摘要: 自從《普通高中數學課程標準 (2017版)》頒佈以來, 有關數學的學科核心素養的討論不絕於耳, 本文將從命題者和解題者的角度, 深度剖析數學學科的數學抽象, 邏輯推理, 數學建模, 直觀想像, 運算能力, 數據分析六大核心素養, 並加以分析, 討論, 以期拋磚引玉。
關鍵字: 高中數學; 核心素養; 數學抽象; 邏輯推理。
《普通高中數學課程標準 (2017版)》中指出：「學科核心素養是育人價值的集中體現, 是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、 必備品格與關鍵能力, 數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現, 是具有數學基本特徵的思維品質、 關鍵能力以及情感、 態度及價值觀的綜合體現, 是在數學學習和應用過程中逐步形成和發展的。 數學學科核心素養包括： 數學抽象、 邏輯推理、 數學建模、 直觀想像、 運算能力和數據分析, 這些核心素養既相對獨立又相互交融, 是一個有機的整體。」 但是數學學科的核心素養怎麼考？ 這是一個困擾廣大數學工作者的問題。 筆者將通過分析 2018 年以來各地的模擬考試試題, 闡述六大核心素養的命題形式及解決方法。
1. 數學抽象
數學抽象是數學的基本思想, 是形成理性思維的重要基礎, 反映了數學的本質特徵, 貫穿在數學的產生、 發展、 應用的過程中。 它反映了數學的本質特徵, 貫穿在數學的產生、 發展、 應用的過程中。 數學抽象使得數學成為高度概括、 表達準確、 結論一般、有序多級的系統。
例1： (南京市、 鹽城市 2018 屆高三一模) 如圖 1 是蜂巢結構圖的一部分, 正六邊形的邊長均為 1, 正六邊形的頂點稱為「晶格點」。 若 $A,B,C,D$ 四點均位於圖中的「晶格點」處, 且 $A,B$ 的位置所圖所示, 則 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}$ 的最大值為 $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。
解析： 建立如圖 2 所示的平面直角坐標系, $A\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac 92\Big)$, $B(0,0)$ 由向量投影知當 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}$ 取最大值時, $C(0,5)$, $D(-\sqrt{3},0)$, 所以 $$\overrightarrow{AB}=\Big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac 92\Big), \quad\overrightarrow{CD}=(-\sqrt{3},-5),$$ 故 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=24$ 。
點評： 本題通過建立直角坐標系, 讓學生能從情境中 (即蜂巢結構圖) 抽象出數學的概念及方法, 從而使得問題得到簡化及解決。 這樣出題可以培養學生從具體到抽象的活動經驗, 有利於學生把握事物的本質, 以簡馭繁, 運用數學抽象思維方式思考來解決實際問題。
2. 邏輯推理
邏輯推理是指從一些事實和命題出發, 依據規則推出其他命題的素養。 主要包括兩類： 一類推理形式主要有歸納、 類比; 一類是推理形式主要有演繹推理。
例2： 我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中, 用圖 (a) 的數表列出了一些正整數在三角形中的一種幾何排列, 俗稱「楊輝三角形」, 該數表的規律是每行首尾數字均為 1, 從第三行開始, 其餘的數字是它「上方」左右兩個數字之和。 現將楊輝三角形中的奇數換成 1, 偶數換成 0, 得到圖 (b) 所示的由數字 0 和 1 組成的三角形數表, 由上往下數, 記第 $n$ 行各數字的和為 $S_n$, 如 $S_1=1$, $S_2=2$, $S_3=2$, $S_4=4,\ldots$, 則 $S_{32}= \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。
解析： 可以由 $S_2=2$, $S_4=4$, $S_8=8$, $S_{16}=16$, 從而論證得到 $S_{32}=32$。
例3： (湖南株洲 2018 屆高三一模) 如表 1 給出一個「等差數陣」： 其中每行、 每列都是等差數列, $a_{ij}$ 表示位於第 $i$ 行第 $j$ 列的數。 則 112 在這「等差數陣」中出現的次數為 $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。
解析： 該等差數陣的第一列是首項為 4, 公差為 3 的等差數列： $a_{i1}=4+3(i-1)$ 第二列是首項為 7, 公差為 5 的等差數列： $a_{i2}=7+5(i-1)$, 第 $j$ 列是首項為 $4+3(j-1)$, 公差為 $2j+1$ 的等差數列, 因此 $a_{ij}=4+3(j-1)+(2j+1)(i-1)=112$, 可得 $$\left\{\begin{array}{c} i=1\\[5pt] j=37\end{array}\right.,\ \left\{\begin{array}{c} i=2\\[5pt] j=22\end{array}\right.,\ \left\{\begin{array}{c} i=4\\[5pt] j=12\end{array}\right.,\ \left\{\begin{array}{c} i=7\\[5pt] j=7\end{array}\right.,\ \left\{\begin{array}{c} i=12\\[5pt] j=4\end{array}\right.,\ \left\{\begin{array}{c} i=22\\[5pt] j=2\end{array}\right.,\ \left\{\begin{array}{c} i=37\\[5pt] j=1\end{array}\right.$$ 共 7 組解, 故答案為 7。
點評： 上述兩題通過數列的歸納、 類比, 實際上, 就是從已有的知識和具體的事實經驗出發, 通過觀察、類比、聯想、歸納等手段在某種情境和過程中推出可能性結論的推理。 要做此類題時, 一定要大膽猜想, 這樣就可以讓學生學會有邏輯地思考問題; 能夠在比較複雜的情境中把握事物之間的關聯, 由簡到繁, 把握事物發展的脈絡, 從而能更好地認識事物的本質及變化規律。
3. 數學建模
數學建模是對現實問題進行抽象, 用數學語言表達問題、 用數學方法構建模型解決問題的素養。 數學建模過程主要包括： 在實際情境中, 從數學的視角發現問題、 提出問題、 分析問題、 建立摸型、 確定參數、 計算求解, 檢驗結果、 改進模型, 最終解決實際問題。
例4： 已知 $x,y,z\in {\Bbb R}^+$, 且 $x+y+z=5$ 則 $\sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+25}$ 的最小值是 $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。
解析：
構造如圖 3 所示的大長方形, 則 $\sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+25}=OA+AB+BC\ge OC=\sqrt{(x+y+z)^2+(3+4+5)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ 故最小值為 13 。
例5： (2017 年浙江麗水 9 月聯考改編) 已知 $x\gt0$, $\theta\in R$, 則 $(1+x-\sin\theta)^2+(x+\dfrac 2x-1-\cos\theta)^2$ 的最小值為 $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。
解析： 設 $P(1+x,x+\dfrac 2x-1)$, $Q(\sin\theta,\cos\theta)$, 則 $(1+x-\sin\theta)^2+(x+\dfrac 2x-1-\cos\theta)^2=PQ^2$ 可得 $P$ 在 $y=x+\dfrac 2{x-1}-2$ 上, $Q$ 在圓 $x^2+y^2=1$上。 如圖 4。 令 $f(x)=OP^2=(1+x)^2+\Big(x+\dfrac 2x-1\Big)^2$, 可得 $f'(x)=\dfrac{4(x-1)(x^3+x^2+x+2)}{x^3}$ 易得 $f(x)_{\rm min}=f(1)=8$, 即 $OP_{\rm min}=2\sqrt 2$, 所以 $PQ_{\rm min}=OP_{\rm min}-1=2\sqrt 2-1$, 故 $PQ^2_{\rm min}=(2\sqrt 2-1)^2=9-4\sqrt 2$。
點評： 通過構造距離型函數模型可以使得問題得到化歸, 迅速解決上述兩個問題, 使得學生理解數學建模的重要性。 數學建模主要表現為： 發現和提出問題, 建立和求解模型, 檢驗和完善模型, 分析和解決問題。
4. 直觀想像
直觀想像是指借助幾何直觀和空間想像感知事物的形態與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數學問題的素養。 主要包括： 借助空間形式認識事物的位置關係、形態變化與運動規律,利用圖形描述、分析數學問題,建立形與數的聯繫,構建數學問題的直觀模型,探索解決問題的思路。
例如學生掌握了三棱柱各個面延伸分空間 21 個部分, 正方體各個面延伸分空間 27 個部分及其他棱柱的情形, 如三棱錐各個面延伸可以把空間分成多少個部分？ 三棱臺各個面延伸可以把空間分成多少個部分？ 學生掌握和理解起來不容易, 借助直觀想像, 筆者是按如下方法這樣解釋的。
例5： 三棱錐各個面延伸可以把空間分成多少個部分？ 三棱臺各個面延伸可以把空間分成多少個部分？
解析：
(1) 如圖 5, 現將三棱錐 $O$-$ABC$ 特殊成 $OA$, $OB$, $OC$ 互相垂直, 將其放在如上圖的位置, 8 個卦限中, 只有第七卦限沒有被平面一分為二, 其他的卦限都一分為二了, 故有 $8+7=15$ 個, 類似的可以得到普通的三棱錐也是 15 個。
(2) 如圖 6, 類似第一問的解答, 將三棱臺 $ABC-A_1B_1C_1$ 放在如上圖的位置,易知答案為： $7+7+8=22$。
例7： (2018 年山西一模) 一個正方體的三視圖如圖所示, 若俯視圖中正六邊形的邊長為 1, 則該正方體的體積是 $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。
解析：
由題意可知, 該正方形的一條對角線即為俯視圖的方向 (如圖7), 距最高點最近的三個點構成的平面與俯視方向垂直 (如圖8), 有俯視圖中正六邊形的邊長為 1, 可得圖 9 中 $OA=1$, 即圖 8 中 $OA=1$, 易得正方體的面對角線長為 $\sqrt 3$, 進而得棱長為 $\dfrac{\sqrt 6}2$, 故體積為 $\dfrac{3\sqrt 6}4$ 。
點評： 正方體的三視圖是學生最熟悉的三視圖, 但是這題「倒」著放的正方體三視圖解決起來, 卻讓人舉足無措, 通過這樣考更能考察學生的能力。 借助幾何直觀理解問題, 運用空間想像認識事物。通過高中數學課程的學習, 學生能提升數形結合的能力, 發展幾何直觀和空間想像能力。
5. 數學運算
數學運算是指在明晰運算對象的基礎上, 依據運算法則解決數學問題的素養。 主要包括： 理解運算對象, 掌握運算法則, 探究運算思路, 選擇運算方法, 設計運算程式, 求得運算結果等。
例8： (2018 年廣州一測) 已知兩個定點 $M(1,0)$ 和 $N(2,0)$, 動點 $P$ 滿足 $|PN|=\sqrt 2|PM|$。
(a) 求動點 $P$ 的軌跡 $C$ 的方程;
(b) 若 $A,B$, 為 (a) 中軌跡 $C$ 上兩個不同的點, $O$ 為座標原點。 設直線 $OA$, $OB$, $AB$ 的斜率分別為 $k_1$, $k_2$, $k$。 當 $k_1k_2=3$ 時, 求 $k$ 的取值範圍。
解析：
(a) 動點 $P$ 的軌跡 $C$ 的方程是 $x^2+y^2=2$ (過程略)。
(b) 設 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 直線 $AB$ 的方程是 $y=kx+b$, 由 $\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=2\\ y=kx+b\end{array}\right.$ 消去 $y$ 得：
\begin{equation} (1+k^2)x^2+2bkx+b^2-2=0.\label{1} \end{equation} 由 $\Delta=(2bk)^2-4(1+k^2)(b^2-2)\gt0$ 得 \begin{equation} b^2\lt2+2k^2.\label{2} \end{equation} 由韋達定理得： \begin{equation} x_1+x_2=-\frac{2bk}{1+k^2},\qquad x_1x_2=\frac{b^2-2}{1+k^2}.\label{3} \end{equation} 因為 $k_1k_2=3$ 即 $\dfrac{y_1}{x_1}\cdot\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{(kx_1+b)(kx_2+b)}{x_1x_2}=3$, 於是, \begin{equation} (k^2-3)x_1x_2=+bk(x_1x_2)+b^2=0.\label{4} \end{equation} 將 \eqref{2} 代入 \eqref{4} 得： \begin{equation} b^2=3-k^2.\label{5} \end{equation} 由 $b^2\ge 0$, 得 $-\sqrt 3\le k\le \sqrt 3$, 由 \eqref{2} 及 \eqref{5} 得： $k\lt-\dfrac{\sqrt 3}{3}$ 或 $k\gt\dfrac{\sqrt 3}{3}$.要使得 $k,k_1,k_2$ 有意義, 則 $x_1\not=0$, $x_2\not=0$,
所以 0 不是方程 \eqref{1} 的根, 所以 $b^2-2\not=0$, 即 $k\not=\pm 1$, 綜上, $$k\in [-\sqrt 3,-1)\cup\Big(-1,-\frac {\sqrt 3}{3}\Big)\cup\Big(\frac {\sqrt 3}{3},1\Big)\cup (1,\sqrt 3].$$ 本題第二問還可以用齊次化思想去解：
(2) 設 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$, 直線 $AB$ 的方程是 $y=kx+b$,
由 $\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=2\\ y=kx+b\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=2\\ \dfrac{y-kx}{b}=1\end{array}\right.$, 消除常數後得：$x^2+y^2=2\Big(\dfrac{y-kx}{b}\Big)^2$. 顯然 $x\not=0$, 兩邊同時除以 $x^2$ 得： $$1+\Big(\frac yx\Big)^2=2\left(\frac{\Big(\dfrac yx\Big)-k}{b}\right)^2 \quad\ \hbox{即}\quad (2-b^2)\Big(\frac yx\Big)^2-4k\Big(\frac yx\Big)+2k^2-b^2\gt0.$$ 可得： $2-b^2\not=0$ 及 \begin{equation} \Delta=(4k)^2-4\cdot (2-b^2)\cdot (2k^2-b^2)\gt0.\label{6} \end{equation} 因為 $k_1k_2=3$ 即 \begin{equation} \frac{y_1}{x_1}\cdot\dfrac{y_2}{x_2}=\frac{2k^2-b^2}{2-b^2}=3\quad \hbox{得}\quad b^2=3-k^2.\label{7} \end{equation} 由 \eqref{6}, \eqref{7} 得： $$k\in [-\sqrt 3,-1)\cup\Big(-1,-\frac {\sqrt 3}{3}\Big)\cup\Big(\frac {\sqrt 3}{3},1\Big)\cup (1,\sqrt 3].$$點評： 上述例題說明了在解析幾何中, 除了傳統的方法外, 還有齊次化方法、 雙根法、 點差法、 點乘法、 極座標等多種更簡單的解法。 類似地, 在解決其他題目時, 也可以一題多解, 多種方法的融合可以進一步發展學生數學運算能力,有效借助運算方法解決實際問題。
6. 數據分析
數據分析是指針對研究對象獲取數據, 運用數學方法對數據進行整理、 分析和推斷, 形成關於研究對象知識的素養。 數據分析過程主要包括： 收集數據, 整理數據, 提取資訊, 構建模型, 進行推斷, 獲得結論。
例9： (巴蜀中學 2018 屆高三 1 月考)統計顯示, 2011 年之前, 速食麵銷量在中國連續 18 年保持兩位數增長, 2013 年的年銷量更是創下 462 億包的輝煌戰績; 但 2013 年以來, 速食麵銷量卻連續 3 年下跌, 只剩 385 億包, 具體如下表。 相較於速食麵, 網路訂餐成為大家更加青睞的消費選擇。 近年來, 網路訂餐市場規模的「井噴式」增長, 也充分反映了人們消費方式的變化。
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
| 時間代號 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 年銷量 $y$ (億包(碗)) | 462 | 444 | 404 | 385 |
根據上表, 求 $y$ 關於 $x$ 的線性廻歸方程 $\hat y=\hat b t+\hat a$, 用所求廻歸方程預測 2017 年 ($t=5$) 速食麵在中國的年銷量;
參考公式： 廻歸方程： $\hat y=\hat b t+\hat a$, 其中 $\hat b=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n (t_i-\bar t)(y_i-\bar y)}{\sum\limits_{i=1}^n (t_i-\bar t)^2}$, $\hat a=\bar y-\hat b\bar t$. 參考數據： $\sum\limits_{i=1}^5 (t_i-\bar t)(y_i-\bar y)=-135.5$.
解析： $\bar t=2.5$, $\bar y=423.75$, $\sum\limits_{i=1}^4 (t_i-\bar t)^2=5$, $\hat b=\dfrac{-135.5}{5}=-27.1$,
$\hat a=423.75-(-27.1)\times 2.5=491.5$, 所以 $\hat y=-27.1t+491.5$, 當 $t=5$ 時, $\hat y=-27.1\times 5+491.5=356$.附題： (2011年安徽省高考文科20題)某地最近十年糧食需求量逐年上升, 下表是部分統計數據
| 年份 | 2002 | 2004 | 2006 | 2008 | 2010 |
| 需求量(萬噸) | 236 | 246 | 257 | 276 | 286 |
(I) 利用所給數據求年需求量與年份之間的廻歸直線方程 $y=bx+a$;
(II) 利用 (I)中所求出的直線方程預測該地 2012 年的糧食需求量。
點評： 這題直接用時間代號比 2011 年安徽省文科高考第 20 題更簡單, 有時也會用 $E(a\xi+b)=aE(\xi)+b$, $Var(a\xi+b)=a^2Var(\xi)$ 等其他公式處理數據, 也是為了引導學生找到最佳處理數據的方法, 發展整理和處理數據能力。 從而提升學生獲取有價值資訊並進行定量分析的意識和能力。
總結： 林新建老師說過： 「數學思想是數學素養的核心內容, 唯有立意於思想, 樹立起運用思想引領解題的意識, 才能真正培養和提升學生的數學核心素養。」 為了發展學生的數學學科的核心素養, 發展素質教育, 培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人, 作為數學的教育工作者的我, 深感命題工作與教學工作的責任重大, 但如何才能更好的發展核心素養呢？ 「問渠那得清如許？ 為有源頭活水來。」實際上, 只有從源頭將核心素養融入命的題中, 才能讓學生在解題中理解和發展核心素養, 我們不能讓學生去證明一個假命題, 也不能讓學生去解一個無解的錯題, 只有反覆斟酌, 才能命出好題, 希望本文對圍繞核心素養命題的剖析, 能幫助到大家。
參考文獻
---本文作者任教中國安徽省蕪湖市無為中學---