1919 年數學家外森比克提出了一個著名的幾何不等式：

在 $\triangle ABC$ 中, 三邊長分別是 $a$、 $b$、 $c$, 面積記為 $S$, 則 $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt 3S.$

這個優美的不等式, 數學上稱為外森比克不等式, 曾作為 1961 年國際數學競賽題, 圍繞它有許多推廣和加強, 這裏對幾個著名的加強不等式給出一種新的代換證明。

引理： 已知 $\triangle ABC$ 各邊長為 $a$、 $b$、 $c$, 記面積為 $S$, 半周長為 $p=\dfrac 12(a+b+c)$, 記 $m=\sqrt{a(p-a)}$, $n=\sqrt{b(p-b)}$, $l=\sqrt{c(p-c)}$, 則以 $m$、 $n$、 $l$ 之長的線段可以組成三角形, 記為 $\triangle A'B'C'$, 面積記為 $\Delta$, 且 $S=2\Delta$.

證明： (1) 由於 \begin{eqnarray*} m^2+n^2&=&a(p-a)+b(p-b)\\ &=&\frac 12ab+\frac 12 ac-\frac 12 a^2+\frac 12 ab+\frac 12 bc-\frac 12b^2\\ &=&\Big(\frac 12 ac+\frac 12 bc-\frac 12 c^2\Big)+\Big(\frac 12 c^2-\frac 12 a^2+ab-\frac 12 b^2\Big)\hskip 1cm~\\ &=&\frac c2(a+b-c)+\frac 12(a+c-b)(b+c-a)\\ \hbox{又}&&\because\quad a+b\gt c,\quad a+c\gt b, \quad b+c\gt a.\\ &&\therefore\quad \dfrac 12(a+c-b)(b+c-a)\gt 0.\\ &&m^2+n^2\gt \frac c2(a+b-c)=\Big(\sqrt{c(p-c)}\Big)^2=l^2.\\ &&\because\quad m\gt 0,\ n\gt 0,\ \therefore\ (m+n)^2\gt m^2+n^2.\\ &&\therefore\ (m+n)^2\gt l^2,\quad \therefore\ m+n\gt l.\\ \hbox{同理}, &&\quad m+l\gt n,\ n+l\gt m. \end{eqnarray*} 即以 $m$、 $n$、 $l$ 之長的線段可以組成三角形。

(2) 海倫公式 (Heron's Formula)： $\triangle ABC$ 的三邊長是 $a$、 $b$、 $c$, 面積記為 $S$, 則 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, 其中 $p=\dfrac 12(a+b+c)$. (見現行人教版高中《數學》必修五)

將海倫公式整理, 得 \begin{equation} 16S^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4.\label{1} \end{equation} 在 $\triangle A'B'C'$ 中, 由海倫公式, 得： \begin{equation} 16\Delta^2=2m^2n^2+2n^2l^2+2m^2l^2-m^4-n^4-l^4.\label{2} \end{equation} 將 \eqref{2} 式通過邊長代換, 得： \begin{eqnarray*} 16\Delta^2&=&2ab(p-a)(p-b)+2bc(p-b)(p-c)+2ac(p-a)(p-c)\\ &&-a^2(p-a)^2-b^2(p-b)^2-c^2(p-c)^2. \end{eqnarray*} 將上式右端展開, 整理得： \begin{eqnarray} 16\Delta^2&=&\frac 12a^2b^2+\frac 12b^2c^2+\frac 12a^2c^2-\frac 14 a^4-\frac 14b^4-\frac 14c^4,\nonumber\\ {\hbox{即}} 64\Delta^2&=&2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4.\label{3} \end{eqnarray} 比較 \eqref{1}、 \eqref{3} 兩式, 得 $S=2\Delta$.

下面利用上述代換證明幾個著名幾何不等式

例1： (費--哈不等式) 設 $\triangle ABC$ 的三邊長為 $a$、 $b$、 $c$, 面積記為 $S$, 則 $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt 3S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$, 當且僅當 $\triangle ABC$為正三角形時, 等號成立。

證明： 在 $\triangle ABC$ 中, 由外森比克不等式, 得 $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt 3S$.

同樣, 在 $\triangle A'B,C'$ 中, 滿足 \begin{equation} m^2+n^2+l^2\ge 4\sqrt 3 \Delta.\label{4} \end{equation}

將不等式 \eqref{4} 根據引理代換, 得 $a(p-a)+b(p-b)+c(p-c)=2\sqrt 3 S$,

整理, 得 $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt 3S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$,

這就是外森比克不等式的一種加強即費--哈不等式。

例2： (費--哈不等式的一種加強) 設 $\triangle ABC$ 的三邊長為 $a$、 $b$、 $c$, 面積記為 $S$, 則 $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt 3S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+2R$ $(R\ge 0$), 當且僅當 $\triangle ABC$ 為正三角形時, 等號成立。

證明： 在 $\triangle ABC$ 中, 費--哈不等式為 $$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt 3S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.$$ 同樣, $\triangle A'B'C'$ 中, 滿足 \begin{equation} m^2+n^2+l^2\ge 4\sqrt 3 \Delta+(m-n)^2+(n-l)^2+(l-m)^2.\label{5} \end{equation} 將不等式 \eqref{5} 根據引理代換並整理, 得 \begin{equation} a(p-a)+b(p-b)+c(p-c)=2\sqrt 3 S+R.\label{6} \end{equation} 其中 $$R\!=\!\Big(\sqrt{a(p\!-\!a)}\!-\!\sqrt{b(p\!-\!b)}\Big)^2\!+\!\Big(\sqrt{b(p\!-\!b)}\!-\!\sqrt{c(p\!-\!c)}\Big)^2\!+\!\Big(\sqrt{c(p\!-\!c)}\!-\!\sqrt{a(p\!-\!a)}\Big)^2\!\!.$$ 將不等式 \eqref{6} 左端展開並整理, 得 \begin{eqnarray} &&2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2\ge 4\sqrt 3 S+2R\nonumber\\ \therefore&& -a^2-b^2-c^2\ge 4\sqrt 3 S-2ab-2bc-2ca+2R,\label{7} \end{eqnarray}

將不等式 \eqref{7} 兩邊加上 $2a^2+2b^2+2c^2$, 再配方得 \begin{equation} a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt 3S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+2R.\label{8} \end{equation}

當 $\triangle ABC$ 為正三角形時, $2R=0$, 不等式 \eqref{8} 取等號。

我們將不等式 \eqref{8} 看作費--哈不等式的一種加強。

例3： (Tsintsifas不等式) 設 $\triangle ABC$ 的三邊長為 $a$、 $b$、 $c$, 面積記為 $S$, 則 $ab+bc+ca\ge 4\sqrt 3S$. 當且僅當 $\triangle ABC$ 為正三角形時取等號。

證明： 在 $\triangle A'B'C'$ 中, 由外森比克不等式, 得 \begin{eqnarray} &&\qquad m^2+n^2+l^2\ge 4\sqrt 3 \Delta.\label{8a}\\ {\hbox{由於}} m^2+n^2+l^2&=&a(p-a)+b(p-b)+c(p-c)\nonumber\\ &=&ab+bc+ca-\frac 12(a^2+b^2+c^2).\nonumber\\ {\hbox{將不等式 \eqref{8a} 利用引理代換, 得}} &&ab+bc+ca-\dfrac 12(a^2+b^2+c^2)\ge 4\sqrt 3\times \dfrac S2=2\sqrt 3S.\nonumber\\ {\hbox{即}} &&2ab+2bc+2ca-(a^2+b^2+c^2)\ge 4\sqrt 3S.\label{9}\\ {\hbox{在 $\triangle ABC$ 中,}} &&a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt 3S.\label{10} \end{eqnarray}

\eqref{9}、 \eqref{10} 兩式相加, 得 $2ab+2bc+2ca\ge 8\sqrt 3S$.

所以 $ab+bc+ca\ge 4\sqrt 3S$.

數學上, 稱 Tsintsifas 不等式是外森比克不等式的另一種加強。

數學是鍛鍊思維的體操, 對同一問題採取不同角度、 不同方式進行探究, 可以開闊人的思路, 促進創新思維的發展。

---本文作者任教中國四川省巴中市巴州區大和初中---