這是關於 20 世紀最傑出的數學家馮 $\cdot$ 諾伊曼 (John von Neumann, 1903$\sim$1957) 的一段軼事, 相信大多數讀者都知道。
馮 $\cdot$ 諾伊曼不僅頭腦敏銳, 而且心算能力也異於常人。 常常有人向他提出茶餘飯後的趣題, 作為遊戲, 看他如何作答。 據說有一次有人向他提出這樣的一個問題 ：
兩列火車 $A$、 $B$ 相距 200 公里相向而行, 它們時速均為 50 公里。 一隻時速 75 公里的蜜蜂從火車 $A$ 飛向火車 $B$, 碰到火車 $B$ 便轉頭飛向火車 $A$, 碰到火車 $B$ 便轉頭飛向火車 $A$, 如此這般來回穿梭, 直到兩列火車相遇, 問 ： 蜜蜂一共飛了多少公里?
據說那人剛說完了題目, 馮 $\cdot$ 諾伊曼想了一想便回答 ： 「150公里。」 對方便說 ：「哦, 你一定曾經碰到過這個問題, 而且曉得解題的捷徑！」 馮 $\cdot$ 諾伊曼有點愕然 ： 「什麼捷徑？我只是計算蜜蜂來來回回每次飛多遠, 把它加起來, 求一個無窮級數的和而已。」
快捷解法： $A$、 $B$ 兩列火車相遇需要時間 ： $\dfrac{200}{50+50}=2$ (小時), 這期間蜜蜂一直在飛, 所以它飛了 2 小時, 因而蜜蜂一共飛了 $2\times 75=150$ (公里)。
那馮 $\cdot$ 諾伊曼無窮級數求和的方法又是如何？
級數解法： 蜜蜂開始從 $A$ 出發首次與 $B$ 相遇用時 $\dfrac{200}{75+50}=\dfrac 85$ 小時, 行程 $75\times \dfrac 85=120$ 公里, 此時兩車相距 $200-\dfrac 85\times(50+50)=40$ 公里, 即原來距離的 $\dfrac 15$。
蜜蜂再由 $B$ 折返 $A$ 時, 只飛行原來距離的 $\dfrac 15$。 而且每次蜜蜂折返時, 都只飛行了它在上一次飛行距離的 $\dfrac 15$。 依此分析, 蜜蜂在兩車相遇時共飛行： $$120+\frac 15\times 120+\frac 1{5^2}\times 120+\cdots=120\Big(1+\frac 1{5}+\frac 1{5^2}+\frac 1{5^3}+\cdots\Big).$$
仔細看上述式子, 你會發現括弧內是一個無窮等比級數。 馮 $\cdot$ 諾伊曼是如何把這個公比為 $\dfrac 15$ 的無窮等比級數加起來的呢？
如圖 1 所示, 是一個把 $1+r+r^2+r^3+\cdots$ 加起來的辦法, 式中 $0\lt r\lt 1$。
從圖 1 右圖中的相似三角形, 可以看出 $1+r+r^2+r^3+\cdots=\dfrac 1{1-r}$, 這正是無窮等比級數的求和公式。 把 $1+r+r^2+r^3+\cdots$ 加起來, 還可以通過一個簡單的技巧算出： 記 \begin{align} S=1+r+r^2+r^3+\cdots.\label{1} \end{align} 將 \eqref{1} 式兩邊同乘以 $r$, 得到 \begin{align} rS=r+r^2+r^3+r^4+\cdots.\label{2} \end{align} 用 \eqref{1}$-$\eqref{2}, 得 \begin{align*} (1-r)S=1,\ \hbox{因此, }\ S=\frac 1{1-r}. \end{align*} 所以, $1+r+r^2+r^3+\cdots=\dfrac 1{1-r}$, 其中 $0\lt r\lt 1$。 從而, 蜜蜂在兩車相遇時共飛行 ： $120\times \Big(1\!+\!\dfrac 15\!+\!\dfrac 1{5^2}\!+\!\dfrac 1{5^3}\!+\!\cdots\Big)\!=\!120\times \dfrac{1}{1\!-\!\dfrac 15}\!=\!150$(公里)。
從上述分析過程可以看出, 如果你直接從蜜蜂往返飛行的路程去求解, 那就很複雜了； 而間接用蜜蜂飛行的時間去求解, 就非常簡單。
此題也說明, 每個人的思考方式和路徑不一定相同, 無需強迫人人都用同一種方法去解決問題。
---本文作者任教雲南省大理州漾濞縣第一中學 (高中部)---