在數學傳播季刊 43 卷 2 期(170), 97-100, 有一文「圓外切四邊形涉及旁切圓的一個性質」, 其中主要定理為

本文將給出一個相似的性質： $$\frac {S_1}{r_1^2} +\frac{S_3}{r_3^2} =\frac{S_2}{r_2^2} +\frac{S_4}{r_4^2} =\frac S{R^2}$$

證明： 令四邊形 $ABCD$ 的內切圓圓心 $O $, 設 $\angle EOF= \theta_1$, $\angle FOG=\theta_2$, $\angle GOH=\theta_3$, $\angle HOE=\theta_4$, 如圖(一), 則 $\angle EAF=180^\circ - \theta_1$, 可推得 $\angle IAJ=\theta_1$ 及 $\angle IO_1 J=180^\circ - \theta_1$。

同理可得 $\angle KO_1 J=180^\circ - \theta_4$, $\angle LO_3 N=180^\circ - \theta_3$, $\angle MO_3 N=180^\circ - \theta_2$。

由於 $S_1=\triangle IO_1 J$ 面積+$\triangle KO_1 J$ 面積 $-\triangle IO_1 K$ 面積, \begin{align*} S_3=&\triangle MO_3 N\,\hbox{面積}+\triangle LO_3 N\,\hbox{面積}+\triangle MO_3 L\,\hbox{面積},\\ {\hbox{所以}} \frac {S_1}{r_1^2} +\frac{S_3}{r_3^2} =&\dfrac{\dfrac 12r_1^2[\sin(180^\circ-\theta_1)+\sin(180^\circ-\theta_4)-\sin(360^\circ-\theta_1-\theta_4)]}{r_1^2}\\ &+\dfrac{\dfrac 12r_3^2[\sin(180^\circ-\theta_2)+\sin(180^\circ-\theta_3)+\sin(\theta_2+\theta_3)]}{r_3^2}\\ =&\dfrac 12[\sin \theta_1+\sin \theta_4+\sin\theta_2+\sin\theta_3+\sin (\theta_1+\theta_4)+\sin (\theta_2+\theta_3)] \end{align*} 因為 $\theta_1+\theta_4=360^\circ -(\theta_2+\theta_3)$, 所以 $\sin(\theta_1+\theta_4)+\sin(\theta_2+\theta_3 )=0$。

所以 $\dfrac {S_1}{r_1^2} +\dfrac{S_3}{r_3^2}=\dfrac 12(\sin\theta_1 +\sin \theta_2+\sin \theta_3 +\sin \theta_4)$。

同理可證得 $\dfrac {S_2}{r_2^2} +\dfrac{S_4}{r_4^2}=\dfrac 12(\sin\theta_1 +\sin \theta_2+\sin \theta_3 +\sin \theta_4)$。 \begin{align*}\hbox{另一方面,}\quad S=&\triangle EOF\,\hbox{面積}+\triangle FOG\,\hbox{面積}+\triangle GOH\,\hbox{面積}+\triangle HOE\,\hbox{面積}\hskip .7cm~\\ =&\dfrac{R^2}2(\sin\theta_1 +\sin \theta_2+\sin \theta_3 +\sin \theta_4), \end{align*} 可證得 $\dfrac S{R^2} \!=\!\dfrac 1 2(\sin\theta_1\!+\!\sin\theta_2\!+\!\sin\theta_3\!+\!\sin \theta_4)$, 合併可得 $\dfrac {S_1}{r_1^2} \!+\!\dfrac{S_3}{r_3^2} \!=\!\dfrac{S_2}{r_2^2} \!+\!\dfrac{S_4}{r_4^2} \!=\!\dfrac S{R^2}$, 得證。

特別感謝指導老師 ： 龔詩尹、楊昌宸老師。

---本文作者林士程、陳柏翔投稿時就讀彰化高中二年級---