虛功原理 (Principle of virtual work) 又稱 D'Alembert's principle, 是法國數學/力學/天文學家達朗貝爾 (1717$\sim$1783) 針對有約束力 (constraint) 的力學系統所提出的運動原理。 從這個原理出發, 可以得出歐拉 - 拉格朗日方程式 (Euler-Lagrange equation, 簡稱 E-L方程), E-L方程其實和虛功原理等價, 但是計算時更加方便。 本文嘗試說明此二者的關聯, 並舉一些具體的例子。(註一)
以下的討論分為三節, 第一節是以單擺的例子來說明虛功原理。 第二節說明 E-L 方程和虛功原理等價。 第三節以單擺說明 E-L 方程的應用並略作評論。
一、虛功原理
牛頓第二運動定律說力與加速度成正比。 設有質量為 $m$ 的單一質點, 其在空間中的位置向量為 $X$, 速度向量 $\dfrac{dX}{dt}=\dot X$ (``$\cdot$''代表對時間 $t$ 的微分), 加速度向量 $\dfrac{d^2 X}{dt^2}=\ddot X$, 則第二定律宣稱 $$F=m\ddot X;$$ 此處 $F$ 代表質點所受的總力。 一般而言 $F$ 可以分解為施力 (applied force) $F_a$ 和約束力 (constraint force) $f$, 亦即 $$m\ddot X=F=F_a+f,\quad \hbox{或}\quad m\ddot X-F_a=f\hbox{。}$$
如圖1, 單擺以 $P$ 為固定點, 擺桿長 $l$, 擺桿不計質量。 擺端有質量 $m$, 因重力而擺動。
圖中重力垂直地面, 並令 $x$ 軸也垂直地面。
如圖 2, 以 $P$ 為原點, 則 $m$ 的位置向量是 $X=( l \cos\theta,l \sin\theta )$。 重力即此系統所受的施力 $F_a$, 垂直向下, 大小為 $mg$, $g$ 是重力加速度。 另外在 $m$ 處有約束力 $f$, $f$ 沿擺桿拉住 $m$。 約束流形 (constraint manifold) 即是以 $P$ 為圓心, 半徑為 $l$ 的圓弧, 限制 $m$ 必須在此圓弧上運動。
從 $m$ 的位置向量 $$X=\big(l \cos\theta (t),l \sin\theta (t) \big),$$ 可得速度向量 $$\dot X=(-l \sin\theta ,l \cos\theta )\dot \theta ,$$ 及加速度向量
\begin{align*}\ddot X=&\,(-l\cos\theta ,-l\sin\theta ) \dot\theta^2+(-l\sin\theta ,l\cos\theta ) \ddot\theta;\\ =&\,A_0+A_1; \end{align*}式中 $A_0=(-l\cos\theta ,-l\sin\theta ) \dot\theta^2$ 與位置 $X$ 反向, 稱為向心加速度, $A_1=(-l\sin\theta ,l\cos\theta ) \ddot\theta$ 與位置 $X$ 垂直, 稱為切線加速度。
圖 3 表示 $\dot\theta\lt0$, $\ddot\theta\lt0$ 的情形：
同樣的, 施力 $F_a$ (大小為 $mg$) 亦有沿 $X$ 方向與 $X$ 垂直方向的分解 $F_a=F_{a_0}+F_{a_1}$, 如圖 4:
其與擺桿垂直的部份 $F_{a_1}$ 的大小是 $mg\sin\theta $, 提供切線加速度, 因此有沿擺桿垂直方向的運動方程 $$m \frac{d^2 (l\theta )}{dt^2}=ml\ddot\theta=-mg\sin\theta , \quad \hbox{或}\quad F_{a_1}=mA_1.$$ 另有向心力 $F_{a_0}+f=mA_0$, 即讓質點 $m$ 作圓弧運動的向心力來自 $F_{a_0}+f$, $F_{a_0}$ 由重力提供, $f$ 是約束力, 由擺桿提供。
綜上所述, 我們有
\begin{align*} F_{a_1}+F_{a_0}+f=\,&mA_1+mA_0,\\ \hbox{或 } F_a+f=\,&m\ddot X,\\ \hbox{或 } f=m\ddot X\,&-F_a; \end{align*}式中 $f$ 與約束流形 (即半徑為 $l$ 的圓弧) 垂直。
所謂虛功原理, 它的原型即是 $m\ddot X-F_a=f$, 但是注意到我們無法事先理解 $f$ 的大小, 以單擺而言, 在不同的位置, 因為加速度的不同, $f$ 有不同的大小, 因此我們重新敘述虛功原理如下：
對一個在約束流形 $M$ 上運動的質點, 若以 $X$, $\dot X$, $\ddot X$ 表其位置、 速度和加速度向量, 以 $F_a$ 表外界對質點的施力, 則有內積
\begin{align} (m\ddot X-F_a,\delta X)=0; \label{1}% (1) \end{align}式中 $\delta X$ 表運動質點所在位置 $M$ 的任意切向量。
簡言之, 即約束力 $f$ 與約束流形 $M$ 垂直。(註二)
二、 E-L方程式和虛功原理等價
假設約束流形是 $\mathbb{R}^3$ 中的一個(局部的)曲面 $C$, 局部坐標是 $u, v$。 質量為 $m$ 的質點被限制在 $C$ 上運動, 施力 $F_a$ (applied force) 由一個位能函數 $V(x,y,z)$ 提供(註三) $$-\nabla V=F_a;$$ 式中 $\nabla V$ 的定義是 $\Big(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y},\dfrac{\partial V}{\partial z}\Big)$。
質點 $m$ 的運動軌跡是 $X\big(u(t),v(t)\big)$, 其位置、 速度和加速度向量分別是 $X=X(u,v)$, $\dot X$ 和 $\ddot X$, 如圖, $X(u,v)=\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)$
則 $\dot X=X_u \dot u+X_v \dot v$, 式中 $X_u$, $X_v$ 分別是 $X$ 對 $u, v$ 的偏導。 而 $\ddot X=X_{uu} \dot u^2+2X_{uv} \dot u\dot v+X_{vv} \dot v^2+X_u \ddot u+X_v \ddot v$； 式中 $X_{uu}$ 代表 $X$ 對 $u$ 的二次偏導, $X_{uu}=\dfrac{\partial^2 X}{\partial u^2} $, $X_{uv}=\dfrac{\partial^2 X}{\partial u\partial v},\ldots$。
定義： 一個質點 $m$ 的拉格朗日 (Lagrangian) $L=T-V$。 式中 $T$ 是質點的動能 $\dfrac 12 m(\dot X,\dot X )$, $V$ 是質點的位能。
說明： 此處位能 $V$ 是位置 $(x,y,z)$ 的函數 $V(x,y,z)$, $-\nabla V$ 即 $F_a$ (同見註三)。
\begin{align*} \hbox{動能}\ T=\,&\frac 12 m(\dot X,\dot X )=\frac 12 m(X_u \dot u+X_v \dot v,X_u \dot u+X_v \dot v )\\ =\,&\frac 12 m[(X_u,X_u ) \dot u^2+2(X_u,X_v ) \dot u\dot v+(X_v,X_v ) \dot v^2 ], \end{align*}注意到 $T$ 是 $u, v, \dot u, \dot v$ 四個「獨立變數」的函數。(註四)
則 E-L 方程是說：
沿著 $m$ 運動的軌跡, 我們有
\begin{align} \dfrac{d}{dt} \Big(\frac{\partial L}{\partial \dot u}\Big)-\frac{\partial L}{\partial u}=0 , \label{2}\\ % (2) \dfrac{d}{dt} \Big(\frac{\partial L}{\partial \dot v}\Big)-\frac{\partial L}{\partial v}=0. \label{3}% (3) \end{align}回顧第一節的虛功原理, 由於 $\delta X$ 是 $X_u$ 和 $X_v$ 的線性組合, 因此 虛功原理 (式 \eqref{1}) 可以寫成：
沿著 $m$ 運動的軌跡, 我們有
\begin{align*} (m\ddot X-F_a,X_u )=\,&0, \tag*{$(2)'$}\\% (2)' (m\ddot X-F_a,X_v )=\,&0. \tag*{$(3)'$} % (3)' \end{align*}本節主要的定理是 ： E-L方程 \eqref{2}, \eqref{3} 和虛功原理 $(2)'$, $(3)'$ 等價。 首先, 整理 \eqref{2} 式：
\begin{align*} \dfrac{d}{dt} \Big(\frac{\partial T}{\partial \dot u}\Big)-\dfrac{d}{dt} \Big(\frac{\partial V}{\partial \dot v}\Big)-\frac{\partial T}{\partial u}+\frac{\partial V}{\partial v}=0 \end{align*}因為 $V$ 與 $\dot u$ 無關, 並且
\begin{align*} \frac{\partial V}{\partial u}=\,&\frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial V}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}\\ =\,&\nabla V\cdot (x_u,y_u,z_u )\\ =\,&\nabla V\cdot X_u\\ =\,&-F_a\cdot X_u, \end{align*}因此 \eqref{2} 式變成
\begin{align*} \dfrac{d}{dt} \Big(\frac{\partial T}{\partial \dot u}\Big)-\frac{\partial T}{\partial u}-(F_a\cdot X_u)=0. \end{align*}與 $(2)'$ 比較, 希望證明 \eqref{4}
\begin{align} \dfrac{d}{dt} \Big(\frac{\partial T}{\partial \dot u}\Big)-\frac{\partial T}{\partial u}=(m\ddot X\cdot X_u ). \label{4}% (4) \end{align}由於 $T=\dfrac 12 m(\dot X,\dot X )$, 所以 $\dfrac{\partial T}{\partial \dot u}=m\Big(\dfrac{\partial\dot X}{\partial\dot u}, \dot X \Big)$ 及 $\dfrac{\partial T}{\partial u}=m\Big(\dfrac{\partial\dot X}{\partial u},\dot X \Big)$。
注意到 $\dot X=X_u \dot u+X_v \dot v$, 因此
\begin{align} \frac{\partial T}{\partial \dot u} =\,&m\Big(\frac{\partial\dot X}{\partial\dot u},\dot X \Big)=m(X_u,\dot X ), \label{5}\\ % (5) \hbox{及 } \frac{\partial T}{\partial u}=\,&m(X_{uu} \dot u+X_{vu} \dot v,\dot X ). \label{6}% (6) \end{align}將 \eqref{4} 式左邊以 \eqref{5}, \eqref{6} 帶入, 得
\begin{align*} &\hskip -20pt \dfrac{d}{dt} \big(m(X_u,\dot X )\big)-m(X_{uu} \dot u+X_{vu} \dot v,\dot X )\\ =\,&m\Big(\dfrac{d}{dt} X_u,\dot X \Big)+m(X_u,\ddot X )-m(X_{uu} \dot u+X_{vu} \dot v,\dot X )\\ =\,&m(X_{uu} \dot u+X_{uv} \dot v,\dot X )+m(X_u,\ddot X )-m(X_{uu} \dot u+X_{vu} \dot v,\dot X )\\ =\,&m(X_u,\ddot X )\\ =\,& \hbox{\eqref{4} 式右邊。} \end{align*}因此得到 E-L 方程 \eqref{2} 和虛功原理 $(2)'$, \eqref{3} 和 $(3)'$ 等價。 定理證畢。(註五)
三、 E-L方程之於單擺及簡評
我們將利用 E-L 方程來寫下單擺的運動方程, 如圖 5
約束流形 (即半徑為 $l$ 的圓弧) 上的坐標為 $\theta $, 位置向量 $X=(l\cos\theta ,l\sin\theta )$, 速度向量 $\dot X=(-l\sin\theta ,l\cos\theta ) \dot\theta$, 動能函數 $T=\dfrac 12 m(\dot X,\dot X )=\dfrac 12 ml^2 \dot\theta^2$。 若以 $P$ 為高度 0, 則重力位能 $V=-mg(l\cos\theta)$, 拉格朗日 $L=T-V=\dfrac 12 ml^2 \dot\theta^2+mg\,l\cos\theta$。
E-L方程：
\begin{align*} \dfrac{d}{dt} \Big(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\Big)-\frac{\partial L}{\partial\theta} =\,&0,\\ \dfrac{d}{dt} (ml^2 \dot\theta )+mg\,l\sin\theta =\,&0,\\ \hbox{或} ml^2 \ddot\theta +mg\,l\sin\theta =\,&0. \end{align*}消去 $ml$, 得運動方程 $l\ddot\theta +g\sin\theta =0$ (參見本文第一節)。
讀者不難發現, E-L方程在計算上非常方便。 特別是, 可以在約束流形上任意選擇方便的坐標, $(u,v)$, (以 2 維的約束流形為例) E-L方程總是
\begin{align*} \dfrac{d}{dt} \Big(\frac{\partial L}{\partial \dot u}\Big)-\frac{\partial L}{\partial u}=0 , \\ \dfrac{d}{dt} \Big(\frac{\partial L}{\partial \dot v}\Big)-\frac{\partial L}{\partial v}=0. \end{align*}這也說明了E-L方程展現了運動路徑的本質, 與坐標的選取無關。
最後, 應該解釋虛功兩字因何所指？ 原理中說 $(m\ddot X-F_a,\delta X)=0$, 這是一個力與距離的內積, 單位是功的單位, $\delta X$ 是約束流形的切向量, 可以解釋成一個虛擬的位移, 虛功原理即指 $m\ddot X-F_a$ 沿虛位移 $\delta X$ 所作之功為 0。 幾何意義不過是說約束力 $f=m\ddot X-F_a$ 與約束流形垂直。
我們在第一節先從牛頓的 $F=m\ddot X$ 出發, 然後 D'Alembert 將約束力考慮進來, 精益求精, 終於得到 E-L 方程, 這是數學物理史上一個重要的里程碑。
本文在證明中, 雖假設約束流形是二維的, 但在 $n$ 個質點時約束流形 $M$ 是
$\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3$ ($n$ 次) 的子流形, 相關的結果也同樣成立。
請見參考資料
註一：
E-L 方程又和最小作用原理等價, 請見參考資料
註二： 本文中的約束流形均為三度空間 $\mathbb{R}^3$ 中的曲線或曲面。 例如單擺, 質點在一圓弧上運動, 或質點在球形的碗壁上滑動, 此時約束力 $f$ 均與約束流形垂直, 平行於約束流形的法向量。
註三： 此處簡化施力 $F_a$ 的形式, 例如 $F_a$ 是重力, $V$ 是重力位能, $F_a=-\nabla V$, 如此比較容易看出虛功原理和 E-L 方程的關聯。
註四：
$T$ 是運動質點的動能, 但是作為一個約束流形上的「函數」, 必須納入切向量的坐標 $\dot u, \dot v$,
並且將 $\dfrac 12 m(X_u \dot u+X_v \dot v,X_u \dot u+X_v \dot v )$
視為 $u, v, \dot u, \dot v$ 四個獨立變數的函數, 當 $u, v,\dot u, \dot v$ 分別以質點的運動軌跡 $u(t), v(t), \dot u(t), \dot v(t)$ 代入 $T$ 時,
即得沿運動軌跡的動能。
把 $u, v,\dot u,\dot v$ 當成四個獨立變數的看法, 一般稱為切叢 (Tangent bundle), 因此可以說 $T$ 是切叢上的函數。
請見參考資料
註五： 最終, 我們事實上證明了 $(m\ddot X-F_a,X_u )=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial\dot u}-\dfrac{\partial L}{\partial u}$。
參考資料
---本文作者為台大數學系退休教授---