曰: 「聖人重先後之序, 如天之四時, 分毫頃刻, 皆有次第, 物理自然, 不可易也。」

---黄宗羲全集, 第4卷

電阻是電路學理論裡重要的元件, 它有兩個端點, 其電路符號如圖 1 所示。 電路學裡的基本電路元件都可以用電流及(或)電壓兩種電路變數以數學方式描述, 以電阻為例, 它的阻值即是描述材料阻礙電流流動的程度, 可以寫成 $R=\dfrac VI$, 稱為歐姆定律。 其中 $V$ 是電壓, 單位伏特, $I$ 是電流, 單位安培, $R$ 是電阻, 單位歐姆。

當兩個電阻端點形成一個節點時稱為串聯, 串聯的電阻承載相同的電流, 如圖 2(a) 所示。 利用克希荷夫電壓/電流定律, 可以得到串聯的電阻之等效值為 $R=R_1+R_2$。 當兩個電阻端點形成兩個節點時稱為並聯, 並聯的電阻橫跨相同的電壓, 如圖 2(b) 所示。 利用克希荷夫電壓/電流定律, 可以得到並聯的電阻之等效值的倒數為 $\dfrac 1R=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$。

矩形電阻網路是由 $M\times N$ 個電阻組成的雙埠電路, 以 $M=N=2$ 為例, 圖 3 顯示了兩種結構, 左邊稱為先串後並電路, 電阻值表示為 $R_{SP}$, 右邊稱為先並後串電路, 電阻值表示為 $R_{PS}$。 通常來講, 矩形電阻網路可以矩陣的形式表示為 \begin{align} R=\left[\begin{array}{ccccc} R_{11}&R_{12}&\cdots&R_{1(N-1)}&R_{1N}\\ R_{21}&R_{22}&\cdots&R_{2(N-1)}&R_{2N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ R_{(M-1)1}&\vdots&\ddots&\ddots&R_{(M-1)N}\\ R_{M1}&~R_{M2}~&~\cdots~&~R_{M(N-1)}~&R_{MN} \end{array}\right],\label{1} \end{align} 其中矩陣內所有元素的數值皆大於 0。 本文猜想兩種結構所得到的電阻值會以不等式出現, 即 $R_{SP}\ge R_{PS}$, 且當矩陣 $R$ 的秩 rank$(R)=1$ 時等式成立。

我們先從最簡單的情況開始理解, 考慮 $M=N=2$ 且 $w=y=z=1$ 的情況, 改變 $x$ 的數值來觀察 $R_{SP}$ 與 $R_{PS}$, 結果如圖 4 所示, 可以觀察到 $R_{SP}\ge R_{PS}$, 即先串後並的電阻值一定大於等於先並後串的電阻值, 且當 $x=1$ 時等式成立。 換一種說法是設 $r=\dfrac{R_{SP}}{R_{PS}}$, 則 $r$ (阻值比)必定大於等於 1, 如圖 5 所示, 且當 $x=1$ 時 $r=1$。

在此簡單的情況下, 先串後並的電阻值 $R_{SP}$ 表示為 \begin{align} R_{SP}(x)=(1+x)//(1+1)=\frac{2(x+1)}{x+3},\label{2} \end{align} 先並後串的電阻值 $R_{PS}$ 表示為 \begin{align} R_{PS}(x)=(1//x)+(1//1)=\frac{3x+1}{2(x+1)}.\label{3} \end{align}

觀察兩者的差可以得到 \begin{align} d(x)=R_{SP}(x)-R_{PS}(x)=\frac{(x-1)^2}{2(x+1)(x+3)}\ge 0,\label{4} \end{align} 且等式只有當 $x=1$ 時成立。

觀察兩者的比值可以得到 \begin{align} r(x)=\frac{R_{SP}(x)}{R_{PS}(x)}=1+\frac{(x-1)^2}{3x^2+10x+3}\ge 1.\label{5} \end{align} 由於 $x\gt 0$, 上式的分母 $3x^2+10x+3$ 恆大於 0, 因此等式只有當 $x=1$ 時成立。

接著我們往前走一步, 一樣考慮 $M=N=2$ 但只有 $w=z=1$, 改變 $x$ 與 $y$ 的數值來觀察 $R_{SP}$ 與 $R_{PS}$, 結果如圖 6 所示, 可以觀察到相同的結果, 即 $R_{SP}\ge R_{PS}$。 從圖 6 可以看出當 $x=y$ 時等式成立。 觀察兩者的比值可以得到 \begin{align} r(x,y)=\frac{R_{SP}(x,y)}{R_{PS}(x,y)}=\frac{2(x+1)(y+1)(x+y)}{(x+y+2)(x+y+2xy)}\ge 1.\label{6} \end{align}

簡單的說明如下 ： 想要證明 $r(x,y)\ge 1$ 等同於證明 \begin{align} {2(x+1)(y+1)(x+y)}\ge {(x+y+2)(x+y+2xy)}.\label{7} \end{align}

不等式左邊展開得到 $2x+2x^2+4xy+2x^2y+2y+2y^2+2xy^2$, 右邊展開得到 $2x+2y+4xy+x^2+2xy+2x^2y+2y^2+2xy^2$, 消掉共同項, 不等式左邊剩下 $x^2+y^2$, 右邊剩下 $2xy$, 由於 $(x-y)^2\ge 0$, 或者說 $x^2+y^2\ge 2xy$ 且等式成立的條件是 $x=y$, 因此得證。

接著我們再往前走一步, 一樣考慮 $M=N=2$ 但只有 $w=1$, 改變 $x $, $y$ 與 $z$ 的數值來觀察 $R_{SP}$ 與 $R_{PS}$, 結果如圖 7 所示, 注意到四張圖的橫軸刻度是不一樣的, 由圖 7 可以觀察到相同的結果, 即 $R_{SP}\ge R_{PS}$, 且當 $\dfrac z1=\dfrac yx$ 時等式成立。 觀察兩者的比值可以得到 \begin{align} r=\frac{R_{SP}}{R_{PS}}=\frac{(1+x)(x+y)(y+z)(1+z)}{(1+x+y+z)(z(x+y)+xy(1+z))}\ge 1.\label{8} \end{align}

由於 $w=1$ 只是相對的參考值, 因此我們得到一個結論： 矩形電阻網路的兩個型態阻值比較結果, $R_{SP}\ge R_{PS}$, 且當 $\dfrac zw=\dfrac yx$ 時等式成立。 整理比值得到如下： \begin{align} r=\frac{R_{SP}}{R_{PS}}=\frac{(w+x)(x+y)(y+z)(z+w)}{(w+x+y+z)(wz(x+y)+xy(w+z))}\ge 1.\label{9} \end{align}

\eqref{9} 式的原始寫法是 \begin{align} R_{SP}=\frac{1}{\dfrac{1}{w+x}+\dfrac{1}{z+y}}\ge \frac{1}{\dfrac{1}{w}+\dfrac 1z}+\frac{1}{\dfrac{1}{x}+\dfrac 1y}=R_{PS}. \label{10} \end{align} 證明如下： 先定義 $f(v)\!=\!w\!+\!vx$, $g(v)\!=\!z\!+\!vy$ 及 $h(v)\!=\!\dfrac{1}{\dfrac{1}{w+vx}\!+\!\dfrac{1}{z+vy}}\!=\!\dfrac{1}{\dfrac{1}{f(v)}\!+\!\dfrac{1}{g(v)}},$ 因為 $w,x,y,z$ 皆大於 0, 所以 $h(v)$ 在 $[0,\infty)$ 皆可微, \begin{align} h'(v)=\frac{dh(v)}{dv}=\Big(\frac 1f+\frac 1g\Big)^{-2}\Big(\frac x{f^2}+\frac y{g^2}\Big). \label{11} \end{align} 利用柯西不等式 $\Big(\dfrac x{f^2}+\dfrac y{g^2}\Big)\Big(\dfrac 1x+\dfrac 1y\Big)\ge \Big(\dfrac 1f+\dfrac 1g\Big)^2$, 代回 \eqref{11} 式整理得到 \begin{align} h'(v)=\dfrac{1}{\frac 1x+\frac 1y}. \label{12} \end{align} 利用特殊的技巧如下 \begin{align} h(1)-h(0)=\int_0^1h'(v)dv\ge \dfrac{1}{\dfrac 1x+\dfrac 1y}. \label{13} \end{align} 最後代入 $h$ 函數, $h(1)-h(0)$, 得到 \begin{align} \dfrac{1}{\dfrac{1}{w+x}+\dfrac{1}{z+y}}-\frac{1}{\dfrac{1}{w}+\dfrac 1z}\ge \dfrac{1}{\dfrac 1x+\dfrac 1y}, \label{14} \end{align} 移項即得到 \eqref{10} 式, 證明結束。 根據柯西不等式, 當 $v\in [0,1]$, 等式成立的條件是 $\dfrac{x}{f^2}:\dfrac{y}{g^2}=\dfrac 1x:\dfrac 1y$, 透過整理即得到 $\dfrac zw=\dfrac yx$ 為等式成立的條件。

再來考慮稍微複雜的情況： $M=2$ 及 $N=4$, 例如設定 $R=\left[\begin{array}{cccc} ~1~&~2~&~3~&~4~\\ 2&u&6&8\end{array}\right]$, 改變 $u$ 的數值來觀察 $R_{SP}$ 與 $R_{PS}$ 的阻值比, 可以猜想當 $u=4$ 等式成立, 因為若兩個列向量成比例關係, 則等式成立。 結果如圖 8 所示, 與猜想相符。 再舉一個例子, $M=3$ 及 $N=4$, 例如設定 $R=\left[\begin{array}{cccc} ~1~&~2~&~3~&~4~\\ 2&v&6&8\\ 1&7&6&3\end{array}\right]$, 改變 $v$ 的數值來觀察 $R_{SP}$ 與 $R_{PS}$ 的阻值比, 由於不管 $v$ 是多少, 矩陣 $R$ 的秩 rank$(R)$ 至少為 2, 所以等式不可能成立。 改變 $v$ 的結果如圖 9 所示, 與猜想相符。

經由上面的討論, 由$M\!\times\! N$個電阻組成的矩形電阻網路, 先串後並電路, 電阻值表示為$R_{SP}$, \begin{align} R_{SP}=\dfrac{1}{\sum\limits_{i=1}^M \dfrac{1}{\sum\limits_{j=1}^N R_{ij}}}, \label{15} \end{align} 先並後串電路, 電阻值表示為 $R_{PS}$ \begin{align} R_{PS}=\sum_{j=1}^N\dfrac{1}{\sum\limits_{i=1}^M \dfrac 1{R_{ij}}}. \label{16} \end{align}

我們猜想兩種結構所得到電阻值會以不等式出現, 即 $R_{SP}\ge R_{PS}$, \begin{align} R_{SP}=\dfrac{1}{\sum\limits_{i=1}^M \dfrac{1}{\sum\limits_{j=1}^N R_{ij}}}\ge R_{PS}=\sum_{j=1}^N\dfrac{1}{\sum\limits_{i=1}^M \dfrac 1{R_{ij}}}. \label{17} \end{align} 當矩陣 $R$ 的秩 rank$(R)=1$ 時等式成立。 \eqref{17} 式可以改寫成另外一種漂亮的不等式如下 \begin{align} \sum_{j=1}^N\dfrac{1}{\sum\limits_{i=1}^M \dfrac 1{R_{ij}}}\times \sum\limits_{i=1}^M \dfrac{1}{\sum\limits_{j=1}^N R_{ij}}\le 1, \label{18} \end{align} 且當矩陣 $R$ 的秩 rank$(R)=1$ 時等式成立。

如果讀者對 \eqref{17} 式的證明有興趣, 可以考慮由 $M=N=2$ 成立為基礎, 利用數學歸納法應可完成證明。

事實上比 \eqref{17} 式更廣義的一個不等式已經被提出並完成證明。 在參考文獻 附錄中的定理3我們重新敘述如下：

考慮任意正實數矩陣 $A=\left[\begin{array}{ccc} ~a_{11}~&~\cdots~&~a_{1N}~\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{M1}&\cdots&a_{MN} \end{array}\right]$, $p,q$ 為任意實數, 定義 $p$ 次冪平均 (power mean)： $M_p(a_1,\ldots,a_n)=M_p(\{a_i\}_{i=1}^n)\!=\!\Big(\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n a_i^p\Big)^{\frac 1p}$, 如果 $p\!\lt \!q$, 則下列不等式成立 \begin{align} M_q(\{M_p(\{a_{ij}\}_{i=1}^M)\}_{j=1}^N)\le M_p(\{M_q(\{a_{ij}\}_{j=1}^N)\}_{i=1}^M) \label{19} \end{align} 等式成立的條件是矩陣 $A$ 的秩 rank$(A)=1$。

設定 $p=-1\lt q=1$, $a_{ij}=R_{ij}$, 根據 \eqref{19} 式, 左邊可以寫成 \begin{align} M_{q=1}(\{M_{p=-1}(\{a_{ij}\}_{i=1}^M)\}_{j=1}^N)=\,&M_{q=1} \Big(\Big\{\frac{M}{\sum\limits_{i=1}^M\frac 1{R_{ij}}}\Big\}_{j=1}^N\Big)\nonumber\\ =&\frac 1N\sum_{j=1}^N\frac{M}{\sum\limits_{i=1}^M\frac 1{R_{ij}}} =\frac MN\sum_{j=1}^N\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^M\frac 1{R_{ij}}}, \label{20} \end{align} 右邊可以寫成 \begin{align} M_{p=-1}(\{M_{q=1}(\{a_{ij}\}_{j=1}^N)\}_{i=1}^M)=\,&M_{p=-1}\Big(\Big\{\frac 1N\sum\limits_{j=1}^NR_{ij}\Big\}_{i=1}^M\Big)\nonumber\\ =&\frac{M}{\sum\limits_{i=1}^M\frac{1}{\dfrac 1N\sum\limits_{j=1}^N{R_{ij}}}} =\frac MN\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^M\dfrac{1}{\sum\limits_{j=1}^N{R_{ij}}}}. \label{21} \end{align} 不等式兩邊各乘上一個比例常數 $N/M$ 並左右對調即可由 \eqref{19} 式得到 \eqref{17} 式, 說明結束。

$q=1$ 可以比擬成串聯, $p=-1$ 可以比擬成並聯, \eqref{20} 式是先並後串, 即 \eqref{17} 式的右邊, \eqref{21} 式是先串後並, 即 \eqref{17} 式的左邊, 所以我們獲得最後的結論： 兩種結構所得到的電阻值會以不等式出現, 即 $R_{PS}\le R_{SP}$, 且當矩陣 $R$ 的秩 rank$(R)=1$ 時等式成立。

最後借韓愈《師說》的語氣做個結論, 「串並有先後, 術算有專攻, 如是而已」。

參考文獻

---本文作者林福林任教南台科技大學 電子工程學系, 林子喬為聯發科技資深工程師---