眾所皆知, 對於任意的實數 $a,b,c,d$, 若滿足 $ad-bc\not=0$, 則二階矩陣 $A=\left[\begin{array}{ccc} a&~~&b\\ c&&d\end{array}\right]$ 具有逆矩陣 $$A^{-1}=\dfrac 1{ad-bc} \left[\begin{array}{ccc}d&~&-b\\ -c&&a\end{array}\right].$$ 我國的高中數學教材(從民國 59 年的東華本到現在 99 課綱)與大部分的線性代數教材 ^{1 1} 第一作者家中收藏了約 15 種線性代數教材, 涵蓋美、德、中、日。 , 推導的方式主要有兩種 ： (i) 直接列方程式後以 Cramer 公式求解； (ii) 使用 Gauss-Jordan 消去法進行列運算 (row operation)。 筆者認為這兩種方法都偏於代數面, 很遺憾地沒有用到二階矩陣的幾何性質。 在一次的討論中, 我們發現了一種幾何的詮釋, 充分地展現二階矩陣對應的平面線性變換特性。

對於任意向量 $x=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2 \end{array}\right]$, 矩陣 $A$ 與 $x$ 的乘積就是矩陣 $A$ 的行向量(column vector)的線性組合： $$Ax=\left[\begin{array}{ccc}a&&b\\ c&&d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1\\ x_2 \end{array}\right]=x_1 \left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+x_2 \left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right].$$ 由此可知, 一旦我們搞清楚 $A$ 對基底向量 $e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, $e_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ 的作用結果, 就可以確定 $A$ 對任意向量作用後的結果。 另外, 根據這樣的乘法定義, 很容易推導出具有伸縮效果的對角矩陣 $D$、(擬)推移(剪切)矩陣 $S$ 與旋轉矩陣 $R$。

首先假設矩陣 $A$ 的兩個行向量皆不平行。 設 $f_1\!=\!Ae_1\!=\!\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$, $f_2\!=\!Ae_2\!=\!\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$, 並且假設 $f_1,f_2$ 與正 $x$ 軸的夾角分別為 $\theta,\varphi$, 此時可知 $\cos \theta =\dfrac{a}{\|f_1 \|}$, $\sin\theta =\dfrac{c}{\|f_1 \|}$, $\cos \varphi =\dfrac{b}{\|f_2 \|}$, $\sin\varphi =\dfrac{d}{\|f_2 \|}$。 下圖演示了矩陣 $A$ 把由 $e_1,e_2$ 構成的單位正方形變為由 $f_1,f_2$ 構成的平行四邊形的過程。

我們可以將以上的形變過程想作是一連串可逆形變的複合：

設形變過程中的三個變換矩陣依序為 $D,S,R$, 矩陣具體表達式分別是 $$ D=\left[\begin{array}{cc}\|f_1\|&0\\ 0&\|f_2\| \end{array}\right],\quad S=\left[\begin{array}{ccc}~1~&&\cos(\varphi - \theta)\\ 0&&\sin(\varphi-\theta)\end{array}\right],\quad R=\left[\begin{array}{ccc}\cos\theta &&-\sin\theta\\ \sin\theta &~~&\cos\theta \end{array}\right].$$ 由圖二即得 $$A=RSD.$$ 由於 $D,S,R$ 三個矩陣顯然都可逆, 容易寫出它們的逆矩陣分別為 $$ D^{-1}\!=\!\left[\begin{array}{cc}\|f_1\|^{-1}&0\\ 0&\|f_2\|^{-1} \end{array}\right],\quad S^{-1}\!=\!\left[\begin{array}{ccc}~1~&&\dfrac{-\cos( \varphi-\theta )}{\sin(\varphi-\theta)}\\ ~0~&&\dfrac{1}{\sin(\varphi-\theta)}\end{array}\right],\quad R^{-1}\!=\!\left[\begin{array}{ccc}\cos\theta &&\sin\theta\\ -\sin\theta&~~&\cos\theta\end{array}\right].$$ 再由矩陣乘積的逆公式得到 $$A^{-1}=(RSD)^{-1}=D^{-1} S^{-1} R^{-1}.$$ 代入以上計算結果有 \begin{align*} A^{-1}=&\left[\begin{array}{cc}\|f_1\|^{-1}&0\\ 0&\|f_2\|^{-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}~1~&&\dfrac{-\cos( \varphi-\theta )}{\sin(\varphi-\theta)}\\ ~0~&&\dfrac{1}{\sin(\varphi-\theta)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos\theta &&\sin\theta\\ -\sin\theta&~~&\cos\theta\end{array}\right]\\ =&\dfrac{1}{\sin(\varphi-\theta)}\|f_1\|^{-1} \|f_2\|^{-1} \left[\begin{array}{ccc}\|f_2\| \sin\varphi &&-\|f_2\|\cos\varphi\\ -\|f_1\|\sin\theta&&\|f_1\|\cos\theta \end{array}\right]. \end{align*} 其中 $$\dfrac 1{\sin(\varphi-\theta)}\|f_1\|^{-1} \|f_2\|^{-1}=\dfrac 1{\|f_1\|\|f_2\|\sin\varphi\cos\theta -\|f_1\|\|f_2\|\sin\theta\cos\varphi},$$ 於是 $$A^{-1}=\dfrac 1{ad-bc}\left[\begin{array}{ccc} d&&-b\\ -c&~&a\end{array}\right].$$ 此外, 根據以上的幾何形變過程, 可知 $A$ 的行列式值 $ad-bc$ 就是 $\|f_1\|\|f_2\|\sin(\varphi-\theta )$, 其幾何意義即是正方形經 $A$ 變形之後的平行四邊形的面積。

以上討論是基於兩個行向量不平行的情況。 那當兩行向量平行時又如何呢？ 此時正方形會變成一條線段(被壓扁的平行四邊形), 這意味著線段無法經過前面的形變過程變回正方形, 也就是說矩陣 $A$ 是不可逆的。

致謝

本文寫作過程中, 承蒙中研院數學研究所李宣北、張清煇研究員提供意見, 第一作者的朋友連威翔先生亦提供了建議, 特此鳴謝。

---本文作者周伯欣任教於台北市私立鵬展文理補習班, 並主持「宇宙數學教室」部落格; 李依淳投稿時為台北市立景美女中, 高一學生---