無論是在高三下自然組的 (多項式) 微積分課或是大一上期中考之前的微積分, 描繪 $y=f(x)$ 的函數圖形都是教學的重點。
通常教師會提示描繪的前置作業, 要求學生逐步完成下列步驟：
- (一) 計算 $f'(x)$, 將定義域分解成 $f'\gt 0$, $f'\lt 0$ 的區間, 並同時紀錄臨界點, 即 $f' (x)=0$ 的點。
- (二) 讓學生了解在 $f'\gt 0$ $(f'\lt 0)$ 的區間上, $f(x)$ 的圖形是遞增 (遞減) 的。
- (三) 對每一個臨界點, 在其左、右判斷 $f'$ 的正負, 來決定該點是否確是極大值或極小值。
- (四) 計算 $f''(x)$, 將定義域分解成 $f''\gt 0$, $f''\lt 0$ 的區間, 並同時紀錄 $f'' (x)=0$ 的解。
- (五) 讓學生了解在 $f''\gt 0$ 的區間上, $f(x)$ 的圖形是上凹或凹口向上, 而在 $f''\lt 0$ 的區間, 圖形是下凹或凹口向下。
- (六) 對 $f'' (x)=0$ 的解, 在其左右判斷 $f''$ 的正負, 如果正負號相反, 則稱此點是一個反曲點。
- (三$)'$ 如果臨界點處, 凹口向下, 便是極大值, 而若凹口向上, 便是極小值。
本文的目的是想從平面運動直觀的來看函數圖形的屬性, 主要是要理解上述 (二) 、 (五) 兩個步驟。 我們把 $y=f(x)$ 的函數圖形看成是質點在坐標平面上的運動軌跡, $x$ 想成是時間,
運動軌跡是 $(x,f(x))$, 即水平運動是 $x$, 鉛垂方向的運動是 $f(x)$。 速度向量是 $(x,f(x))$ 對時間 $x$ 的微分, 即 $V=(1,f'(x))$, 加速度向量是速度向量對 $x$ 的微分, 因此是 $A=(0,f''(x))$。
先說步驟 (二) 。 假設在時段 $(a,b)$ 上, $f' (x)\lt 0$, 這代表鉛垂速度小於 0, 因此是下墜的情形, 如圖一所示 :
當時間 $x$ 進行, 質點在水平方向以速度 1 向右前進, 而相關的鉛垂速度始終小於 0, 代表持續下墜, 因此鉛垂的位置 $f(x)$ 也處於遞減的狀態。 同理, 若是 $f'(x)$ 在時段上 $(a,b)$ 恆正, 就代表鉛垂的位置 $f(x)$ 處於遞增。
接下來談步驟 (五) , 當 $f''(x)$ 在時段 $(a,b)$ 上小於 0 時, 我們要解釋函數圖形(或平面運動軌跡)為什麼凹口向下。
首先, 我們以線段 $M$ 連接 $(\alpha ,f(\alpha ))$ 和 $(\beta ,f(\beta ))$, 其中 $a\lt \alpha \lt \beta \lt b$。 此時, 圖形分成三種情形, 分別是 $f(\alpha )\lt f(\beta )$, $f(\alpha )=f(\beta )$ 和 $f(\alpha )\gt f(\beta )$, 如圖二、 三、 四所示：
我們以圖二為例來說明現象(五.1) (圖三、四的說明類似)：
(五.1) 在時段 $(a,b)$, 如果 $f''(x)$ 恆負, 則上述連接 $(\alpha ,f(\alpha ))$ 和 $(\beta ,f(\beta ))$ 的線段 $M$, 除了端點, 均落在函數圖形(運動軌跡)的下方。 注意到圖二, 在時段 $(\alpha ,\beta )$, 鉛垂方向從 $f(\alpha )$ 上升到 $f(\beta ) $, 平均速度是線段 $M$ 的斜率： $\dfrac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha}$。 因為 $f'' (x)\lt 0$, 因此 $f'(\alpha )$ 一路遞減到 $f'(\beta ) $, 而有 \begin{align} f' (\alpha )\gt \frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha}\gt f' (\beta ),\label{1} \end{align} ((1)式對圖三、四也同樣成立)
從 \eqref{1} 式可以合理宣稱在 $\alpha ,\beta$ 之間有 $\gamma$ 滿足 $f'(\gamma )=\dfrac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha}$ (註), 亦即在 $(\gamma ,f(\gamma ))$ 的切線與 $M$ 平行, 如圖五所示：
因此, 鉛垂方向的速度從 $f' (\alpha )$ 遞減到平均速度 $f'(\gamma )=\dfrac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha}$ 又再遞減到 $f' (\beta )$, 而相應的鉛垂位置從 $f(\alpha )$ 變化到 $f(\beta )$。
在討論函數圖形和線段 $M$ 的關係時, 一方面將圖形看成軌跡 $(x,f(x))$, 另一方面將 $M$ 看成是等速直線運動 $\Big(x,f(\alpha )+\dfrac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha}(x-\alpha )\Big)$ 的軌跡, 後者的鉛垂速度是前者的鉛垂平均速度 $\dfrac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha}$, $x$ 均代表時間。我們要比較同一時間兩個運動的鉛垂位置差。 不難看出, 在時間 $\alpha$ 時, 及 $\alpha$ 後 $\gamma$ 前, 前者的鉛垂速度比較大, 因此鉛垂位置差逐漸加大, 而到了時間 $\gamma$ 及 $\gamma$ 後, 鉛垂位置差逐漸縮小, 最後到了時間 $\beta $, 兩者的位置再度重合。
從以上的論証, 不難看出在圖五中, 線段 $M$ 完全落在圖形的下方, 這是 $f''$ 恆負的結果。
另外, 如果在圖五中, 令 $\beta$ 趨近 $\alpha $, 則 $M$ 趨近過 $(\alpha ,f(\alpha ))$ 的切線, 如圖六所示：
我們因此看到下面的現象
(五.2) 當 $f''(x)$ 在時段 $(a,b)$ 恆負時, $\alpha \in (a,b)$, 則在 $(\alpha ,f(\alpha ))$ 的切線會完全在圖形 $y=f(x)$ 的上方。
(五.1)和(五.2)合併, 以圖形和切線及割線的上下關係說明了當 $f''$ 恆負時, 凹口向下的現象。 當然, 當 $f''$ 恆正時, 同理會有凹口向上的情形。
以上是對圖形遞增 ($f'\gt 0$) 遞減 ($f'\lt 0$) 上凹 ($f''\gt 0$) 下凹 ($f''\lt 0$) 利用平面運動的說明, 雖然不很嚴謹, 但是希望在教學現場可以透過鉛垂的速度 $f'$ 和加速度 $f''$ 來了解函數圖形的幾何特徵。
註： 當 $f' (\alpha )\gt \dfrac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha}\gt f' (\beta )$, 導出必有 $\gamma $, $\alpha \lt \gamma \lt \beta$ 使 $f'(\gamma )=\dfrac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha}$, 稱為連續函數(此處是 $f'$)的介值定理 (Intermediate Value Theorem), 其內容和高中學的勘根定理是一樣的。
---本文作者為台大數學系退休教授---