一、引言

${\Bbb R}^n$ 中兩個向量 $(\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n )$ 和 $(\mu_1, \mu_2,\cdots, \mu_n )$ 的內積是 $\lambda_1 \mu_1+\lambda_2 \mu_2+\cdots +\lambda_n \mu_n$。 內積也出現在 $A,B$ 兩矩陣的相乘, 如果 $AB=(c_{ij} )$, 則 $c_{ij}$ 就是 $A$ 的第 $i$ 個列向量和 $B$ 的第 $j$ 個行向量的內積。 以下, 我們常將內積的形式寫成

$$(\lambda_1\ \cdots\ \lambda_n )\left(\begin{array}{c} \mu_1\\ \vdots\\ \mu_n\end{array}\right)$$

以反映矩陣的乘法。

如果向量 $e_1\cdots e_n$ 是 ${\Bbb R}^n$ 的一組基底, 而 $(\lambda_1, \lambda_2,\cdots, \lambda_n )\in {\Bbb R}^n$, 則線性組合 $\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2+\cdots+\lambda_n e_n$ 也可以寫成

\begin{align} (e_1\ \cdots\ e_n )\left(\begin{array}{c} \lambda_1\\ \vdots\\ \lambda_n\end{array}\right)\label{1} \end{align}

(當然也可以寫成 $(\lambda_1\ \cdots\ \lambda_n )\left(\begin{array}{c} e_1\\ \vdots\\ e_n\end{array}\right)$, 在本文中我們只用 \eqref{1} 式。)

我們知道在線代的學習中, 有一些量是與選定的基底有關。例如一個向量的坐標表示是透過該向量對基底的線性組合。 又例如一個線性變換的矩陣表示是記錄基底被映射之後, 對原基底的線性組合。

本文的目的在引入一個與內積有關的辦法來處理在不同的基底下, 上述基本量彼此之間的轉換。(註一)

二、規範(定義)及公式

設有一個 $n$ 維的實向量空間 $V$ (例如 ${\Bbb R}^n$) 及 $V$ 的基底。 以下我們以 $v,e,f,\ldots$ 表示向量, 而以 $\lambda,\mu ,a,b,\ldots$ 表示實數。 假設在 $V$ 中選了一組基底 $e_1, e_2,\cdots, e_n$ (注意, 基底的排序是重要的, 若換了排序, 就是另一組基底。)我們有下列的規範(定義)：

(一) 任一個向量 $v\in V$, $v=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2+\cdots+\lambda_n e_n$, $(\lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_n)$ 就稱為 $v$ 在基底 $(e_1, e_2,\cdots, e_n )$ 下的坐標。

例1： 以三度空間為例, 取定了原點之後, 以右手定則定出三個互相垂直的單位向量$i,j,k$, 如圖：

則任一向量均可表成 $\lambda i+\mu j+\nu k$, $(\lambda,\mu ,\nu)$ 就是此向量的坐標。 顯然 $i,j,k$ 自身的坐標分別是 (1,0,0), (0,1,0) 和 (0,0,1)。

(二) 任一個 $V$ 到 $V$ 的線性變換 $T$, 若有 $T(e_j )=\sum\limits_{i=1}^n a_{ij} e_i$ 則 $T$ 的矩陣表示為：

$$\left(\begin{array}{cccccc} ~a_{11}~&~a_{12}~&~\cdots~&~a_{1j}~&~\cdots~&~a_{1n}~\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn} \end{array}\right)$$

亦即 $T$ 的第 $j$ 個行向量 $(a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{nj})$ 是 $T(e_j )$ 對原基底展開的係數。

例2： $V={\Bbb R}^2$, 取基底為 (1,0), (0,1), 如果 $T(1,0)=(a,b)$, $T(0,1)=(c,d) $, 則 $T$ 相對基底 $(1,0),(0,1)$ 的矩陣表示就是 $$\left(\begin{array}{ccc} ~a~&&~c~\\ b&&d \end{array}\right).$$

(三) 矩陣的行表現和列表現：

以 $n=2$ 為例, $\left(\begin{array}{ccc} ~a~&&~c~\\ b&&d \end{array}\right)$

可以看成兩個行向量 $\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} c\\ d \end{array}\right)$, 當然也可以看成兩個列向量 $(a,c)$, $(b,d)$ 的排列。我們把行向量看法記成 $\left(\left|\begin{array}{c} ~\quad~ \end{array}\right|\right)$, 而把列向量看法記成 $\Bigg(\begin{array}{c} \overline{\ \ \ \ }\\[5pt] %\\[-3pt] \underline{\ \ \ \ }\\[5pt] \end{array}\Bigg)$。

反之, 如果 $e_1,e_2$ 是兩個向量, 則 $\left(\left|\begin{array}{c} e_1\ e_2 \end{array}\right|\right)$ 就看成是一個以 $e_1,e_2$ 為行向量的矩陣, 稱為行表現, 而將 $\left(\begin{array}{c} \overline{e_1}\\ \underline{e_2} \end{array}\right)$ 看成是一個以 $e_1,e_2$ 為列向量的矩陣, 稱為列表現。

例3： 如果 $e_1=(a,b)$, $e_2=(c,d)$ 則

行表現 $\left(\left|\begin{array}{c} e_1\ e_2 \end{array}\right|\right)=\left(\begin{array}{ccc} ~a~& &~c~\\ b&&d\end{array}\right)$, 列表現 $\left(\begin{array}{c} \overline{e_1}\\ \underline{e_2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} ~a~& &~b~\\ c&&d\end{array}\right)$。

(四) 設有向量 $e_1,e_2,\ldots,e_n$ 及實數 $\lambda_1\cdots\lambda_n$, $\mu_1\cdots\mu_n, \ldots$

\begin{align*} &\hskip -20pt \hbox{則定}\ (e_1\ \cdots\ e_n )\left(\begin{array}{c} \lambda_1\\ \vdots\\ \lambda_n \end{array}\right)=\lambda_1e_1+\cdots \lambda_n e_n,\\ &\hskip -20pt \hbox{以及}\ (e_1\ \cdots\ e_n )\left(\begin{array}{ccc} ~\lambda_1&~\mu_1~&\\ \vdots&\vdots&\cdots\\ \lambda_n&~\mu_n~& \end{array}\right)=(\lambda_1 e_1\!+\!\cdots\!+\!\lambda_n e_n,\mu_1 e_1\!+\!\cdots\!+\!\mu_n e_n,\ldots). \end{align*}

如此, 設矩陣 $A$ 的行向量為 $e_1,\ldots,e_n$, $AB=C$, 則

\begin{align*} AB=\,&\left(\left|\begin{array}{c} e_1\ e_2\ \cdots\ e_n \end{array}\right|\right)B=(e_1\ \cdots\ e_n )\left(\begin{array}{ccc} ~b_{11}~&~b_{12}~&~\cdots\\ ~b_{21}~&~b_{22}~&~\cdots\\ \vdots&\vdots&\cdots\\ b_{n1}&~b_{n2}~&\cdots \end{array}\right)\\ %=(\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_n e_n,\mu_1 e_1+\cdots+\mu_n e_n,\ldots)\\ =\,&\left(\left|\begin{array}{c} \sum\limits_{i=1}^n b_{i1}e_i\ \sum\limits_{i=1}^n b_{i2}e_i\cdots \end{array}\right|\right)\\ =\,&C\, \hbox{矩陣的行表現。} \end{align*}

例4： 設 $AB=\left(\begin{array}{lr} 1~&~2\\ 3&4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lr} 5~&~6\\ 7&8 \end{array}\right)=C=\left(\begin{array}{lr} 19~&~22\\ 43&50 \end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{lr} 1~&~2\\ 3&4 \end{array}\right)=\left(\left|\begin{array}{c} e_1\ e_2 \end{array}\right|\right)$, 則 $AB=(e_1\ e_2 )\left(\begin{array}{lr} 5~&~6\\ 7&8 \end{array}\right)=(5e_1+7e_2,6e_1+8e_2 )$. \begin{align*} \hbox{但}\ 5e_1+7e_2=\, &5\left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right) +7\left(\begin{array}{c} 2\\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 19\\ 43 \end{array}\right),\\ 6e_1+8e_2=\,&6\left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right) +8\left(\begin{array}{c} 2\\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 22\\ 50 \end{array}\right),~\hskip 8cm~ \end{align*} 得到 $C=\left(\begin{array}{lr} 19~&~22\\ 43&50 \end{array}\right)$ 的行表現。

三、應用

以下均以 $n=2$ 為例, 矩陣 $A$ 的反矩陣以 $A^{-1}$ 表,

$$\left(\begin{array}{lr} a~&~b\\ c&d \end{array}\right)^{-1}=\frac 1{ad-bc}\left(\begin{array}{ccc} ~d~&~&-b\\ -c&&a \end{array}\right).$$

應用1： 在 ${\Bbb R}^2$ 中, 取基底 $e_1=(3,1)$, $e_2=(2,1)$

若 $(\lambda_1,\lambda_2 )=\mu_1 e_1+\mu_2 e_2$, 求 $(\mu_1,\mu_2 )$。

此時 $\left(\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{array}\right)=(e_1,e_2 )\left(\begin{array}{c} \mu_1\\ \mu_2 \end{array}\right)=\left(\left|\begin{array}{c} e_1\ e_2 \end{array}\right|\right)\left(\begin{array}{c} \mu_1\\ \mu_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lr} 3~&~2\\ 1&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \mu_1\\ \mu_2 \end{array}\right),$

因此 $\left(\begin{array}{c} \mu_1\\ \mu_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lr} 3~&~2\\ 1&1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} ~1~&&-2\\ -1&~&3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{array}\right)$.

得 $\mu_1=\lambda_1-2\lambda_2$, $\mu_2=-\lambda_1+3\lambda_2$.

應用2： ${\Bbb R}^2$ 中有兩組基底

$$\left\{\begin{array}{l} e_1=(3,1),\\[4pt] e_2=(2,1),\end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l} f_1=(1,3),\\[4pt] f_2=(1,4).\end{array}\right.$$

請將 $f_1,f_2$ 寫成 $e_1,e_2$ 的線性組合。

設 $(e_1,e_2 )A=(f_1,f_2)$, $A$ 是 $2\times 2$ 矩陣。

取行表現 $\left(\left|\begin{array}{c} e_1\ e_2 \end{array}\right|\right)\, A=\left(\left|\begin{array}{c} f_1\ f_2 \end{array}\right|\right)$,

\begin{align*} &\hskip -30pt\left(\begin{array}{lr} 3~&~2\\ 1&1 \end{array}\right)A=\left(\begin{array}{lr} 1~&~1\\ 3&4 \end{array}\right),\\ A=\,&\left(\begin{array}{lr} 3~&~2\\ 1&1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{lr} 1~&~1\\ 3&4 \end{array}\right)\\ =\,&\left(\begin{array}{ccc} ~1~&&-2\\ -1&&3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lr} 1~&~1\\ 3&4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -5&~~&-7\\ 8&&11 \end{array}\right), \end{align*}

亦即 $(e_1,e_2 )\left(\begin{array}{ccc} -5&~~&-7\\ 8&&11 \end{array}\right)=(f_1,f_2)$,

$f_1=-5e_1+8e_2$,

$f_2=-7e_1+11e_2$.

應用3： 承應用2.

若向量 $\hbox{v}=\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2=\mu_1 e_1+\mu_2 e_2$.

已知 $\lambda_1,\lambda_2$, 求 $\mu_1,\mu_2$, $\hbox{v}=(e_1 \ e_2 )\left(\begin{array}{c} \mu_1\\ \mu_2 \end{array}\right)=(f_1 \ f_2 )\left(\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{array}\right)$.

行表現 $\left(\begin{array}{lr} 3~&~2\\ 1&1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \mu_1\\ \mu_2 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{lr} 1~&~1\\ 3&4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{array}\right)$,

則 $\left(\begin{array}{c} \mu_1\\ \mu_2 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{lr} 3~&~2\\ 1&1 \end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{lr} 1~&~1\\ 3&4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{array}\right)$.

應用4： 根據本文第二節(二), 在基底 $(e_1\cdots e_n )$ 之下, 線性變換 $T$, 若以矩陣 $A$ 表示

則 $(Te_1,Te_2,\ldots,Te_n )=(e_1,e_2,\ldots,e_n)A$.

設 $n=2$, 並且 $(e_1,e_2 )B=(f_1,f_2 )$ 是另一組基底,

則 $(Te_1,Te_2 )=T(e_1,e_2 )=(e_1,e_2 )A$.

兩邊同乘 $B$, $T(e_1,e_2 )B=(e_1,e_2 )AB$,

\begin{align*} T(e_1,e_2 )B=\,&(f_1,f_2 ) B^{-1} AB,\\ T(f_1,f_2 )=\,&(f_1,f_2 ) B^{-1} AB;\hskip 4cm~ \end{align*}

亦即, 相對基底 $(f_1,f_2 )$, $T$ 的矩陣表示變成 $B^{-1} AB$。

注意到, 從 $A$ 變成 $B^{-1} AB$, 稱為 $A$ 被 $B$ 或 $B^{-1}$ 共軛, 因為 $A$ 和 $B^{-1} AB$ 具同樣的特徵多項式, 所以固有值 (eigenvalue) 不變, 行列式不變。

註一： 本文旨在提供一個計算的方法, 不能作為一個完整的教材, 又, 本文的方法在某些教科書亦曾出現, 不能視為筆者獨創。

本文作者為台大數學系退休教授