富蘭克林 (Benjamin Franklin)除了是著名政治家、 發明家。 他曾留傳下兩個後人稱之為「富蘭克林方陣」 的 8 階和 16 階的方陣
一個 $n=8$ 階的富蘭克林方陣具有下列三項特性：
1. 每一個行和、列和都為定和；若從中央將行、列分為兩半, 則半行和為定和的一半。
例： 在圖 1 中, 第 1 列的列和為 260, 左右半列和各為 130。
2. 由中線向左上及右上各 $4k$ 個數字之 V 形線和為定和； 其它向下、 向左及向右三個方向之 V 形線和也為定和。
例： 在圖 1中, 標示的 V 形線和 $=11+58+57+15+18+40+39+22=260$。
3. 方陣中任一個 2 階小方陣的 4 個數字之和為定和之半。
例： 在 (圖 1) 中, 標示的2階小方陣和 $=12+21+54+43=130$。
如果一個方陣不但具有富蘭克林方陣的特性, 也滿足鬼方陣行和、列和及泛對角線和都為定和的條件, 則稱為富蘭克林鬼方陣。
例： 在 (圖 2) 中, 第 3 泛正對角線和 $=57+50+24+39+43+29+6+12=260$.
魔方陣僅具有行和、 列和及兩條對角線和為定和的特性, 但對一般人而言, 對其填製已具有相當大的難度； 若要升級成鬼方陣, 甚至更進一步填製出富蘭克林鬼方陣, 那難度會難到令一般人卻步嗎？其實一點都沒有這個問題, 以下就以 8 階方陣為例, 介紹一個簡易的富蘭克林鬼方陣填製法：
富蘭克林鬼方陣填製法：
第 1 步 ： 製作輔助方陣 $A$
1. 取得一個任意的從 0 到 $n-1$, 共 $n$ 數 $(n = 8)$ 的補數數列： 其製作方法為將數字 $0\sim n -1=7$ 迴轉填出後, 先任意左右互調(上下 2 數需同時互調)後, 再任意上下互調即可。
以上圖為例, 可取得補數數列 $\{5,0,3,6,1,4,7,2\}$, 如果完全不做調動, 則最簡單的補數數列其實就是 $\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$。 若以中央為軸, 將補數數列摺起, 則對稱的兩數互為補數, 其和為 7。
例： 0 的補數為 7、 5 的補數為 2。
2. 將方陣的第 1 列分成 $2k$ 個 4 數組, 依序在每一個 4 數組的前兩格填入剛才取得的前 $4k$ 個補數數列數字：
3. 依序將補數填到各數組的後序格中：
4. 在第 2 列填入第 1 列各數的補數後, 複製該兩列將方陣填滿。
第 2 步 ： 製作輔助方陣 $B$
將輔助方陣 $A$ 向右旋轉 90 度。
第 3 步 ： 合成方陣 $C$
將輔助方陣 $A$ 中的數字乘以 $n=8$, 再加上輔助方陣 $B$ 中的數字再加上 1, 即為方陣 $C$ 的值了, 簡記為 $C=nA+B+1$。
例： $A$ 方陣的第 3 列第 5 行 r3c5$=3$, $B$方陣 r3c5$=5$, 則 $C$ 方陣 r3c5$=3\times 8+5+1=30$。
在第 2 步製作輔助方陣 $B$ 時, 我們是以向右旋轉 90 度的方式來得到輔助方陣 $B$。 其實所有可讓行列互換的鋼性變換都可拿來使用, 例如 ： 向左旋轉 90 度、 左斜鏡射、 右斜鏡射等。 而在第 3 步合成方陣時, 我們是採用 $C=nA+B+1$, 其實也可採用 $C=nB+A+1$ 來合成方陣。
例： 若以右斜鏡射得到方陣 $B$, 並以 $C=nB+A+1$ 來合成方陣, 結果如下：
採用同樣的步驟, 我們可以用 0 起 16 數補數數列：
$$\{3,11,2,1,9,0,8,5,10, 7,15,6,14,13,4,12\}$$來造出 16 階輔助方陣 $A$, 再用向右旋轉 90 度的方式造出輔助方陣 $B$, 並令 $C=nA+B+1$ 來合成 16 階富蘭克林鬼方陣, 因為輔助方陣 $B$ 只是 $A$ 的旋轉 90 度轉置, 內容完全相同, 為了節省篇幅, 以下均不再顯示：
圖 5 的這個方陣其實已十分接近優化富蘭克林鬼方陣
1. 將兩條正反對角線等分為兩半, 則各半之和為定和的一半。
2. 符合「行 W 性質」。
圖 5 的富蘭克林鬼方陣雖然符合條件 1, 但條件 2 卻僅符合部分, 以 圖 5 而言, 雖然 4 列的 W 形線 $\{198,184,59,73,40,230,217,27,102,8,155,249,136,166,121,91\}$ 之和為定和, 但 2 列的 W 形線 $\{ 208,183,202,177,224,23,218,17,112,7,106,1,128,87,122,81\}$ 之和卻不為定和。
既然泛對角線、 V 形線、 W 形線都採用了超出邊界則移到對面的方式, 那麼在採計內崁方陣上, 應該也可接納這種方式, 於是像圖 6 的方陣 1、
方陣 2 都應可算是圖 5 方陣 $C$ 的內崁方陣。
因為不論橫向或縱向都可切出 4 個符合條件的方陣, 所以共內崁 16 個富蘭克林鬼方陣, 至於內崁的一般 4 階鬼方陣也有 16 個, 12 階鬼方陣有 16 個。
梁文
不過, 不及就是不及, 想法改善甚至超越吧！下面介紹的這個填製法雖然在補數數列的取得上限制較多, 但整體而言, 仍然稱得上是十分簡便的。 為了方便大家更能掌握本法的精要, 下面以16階方陣的填製來說明填製過程：
翔翼富蘭克林鬼方陣填製法：
第 1 步 ： 製作輔助方陣 $A$
1. 取得一個等分從 0 到 $n-1$, 共 $n$ 數 $(n = 16)$ 的補數數列：
其製作方法為將數字 $0\sim n -1=15$ 迴轉填出後, 將其分成 $k=2$ 個 4 數組, 將每一個 4 數組的中央兩數或前後兩數上下互調。
例： 將前後兩數上下互調：
2. 將每一個 4 數組中的第 1、 3 數或 2、 4 數互調：
例： 將第 1、 3 數互調：
前面這 2 個互調的程序是必選, 一定要選一個。 接下來的互調是複選, 可任選 1 個, 也可不選或多選, 意即可直接跳到 5 去進行填數。
3. 將每一個 4 數組中的第 1、 2 數或 3、 4 數互調：
例： 將第 3、 4 數互調：
4. 任選兩個 4 數組互調：
若是 8 階方陣時只有 1 個 4 數組, 本處就沒有選擇； 16 階方陣時可選擇將這兩個 4 數組互調； 24 階以上時可選擇的 4 數組就多了, 可多次選擇任意的兩個 4 數組做互調。
例： 不互調。
可取得等分補數數列 $\{2,1,12,15,6,5,8,11,4,7,10,9,0,3,14,13\}$。 這個數列不但對應的補數和為 15, 每一個 4 數組之和均為 30。
5. 將方陣的第 1、 2 列分成 $2k$ 個 4 數組, 依序在奇數的 4 數組的前兩格填入剛才取得的前 $4k$ 個補數數列數字：
6. 將補數填到各數組的對應格中：
7. 將第 1、 2 列各數兩兩交換後填到第 3、 4 列去, 然後將第 3、 4 列複製到第 5、 6 列、將第 1、 2 列複製到第 7、 8 列：
8. 將第 1$\sim$8 列複製到第 9、 16 列, 然後將各空白行以左方數組複製填滿：
第 2 步 ： 製作輔助方陣 $B$
所有可讓行列互換的鋼性變換都可拿來使用, 例如 ： 向右旋轉 90 度、 向左旋轉 90 度、 左斜鏡射、 右斜鏡射等。
例： 將 $A$ 方陣向右旋轉 90 度得到 $B$ 方陣。 (為節省篇幅就不列出了)
第 3 步 ： 合成方陣 $C$
以 $C=nA+B+1$ 合成方陣 $C$, 所得如下：
雖然在取得等分 0 起 $n$ 數補數數列的過程中有很多變化, 在製作輔助方陣 $B$ 時也有 4 種選擇, 再加上合成方陣時有兩種方式, 合成出的方陣 $C$ 似乎有不少變化。 這些方陣以鬼方陣的角度來看並不全等, 但因富蘭克林方陣有一個隔行或隔列互調仍為富蘭克林方陣的性質, 所以不論在上述過程中如何變化, 得到的都是全等的富蘭克林鬼方陣。
例：
$\bullet$ 使用 $\{9,10,7,4,13,14,7,0,15,12,1,2,11,8,5,6\}$ 數列可得到圖 8左的方陣。
$\bullet$ 使用 $\{10,9,4,7,14,13,0,3,12,15,2,1,8,11,6,5\}$ 數列可得到圖 8右的方陣。
$\bullet$ 使用 $\{15,12,1,2,11,8,5,6,7,4,9,10,3,0,13,14\}$ 數列可得到圖 9 的方陣。
從圖 7 $\sim$ 圖 9 中的 4 個方陣, 都是全等的 $16(=8k$, $k=2$) 階翔翼富蘭克林鬼方陣。 這些方陣都有一個半 V 形線特性：
$\bullet$ 任選一個內崁 8 階方陣, 4 數 V 形線和為定和 $/k$, 2數 V 形線和為定和 $/2k$。
例： 圖 7 的 16 階方陣定和為 2056, 則圖示的 4 數 V 形線 $\{132,87,73,170,88,183,169,126\}$ 之和為1028, 2數 V 形線 $\{125,158,100,131\}$ 之和為 514。 當然, 圖示的只有正 V 一個方向, 所有的 4 個方向也都需要符合條件。
有了這個特性, 不論是富蘭克林方陣的 V 形線性質, 或優化富蘭克林鬼方陣的 W 形線性質都可輕易導出。
先來看看 V 形線性質, 由圖 8 左圖可看出 ： 圖示的倒 V 形線可由頂點分別為 $\{149,43$, $124,198\}$ 及 $\{229,91,16,178\}$ 的8階方陣之 4 數 V 形線組合而成, 故其和為定和。其它的 V 形線可類推。
再來看看 W 形線性質, 由圖 8 右圖可看出 ： 圖示的 4 列 W 形線可由頂點分別為 $\{165,91,76,182\}$ 及$\{229,27,12,246\}$ 的 8 階方陣之 4 數 V 形線組合而成, 故其和為定和。 至於圖示的 2 列 W 形線可由頂點分別為 $\{161,95,80,178\}$、 $\{164,30,77,243\}$、 $\{225,31$, $16,242\}$ 及 $\{228,94,13,179\}$ 的 8 階方陣之2數 V 形線組合而成, 故其和為定和。 其它的 W 形線可類推。
取名為翔翼是因為利用這個性質不但可造出 V 形線、 W 形線, 只要同一個2數組的兩格不併排, 所造出的任何對稱的圖形其數字和均為定和。 以圖 9 的翔翼線形來說, $\{144,15\}$ 雖然併排, 但它們並不屬於相同的 2 數組。 所屬數組 $=(a-1)/2$ 的整數商, 第 2 行屬於 $(2-1)/2=0.5$, 取整數為 0； 而第 3 行屬於 $(3-1)/2=1$。 所以圖 9 中的兩個線形其數字和都是定和。 其它的翔翼線形可類推。
16 階翔翼富蘭克林鬼方陣共內崁 16 個 8 階的翔翼富蘭克林鬼方陣, 一般的 4 階、 12 階鬼方陣各 16 個, 再加上本身為 16 階翔翼富蘭克林鬼方陣, 共計 49 個鬼方陣以上級別的方陣。 24 階翔翼富蘭克林鬼方陣共內崁 8 階、 16 階的翔翼富蘭克林鬼方陣各 36 個, 一般的 4 階、 12 階、 20 階鬼方陣各 36 個, 再加上本身為 24 階翔翼富蘭克林鬼方陣, 共計 181 個鬼方陣以上級別的方陣。 其數量確實令人咋舌。
參考文獻
本文作者為國小教師退休