引言

公元前300年出版的《幾何原本》(以下簡稱《原本》), 前 6 章(或前 6 卷)討論平面幾何, 其內容大致已融入國中的幾何課程。 第 7, 8, 9 章討論基本數論, 第 10 章討論一些特殊的無理數, 這 4 章均與幾何無關。 11 章開始討論立體幾何, 本章立下許多立體幾何的基礎。 12 章討論錐體、 球體的體積, 最後在 13 章討論了五種正多面體。

在歐幾里得的時代, 沒有坐標$/$向量幾何, 但是對平面幾何而言, 引入坐標軸 $x$ 與 $y$, 以坐標關係輔助幾何關係是很自然的事。 這裡最重要的是平行公理, 亦即當互相垂直的 $x$ 和 $y$ 軸架好之後, 平面上一點的坐標必須靠 (平面幾何的) 平行公理來界定。(註1)

類似的情形發生在立體幾何。 如果我們要為空間建立三維坐標系, 那麼下面這個定理(《原本》11 章命題 6) 就是成功架構坐標的關鍵：

命題6： 如果(空間中)兩直線和同一平面成直角, 則兩直線平行。(註2)

讀者不難發現上述命題 6 在平面幾何有類似的陳述：
如果平面上兩直線和同一直線成直角, 則兩直線平行。(註3)

本文的目的如下：

(一) 定義空間中平面的法線, 並仿《原本》證明法線的存在。基本上重現了《原本》的 11 章命題 4 和命題 5 (註 4) 並指出在證明中, 三垂線定理自然呈現。
(二) 仿《原本》證明 11 章命題 6, 即一平面的所有法線均互相平行。(同註2)
(三) 獨立給三垂線定理一個現代版的簡單證明。
(四) 對三垂線定理的評論。

第一節 法線之存在

《原本》在 11 章一開始就把平面的法線定義為一條與平面相交於一點的直線 $P$, $P$ 與平面上所有過此交點的直線垂直, 《原本》的用詞是``$P$ 和平面成直角''。 如圖 1 所示。

一.1. 在證明法線 $P$ 的存在前, 《原本》先證明命題 4 (同註 4)

如圖2：

平面上三線段 $\overline {AB}$, $\overline {CD}$, $\overline {GH}$ 在平面上交於點 $E$, $\overline{EF}$ 同時垂直 $\overline {AB}$ 和 $\overline {CD}$, 我們想要證明 $\overline {EF}$ 也垂直 $\overline {GH}$。

不妨假設 $\overline {AD}\bot \overline {GH}$, 以 $G$ 為垂足。 先利用畢氏定理來看圖中諸線段的長度關係。

在 $\triangle {FAD}$ 中,

\begin{align} \overline {AF}^2-\overline {AG}^2=\overline {EF}^2+\overline {AE}^2-\overline {AG}^2=\overline {EF}^2+\overline {GE}^2.\label{1} \end{align}

同樣在 $\triangle {FAD}$ 中,

\begin{align*} \overline {DF}^2-\overline {DG}^2=\overline {EF}^2+\overline {DE}^2-\overline {DG}^2=\overline {EF}^2+\overline {GE}^2. \end{align*}

與 \eqref{1} 式相等。 因此圖 3, 在 $\triangle {FAD}$ 中, $\overline {AF}^2-\overline {AG}^2=\overline {DF}^2-\overline {DG}^2$, 亦證 $\overline {FG}\bot \overline {AD}$, 並且

\begin{align} \overline {AF}^2-\overline {AG}^2=\overline {DF}^2-\overline {DG}^2=\overline {FG}^2.\label{2} \end{align}

由 \eqref{1}, \eqref{2} 可得 $\overline {FG}^2\!=\!\overline {EF}^2\!+\!\overline {GE}^2$ , 再由畢氏逆定理, 知 $\overline {EF}\bot\overline {GE}$ 或 $\overline {EF}\bot\overline {GH}$。(註5)

所以如圖 2, 如果要證明過平面 $P$ 上一點 $E$, 存在法線, 就要找一條直線 $EF$ 同時與 $AB$ 和 $CD$ 垂直。

證明的方式是反其道而行, 即先對任一直線如 $AB$, 作一平面過 $E$, 並以 $AB$ 為法線, 稱為 $AB$ 的法平面。

一.2. 過 $E$存在 $AB$ 線的法平面, 如圖 4,

我們宣稱, 過 $E$ 而與 $AB$ 線垂直的所有直線構成 $AB$ 的法平面。 今取任三條直線 $p,q,r$ 均過 $E$ 而與 $AB$ 垂直。 我們要證 $q$ 在 $p,r$ 決定的平面 $H$ 上。 如果 $q$ 不在 $p,r$ 決定的平面, 考慮 $AB$ 與 $q$ 決定的平面 $H'$, 並設 $H'\cap H=q'$。 則根據一.1, $AB$ 與 $q'$ 垂直, $q'$ 過E, 但 $q$ 也過 $E$ 並與 $AB$ 垂直, 亦即在平面 $H'$ 上, 過 $E$ 而與 $AB$ 垂直的直線有 $q$ 又有 $q'$, 此為矛盾。 我們因此證得過 $E$ 與 $AB$ 垂直的所有直線構成線 $AB$ 的法平面, 此即《原本》的11章命題5。(同註4)

一.3. 過平面 $P$ 上一點 $E$, 存在 $P$ 之法線。

在平面上過 $E$ 作二直線 $AB$ 及 $CD$, 並過 $E$ 作兩者之法平面, 則此二法平面之交線必同時垂直 $AB$ 與 $CD$, 由一.1 之證明, 此交線是 $P$ 過 $E$ 之法線。

第二節 平面之法線互相平行

如圖5

$D,B$ 在平面 $P$ 上, $CD$ 和 $AB$ 分別是過 $D$ 和 $B$ 的法線, 我們要證 $AB$ 與 $CD$ 平行, 連 $\overline{DB}$, 我們其實只要證 $CDBA$ 共平面即可。

連 $AD$, 並在 $P$ 上過 $D$ 作 $\overline{BD}$ 之垂線 $DE$, 則由三垂線定理(同註5) ($AB$ 是法線, $\overline {BD}\bot \overline {AB}$, $\overline {DE}\bot \overline {BD}$) 得 $\overline {AD}\bot \overline {DE}$。

現由以上一.2《原本》命題 5 之結論, 因為 $DE$ 同時與 $CD$ (法線)、 $AD$ (三垂線定理)及 $BD$ 三線垂直, 因此 $CD,AD,BD$ 共平面, 此平面當然包含 $AB$, 所以在 $CDBA$ 平面中 $AB$ 與 $CD$ 均垂直 $BD$, 亦即兩法線平行。

此一定理保證了空間坐標的建立。 如上圖, 先在(水平面) $P$ 上建立平面坐標, 過平面上每一點都``長出''一條數線與平面 $P$ 垂直, 並以平面上的點為數線原點, 如果平面 $P$ 上建立的是 $x,y$ 坐標, 則利用過 $(x,y)$ 的法線(數線)來建立 $z$ 坐標。(註6)

第三節 獨立證三垂線定理

前兩節的證明都出現三垂線定理, 我們將在此節利用畢氏定理直接來證三垂線定理。如圖6

$\overline{AB}$ 是平面 $P$ 的法線, $\overline{BD}$ 和 $\overline{DE}$ 都在平面 $P$ 上, $\overline {BD}\bot\overline {AB}$, $\overline {BD}\bot\overline {DE}$。 三垂線定理是說 $\overline {AD}\bot\overline {DE}$。 要得到這個結果, 其實只要證明 $A$ 到 $DE$ 線的最短距離是 $\overline{AD}$。

任取一點 $DE$ 上的點 $Q$, 連 $\overline {QA}$, $\overline {QB}$ 則 $$\overline {QA}^2=\overline {AB}^2+\overline {QB}^2=\overline {AB}^2+\overline {BD}^2+\overline {QD}^2=\overline {AD}^2+\overline {QD}^2\gt\overline {AD}^2,$$ 定理得證。

(也可以利用畢氏逆定理, 從 $\overline {QA}^2=\overline {AD}^2+\overline {QD}^2$, 得出 $\overline {AD}\bot\overline {QD}$。)

第四節 對三垂線定理的評論

目前的高中數學在教空間坐標之前, 需先教三垂線定理, 但是三垂線定理並不正式出現在《原本》, 只是很自然地出現在《原本》11 章命題 4 和命題 6 的證明中(見本文第一、 二節)。 當其出現時, 《原本》仍然規規矩矩地證明它的正確。 其實三垂線定理要說的不過是下面這個現象, 如圖

平面 $P$ 上有一直線 $OX$, 點 $Q$ 在 $P$ 之外, 則點 $Q$ 先向平面 $P$ 投影得點 $Q'$, 然後再向 $OX$ 做投影得 $Q''$, 而 $Q$ 直接向 $OX$ 投影, 一樣得到點 $Q''$。 這件事, 在坐標幾何是顯而易見的。

但是, 在《原本》中, 三垂線定理在無坐標幾何之下, 幫助證明了命題 6, 即平面之法線均互相平行, 也幫助了將來 (2000多年之後) 建立三度空間的坐標。

今日回頭來看, 公元 300 年前, 在沒有坐標幾何的概念下, 能夠證明三垂線定理及命題 6, 奠定坐標幾何, 非常難得。(註7)

註1： 在平面上用兩條互相垂直的數線分作 $x$ 和 $y$ 軸, 如圖

則從 $P$ 點分別作 $x$ 軸和 $y$ 軸的垂線, 可以決定 $P$ 點的坐標。

註2： 我們現在稱與平面成直角或垂直的直線為法線。《原本》在11章定義法線為一條與平面相交的直線, 並與平面上過其相交點的所有直線均垂直。 11 章命題 6 等於是說任一平面的所有法線均互相平行。

註3： 這是現在小學四年級對平面上兩線平行的定義。

註4： 《原本》命題 4 和 5 原文如下：
命題4：如果一直線在另兩條直線交點處都成直角, 則此直線與兩直線所在平面成直角(參考本文註2)。
命題5：如果一直線過三直線的交點且與三直線交成直角, 則此三直線在一個平面內。

註5： 此處的重證精簡化《原本》的證明, 並且基本上得到三垂線定理。 三垂線定理是說, 如圖, 如果 $EF$ 是過平面 $P$ 上一點 $E$ 的法線, $\overline {EG}\bot \overline {AD}$, $G$ 為垂足, 則 $\overline {FG}\bot \overline {AD}$。 本文第三節會另給一個簡潔的證明。

註6： 如此定出的坐標系統是否"合格", 尚需請讀者做一點功課。

註7： 此處, 抄錄《原本》 11 章命題 1$\sim$6 供讀者參考：
命題1. 一條直線不可能一部分在平面內, 而另一部分在平面外。
命題2. 如果二條直線彼此相交, 則它們在同一平面內；並且每個三角形也各在一個平面內。
命題3. 如果兩個平面相交, 則他們的交跡是一條直線。
命題4. 如果一直線在另兩條直線交點處都成直角, 則此直線與兩直線所在平面成直角。
命題5. 如果一直線過三直線的交點且與三直線交成直角, 則此三直線在同一個平面內。
命題6. 如果兩直線和同一平面成直角, 則兩直線平行。
以上參考台北九章出版社, 歐幾里得幾何原本。

---本文作者張海潮為台大數學系退休教授, 鍾伊婷為大直高中數學老師---