓讀者覺得作者亂寫。 圖 12 是文獻中發現有「無邏輯性推論錯誤」的錯誤例子：
在圖 12 之中, 此題目標是證明「若 $n^2$ 為 3 的倍數, 則 $n$ 為 3 的倍數」。 在證明敘述的第一行提及「假設 $n^2$ 為可被 3 整除的正奇數」, 但在第二行卻忽然寫出「$n^2=(3n+1)^2$」的敘述。 其一是這兩行無法對應, 第二行與第一行存在矛盾； 其二是第二行的敘述沒有解釋為何 $n$ 可以被 $3n+1$ 取代。 突然出現第二行的式子, 會讓讀者摸不著頭緒, 因為「$n^2=(3n+1)^2$」使用了同樣的變數 $n$, 一般會出現這樣的式子只有兩種可能(合理的)： 一是探討數學的方程式, 另一是寫程式時的敘述。但在此處, 都與這兩種可能相去甚遠, 因此被歸類於「無邏輯性推論錯誤」。而此例在後續的討論也是犯了同樣的錯誤, 在「假設 $n^2$ 為可被 3 整除的正偶數」的情況中, 寫到「$n^2=(3n)^2$」, 一樣會讓人摸不著頭緒, 而之後的「因為 $n^2=(3n)\times (3n)$, 推得 $n$ 為 3 的倍數」, 都是無邏輯性也是悖離合理性的錯誤。
10. 筆誤、 計算錯誤
「筆誤、計算錯誤」意指證明過程中發生錯誤的原因來自筆誤或計算錯誤, 雖然證明較著重邏輯推導關係正不正確, 但筆誤或是計算錯誤也可能是導致證明出錯的原因。 此類型錯誤常見於計算類型的證明之中, 例如圖 8 之例需對函數做計算, 在移項或是處理分母時, 便有出現計算錯誤的可能。 而「筆誤、計算錯誤」與其他類型錯誤的差別在於： 「筆誤、計算錯誤」有可能只是整篇證明中的小瑕疵, 經過簡單修正之後或許能得到正確的證明, 而其他類型錯誤的修正可能需要大幅度更動, 例如「認知差距」需要多加解釋； 「性質或定理誤用」需要改用正確的性質或定理； 「考量情況未完整」需要補足當初漏掉的情況。 如果只探討證明有誤的情形(命題正確), 表示證明書寫的結果看似會符合命題(但過程有瑕疵), 「筆誤、 計算錯誤」在此處算是小錯誤。 但如果是探討命題可能有誤的情形, 當覺得命題錯誤時需在書寫過程提出反例, 那「筆誤、 計算錯誤」就會是很嚴重的錯誤。 因為反例只要一個就能推翻命題, 而筆誤或計算錯誤可能會產出一個自以為是反例的結果。
三、結論與建議
本文介紹並分類了不同類型的證明錯誤。
對於讀者或數學教育工作者來說, 了解證明錯誤類型的好處在於：
在書寫數學證明時更不容易犯錯, 並且可以為大學教師確認學生的證明和設計教材提供參考。
例如證明確認的學習任務, 證明確認即判斷證明的正確性
需特別注意的是, 在使用本文的分類審查證明錯誤時, 讀者需要注意在證明中發生的錯誤可能包含一種或多種錯誤類型。 例如圖 13 是文獻中一個證明有兩個錯誤的說明：
在圖13之中, 此命題的目標是證明「函數 $f$ 為 one-to-one」。 第 1 行的 $a_1$ 和 $a_2$ 出現時沒有宣告, 此例恰能表現出學生對於未宣告變數的錯誤理解, 進而導致證明不正確。 如果有宣告, 其實此例停在第 4 行就可以得證函數 $f$ 為 one-to-one。 但從第 5 行開始的書寫過程, 可看出學生並不清楚 $a_1$ 和 $a_2$ 的含意, 反而將數字代入而得到函數 $f$ 不為 one-to-one 的錯誤結論。 單純由此例看來, 這位學生可能不知道如何證明一個函數是 one-to-one。 因此, 本例中出現了兩種錯誤類型： 「出現未宣告變數」、「對定義的誤解」。
本文提供相對於過往文獻較完整分類之證明錯誤類型介紹, 同時兼具宏觀性與微觀性, 在三大分類之下還細分不同子類型, 希望能提供給讀者更方便地進行錯誤類型說明和文本設計。 表 2 是將緒論中提及過往文獻曾描述之錯誤類型歸類至本文分類, 顯示本文之分類考量的確涵蓋這些文獻之錯誤類型。
值得一提的是, 本文所提供的證明錯誤分類, 僅僅以證明成品來分類, 不一定能完全反映寫證明作者之想法, 不宜過度推論。 例如遇到可能對應多種類別的錯誤時, 其產生原因只有原作者知道, 需要進一步訪談才能確定真正的原因為何。 而對於未來的相關研究方面, 今後可進一步對錯誤分類進行研究, 比較不同類型的錯誤, 探討面對不同錯誤類型, 學生的表現有無不同？ 或是從學習的角度切入, 對產生不同類型錯誤的學生提出相關的學習建議。