問題4803： $\triangle ABC$ 中, ${\overline {AD}}\bot {\overline {BC}}$ 於 $D$ 點, $\angle A\!=\!45^\circ $、${\overline {BD}}\!=\!3$、${\overline {CD}}\!=\!2$, 求 $\triangle ABC$ 面積？
題目中提到 ${\overline {AD}}\bot {\overline {BC}}$ 於 $D$ 點, 表示其垂足 $D$ 會落在 ${\overline {BC}}$ 上, 又 ${\overline {BD}}$, ${\overline {CD}}$ 均正, 表示 $D$ 與 $B$, $C$ 相異, 可知 $\triangle ABC$ 必然是銳角三角形。 因此, 上述問題的圖形可參考下圖：
此圖形是仿照
在
在圖 2 中, 因為 $$\angle EAF=\angle EAD+\angle FAD=2(\angle BAD+\angle CAD)=2\times 45^\circ =90^\circ,$$ 故 $\angle EAF$ 為直角。 由於 $\angle AEG$, $\angle AFG$ 兩者亦為直角, 得知四邊形 $AEGF$ 的四個內角中有三個直角, 因此其第四個內角 $\angle EGF$ 亦為直角, 故 $AEGF$ 為矩形。 又因為 $AEGF$ 的兩鄰邊 ${\overline {AE}}$ 與 ${\overline {AF}}$ 等長(長度均為 $h$), 知四邊形 $AEGF$ 四邊等長, 因此它是一個邊長 $h$ 的正方形。 這樣我們就知道
\begin{eqnarray*} {{\overline {BG}}}&=&{\overline {GE}}-{{\overline {BE}}}={\overline {AE}}-{\overline {BD}}=h-3,\\ {\overline {CG}}&=&{\overline {GF}}-{\overline {CF}}={\overline {AF}}-{\overline {CD}}=h-2. \end{eqnarray*}
因為圖 2 中 $\triangle BCG$ 為直角三角形, 由畢氏定理知 ${{\overline {BG}}\,}^2+{\overline {CG}\,}^2={\overline {BC}\,}^2$, 即 \begin{equation} (h-3)^2+(h-2)^2=25.\label{1} \end{equation} 上式可化簡得 $$(h-6)(h+1)=0,$$ 因此知 $h=6$ 或 $h=-1$。 其中 $h=-1$ 不符所求, 得 ${\overline {AD}}=h=6$, 並可求出 $\triangle ABC$ 面積為 15。
以上所介紹的解法, 基本上與
從第一節的討論, 可知 $h=-1$ 是 \eqref{1} 式的兩根之一, 注意 \eqref{1} 式中有兩個平方式： $(h-3)^2$ 與 $(h-2)^2$。 因為平方式 $a^2$ 也可以寫成 $(-a)^2$, 所以我們可將 \eqref{1} 式改寫為： \begin{equation} (-h+3)^2+(-h+2)^2=25,\label{2} \end{equation} 且 $h=-1$ 也是 \eqref{2} 式的根。 將 $h=-1$ 代入 \eqref{2} 式後, 可知 \begin{equation} (1+3)^2+(1+2)^2=25.\label{3} \end{equation} 從 \eqref{3} 式的結果, 我們另外知道 $h=1$ 是底下 \eqref{4} 式的根： \begin{equation} (h+3)^2+(h+2)^2=25.\label{4} \end{equation} 同理可將 \eqref{4} 式中的兩個平方式改寫, 得知 $h=1$ 是底下 \eqref{5} 式的根： \begin{equation} (-h-3)^2+(-h-2)^2=25.\label{5} \end{equation} 將 $h=1$ 代入上式後得 \begin{equation} (-1-3)^2+(-1-2)^2=25.\label{6} \end{equation} 最後, 由 \eqref{6} 式可知 $h=-1$ 是 \eqref{1} 式的根。
從以上的討論過程, 我們知道「$h=-1$ 是 \eqref{1} 式的根」與「$h=1$ 是 \eqref{4} 式的根」這兩件事等價, 可彼此互推。
接著, 我們不妨將問題 4803 的條件修改一下, 考慮底下的問題：
問題1： $\triangle ABC$ 中, ${\overline {AD}}\bot {\overline {BC}}$ 於 $D$ 點, $\angle A\!=\!135^\circ $、${\overline {BD}}\!=\!3$、${\overline {CD}}\!=\!2$, 求 $\triangle ABC$ 面積？
注意問題 1 除了 $\angle A=135^\circ$ 的條件外, 其餘條件都和問題 4803 相同。 其參考圖形如下：
其中, 同樣假設高 ${\overline {AD}}=h$。 問題 1 的解法如下：
解答1： 仿照第一節中求解問題 4803 時由圖 1 得圖 2 的方式對圖 3 做輔助線, 先分別以圖 3 的 ${\overline {AB}}$ 與 ${\overline {AC}}$ 為對稱軸, 作 $\triangle ABD$ 與 $\triangle ACD$ 的鏡像： $\triangle ABE$ 與 $\triangle ACF$。 接著作 ${{\overline {BE}}}$ 與 ${\overline {CF}}$ 之延長線, 假設兩者相交於 $G$, 可得下圖：
在圖 4 中, 因為 $$\angle EAD+\angle FAD=2(\angle BAD+\angle CAD)=2\times 135^\circ =270^\circ,$$ 可知 $$\angle EAF=360^\circ -(\angle EAD+\angle FAD)=90^\circ,$$ 故 $\angle EAF$ 為直角。 此時, 仿照我們對圖 2 所作的討論, 同理可知圖 4 中四邊形 $AEGF$ 為邊長 $h$ 的正方形。 這樣我們就知道 \begin{eqnarray*} {{\overline {BG}}}&=&{{\overline {BE}}}+{\overline {EG}}={\overline {BD}}+{\overline {EA}}=h+3,\\ {\overline {CG}}&=&{\overline {CF}}+{\overline {FG}}={\overline {CD}}+{\overline {FA}}=h+2. \end{eqnarray*} 因為圖 4 中 $\triangle BCG$ 為直角三角形, 由畢氏定理知 ${{\overline {BG}}\,}^2+{\overline {CG}\,}^2={\overline {BC}\,}^2$, 即 \begin{equation} (h+3)^2+(h+2)^2=25.\label{7} \end{equation} 注意 \eqref{7} 式與本節一開始介紹的 \eqref{4} 式完全相同, 它可化簡為 $$(h+6)(h-1)=0,$$ 得兩根為 $h=-6$ 或 $h=1$。 但其中 $h=-6$ 不符所求, 知 ${\overline {AD}}=h=1$, 並可求出 $\triangle ABC$ 的面積為 $\dfrac 52$, 解題完畢。
看完上面解答 1 的過程, 我們知道 $h=1$ 就是 \eqref{4} 式 (即 \eqref{7} 式) 的根。 而本節一開始的那段討論, 告訴我們「$h=1$ 是 \eqref{4} 式的根」與「$h=-1$ 是 \eqref{1} 式的根」這兩件事是等價的, 從而我們知道, 問題 4803 解答中的 \eqref{1} 式之所以會多出 $h=-1$ 這個根, 是因為問題 1 在解答過程中由圖 4 可推得 \eqref{4} 式 (即 \eqref{7} 式), 且 $h=1$ 是 \eqref{4} 式的一根。
而此時筆者也可另外問大家, 為何上述解答中的 \eqref{7} 式會多出 $h=-6$ 這個根呢？ 相信在看過上面的討論後, 讀者應該可以自己設法找出答案。 答案是, 因為「$h=-6$ 是 \eqref{7} 式的根」與「$h=6$ 是 \eqref{1} 式的根」是等價的(請證明看看), 而後者早在第一節後半我們就已經知道了。
在第一節中, 筆者對問題 4803 的解法乃是參考
解答2： 圖 1 中, 以 ${\overline {AC}}$ 為對稱軸作 $\triangle ABC$ 的鏡像 $\triangle AB'C$, 連接 ${\overline {BB'}}$ 後, 將如下圖：
假設 ${\overline {BB'}}$ 交 ${\overline {AC}}$ 於 $E$, 因為 $ABCB'$ 為箏形, 可知 ${\overline {BB'}}\bot {\overline {AC}}$。
在圖 5 中, 因為 $$\angle BAB'=\angle BAC+\angle B'AC=2\times 45^\circ =90^\circ,$$ 故 $\angle BAB'$ 為直角。 此外, 因 $\triangle ABD$, $\triangle ACD$ 為直角三角形, 可寫下 $${\overline {AB}}=\sqrt{h^2+9},\qquad {\overline {AC}}=\sqrt{h^2+4}.$$ 因為 ${\overline {AB}}={\overline{AB'}}$, 可知 $\triangle ABB'$ 為等腰直角三角形, 而 $\triangle ABB'$ 斜邊上的高 ${\overline {AE}}$, 又將 $\triangle ABB'$ 切成兩個等腰直角三角形 : $\triangle ABE$ 及 $\triangle AB'E$, 因此可知 \begin{eqnarray*} {\overline {AE}}&=&{{\overline {BE}}}=\frac {\overline {AB}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{h^2+9}}{\sqrt{2}},\\ {\overline {CE}}&=&{\overline {AC}}-{\overline {AE}}=\sqrt{h^2+4}-\frac{\sqrt{h^2+9}}{\sqrt{2}}. \end{eqnarray*} 由於 $\triangle BCE$ 為直角三角形, 可知 ${{\overline {BE}}\,}^2+{\overline {CE}\,}^2={\overline {BC}\,}^2$, 因此有 $$\left(\frac{\sqrt{h^2+9}}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{h^2+4}-\frac{\sqrt{h^2+9}}{\sqrt{2}}\right)^2=25.$$ 上式整理後可得 \begin{equation} 2h^2-12=\sqrt{2}\times \sqrt{h^2+4}\times \sqrt{h^2+9}.\label{8} \end{equation} 對 \eqref{8} 式的等號兩側取平方, 可知 \begin{equation} (2h^2-12)^2=2(h^2+4)(h^2+9).\label{9} \end{equation} 對 \eqref{9} 式再作化簡, 最終可得 \begin{equation} (h^2-1)(h^2-36)=0.\label{10} \end{equation} 在已知 $h\gt 0$ 的前提之下, 可知上式的解為 \begin{equation} h=1 \quad\hbox{或}\quad h=6.\label{11} \end{equation} 不過, 這兩個解都是符合圖 5 的解嗎？
且讓我們回到圖 5, 因為 $\angle BAC=45^\circ $, 可知 $$\angle BAD=\angle BAC-\angle CAD\lt \angle BAC=45^\circ.$$ 又因為 $\angle ABD$ 與 $\angle BAD$ 互餘, 利用上式可知 $$\angle ABD=90^\circ -\angle BAD\gt 90^\circ -45^\circ =45^\circ.$$ 因此有 $\angle ABD\gt 45^\circ \gt \angle BAD$。 接著觀察 $\triangle ABD$, 由三角形大角對大邊的性質知 ${\overline {AD}}\gt {\overline {BD}}$, 即 $h\gt 3$, 因此在 \eqref{11} 處的兩解中, $h=1$ 是不合的解, 應取 $h=6$。 至此, 可再次可算出 $\triangle ABC$ 面積為 15, 解題完畢。
看完上面的解題過程, 我們發現方程式 \eqref{10} 有一個多出來的根 $h=1$, 經過第二節的探討, 我們知道它應該與問題 1 的解 $h=1$ 有關。 底下, 我們不妨再次看問題 1, 給出其另解之後, 再仿照第二節解答 1 完成後所給出的論述, 進行類似的探討。 問題 1 的另解如下：
解答3： 圖 3 中, 以直線 ${{AC}}$ 對稱軸作 $\triangle ABC$ 的鏡像 $\triangle AB'C$, 連接 ${\overline {BB'}}$ 後, 將如下圖：
假設 ${\overline {BB'}}$ 交 ${\overline {AC}}$ 的延長線於 $E$, 因為 $B$, $B'$ 兩點對直線 $AC$ 對稱, 可知 ${\overline {BB'}}$ 垂直 $AC$ 直線於 $E$。
在圖 6 中, 因為 $$\angle BAB'=360^\circ -(\angle BAC+\angle B'AC)=360^\circ -2\times 135^\circ =90^\circ,$$ 故 $\angle BAB'$ 為直角。 此外, 因 $\triangle ABD$, $\triangle ACD$ 為直角三角形, 可寫下 $${\overline {AB}}=\sqrt{h^2+9},\qquad {\overline {AC}}=\sqrt{h^2+4}.$$ 因為 ${\overline {AB}}={\overline {AB'}}$, 可知 $\triangle ABB'$ 為等腰直角三角形, 而 $\triangle ABB'$ 斜邊上的高 ${\overline {AE}}$, 又將 $\triangle ABB'$ 切成兩個等腰直角三角形 : $\triangle ABE$ 及 $\triangle AB'E$, 因此可知 \begin{eqnarray*} {\overline {AE}}&=&{{\overline {BE}}}=\dfrac{{\overline {AB}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{h^2+9}}{\sqrt{2}},\\ {\overline {CE}}&=&{\overline {CA}}+{\overline {AE}}=\sqrt{h^2+4}+\frac{\sqrt{h^2+9}}{\sqrt{2}}. \end{eqnarray*} 由於 $\triangle BCE$ 為直角三角形, 可知 ${{\overline {BE}}\,}^2+{\overline {CE}\,}^2={\overline {BC}\,}^2$, 因此有 $$\left(\frac{\sqrt{h^2+9}}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{h^2+4}+\frac{\sqrt{h^2+9}}{\sqrt{2}}\right)^2=25.$$ 上式整理後可得 \begin{equation} 2h^2-12=-\sqrt{2}\times \sqrt{h^2+4}\times \sqrt{h^2+9}.\label{12} \end{equation} 對 \eqref{12} 式的等號兩邊取平方, 可知 \begin{equation} (2h^2-12)^2=2(h^2+4)(h^2+9).\label{13} \end{equation} 對 \eqref{13} 式再作化簡, 可得 \begin{equation} (h^2-1)(h^2-36)=0.\label{14} \end{equation} 在已知 $h\gt 0$ 的前提之下, 可知上式的解為 $$h=1 \quad\hbox{或}\quad h=6.$$
為了確定上述 $h$ 的兩解何者正確, 回到圖 6 後, 因為 $\angle BAC=135^\circ $, 可知 $$\angle ACD=180^\circ -\angle BAC-\angle ABC\lt 180^\circ -\angle BAC=45^\circ.$$ 又因為 $\angle ACD$ 與 $\angle CAD$ 互餘, 利用上式可知 $$\angle CAD=90^\circ -\angle ACD\gt 90^\circ -45^\circ =45^\circ.$$ 因此有 $\angle CAD\gt 45^\circ \gt \angle ACD$。 接著觀察 $\triangle ACD$, 由三角形大角對大邊的性質知 ${\overline {AD}}\lt {\overline {CD}}$, 即 $h\lt 2$, 因此上述 $h$ 的兩解中, $h=6$ 是不合的解, 應取 $h=1$。 至此, 可再次算出 $\triangle ABC$ 面積為 $\dfrac 52$, 解題完畢。
此時, 若回頭比較解答 2 與解答 3, 可發現解答 3 中的 \eqref{13} 式就是解答 2 中的 \eqref{9} 式。 而正因為如此, 才使得方程式 \eqref{14} 的根 $h=1$ 也出現在方程式 \eqref{10} 的根裡面; 同時, 也讓方程式 \eqref{10} 的根 $h=6$ 也出現在方程式 \eqref{14} 的根裡面。
讀者應該有注意到, \eqref{8}, \eqref{12} 兩式剛好只差了一個負號, 但因為接下來都對兩者之等號兩側取平方, 所以就得到相同的 \eqref{9}, \eqref{13} 兩式。 這也讓兩處得到同樣的方程式 \eqref{10}, \eqref{14} 與同樣的兩根。
透過本文前兩節的探討, 我們便明白了問題 4803 解答之中方程式 \eqref{1} 的根 $h=-1$ 的由來。 而比較第三節中的兩個另解, 我們也知道解答 2 中方程式 \eqref{10} 其不符所求的根 $h=1$ 剛好是解答 3 中符合所求的解。 日後當我們解題時, 若發現方程式有不合題意的根, 不妨思考看看它的由來, 也許它來自於另一個相關問題。
以上就是筆者簡單的心得分享, 希望讀者喜歡。文章最後, 筆者要感謝建中通訊解題主辦單位, 因為有問題4803, 才有本文的誕生。
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