一、前言

在數學傳播 42 卷 1 期「一道面積比公式的另證」(參考資料 ) 一文中, 作者另行處理了參考資料 (題目原始出處)中的一道例題 :

「設 $H$ 為銳角 $\triangle ABC$ 的垂心, 且 $\triangle ABH:\triangle BCH:\triangle CAH=1:2:3$, 求 $\triangle ABC$ 三邊長的比例值, 即 $a:b:c=?$」 (為描述方便, 在以下的文章中, 將此例題稱為「垂心面積比 123 問題」)

拜讀文 和文 兩篇大作, 就筆者的理解, 其共通之處, 大致上是先根據同底比高的原理, 將面積比轉化為邊長比, 再運用畢氏定理, 解出邊長之間的比例關係。 差異在於, 文 先建立了一般性的公式 :

「設 $H$ 為銳角 $\triangle ABC$ 的垂心, 則 $\triangle ABH:\triangle BCH:\triangle CAH$ $=(c^4-a^4+2a^2b^2-b^4):(a^4-b^4+2b^2c^2-c^4):(b^4-c^4+2c^2a^2-a^4)$ 」 (為描述方便, 在以下的文章中, 將此公式稱為「垂心面積比的邊長公式」)

再將 「垂心面積比 123 問題」, 作為一個主要的應用。 而文 是從具體問題出發, 解完之後再一般化, 重新得到垂心面積比公式。 兩篇文章看似路徑不盡相同, 各有巧妙高明之處, 但在筆者眼中, 似有共通的本質與脈絡。

在接下來的文章中, 筆者將先建立「三角形面積的 A.S.A.公式」, 即 $\triangle ABC=$ $\dfrac 12\cdot \dfrac{a^2}{\cot B+\cot C}\, \hbox{。}$ 接著運用此公式, 再解一次原來的例題, 解完之後, 將之一般化, 得到「垂心面積比的邊長逆向公式」 :

「設 $H$ 為銳角 $\triangle ABC$ 的垂心, 且 $\triangle BCH:\triangle CAH:\triangle ABH=p:q:r$, 則 $a:b:c=\sqrt{p(q+r)}: \sqrt{q(r+p)}:\sqrt{r(p+q)}$」,

此公式可從面積比直接逆推出邊長比, 是原問題的一般情形之下的答案。

二、本文

(一) 三角形的 A.S.A.面積公式 : $\triangle ABC=\dfrac 12\cdot \dfrac{a^2}{\cot B+\cot C}$

首先, 先建立「三角形的高的 cot 公式」 :

在 $\triangle ABC$ 中, 令 $A$ 在邊 $BC$ 上的高為 $h_a$, 則 $h_a= \dfrac{a}{\cot B+\cot C}$。

證明 : 令 $A$ 在邊 $BC$ 上的垂足為 $D$, 則 $h_a=\overline{AD}$。

不失一般性, 可設 $\angle B\ge\angle C$, 再就 $\angle B$ 分別為銳角、 直角與鈍角的三種情形進行討論 :

(1) $\angle B$ 為銳角 :

此時 $a=\overline{BC}=\overline{BD}+\overline{CD}=h_a\cdot \cot B+h_a\cdot \cot C$, 可得 $h_a=\dfrac{a}{\cot B+\cot C}$。 (圖(一))

(2) $\angle B$ 為直角 :

此時 $D=B$, $\cot B=\cot 90^\circ=0$, 且 $a=\overline{BC}=\overline{DC}=h_a\cdot \cot C$, 可得 $$h_a=\frac a{\cot C}=\frac{a}{\cot B+\cot C}\ \hbox{。}\qquad \hbox{(圖(二))}$$

(3) $\angle B$ 為鈍角 :

此時 $a\!=\!\overline{BC}\!=\!\overline{CD}\!-\!\overline{BD}\!=\!h_a\cdot \cot C\!-\!h_a\cdot \!\cot\! \angle ABD\!=\!h_a\!\cdot\!\cot C\!-\!h_a\cdot(-\cot\angle ABC)$ $=h_a\cdot \cot C+h_a\cdot \cot \angle ABC=h_a\cdot \cot C+h_a\cdot \cot B$, 可得 $$h_a=\frac{a}{\cot B+\cot C}\ \hbox{。}\qquad \hbox{(圖(三))}$$

接著, 即得 $\triangle ABC=\dfrac 12a\cdot h_a=\dfrac 12\cdot\dfrac{a^2}{\cot B+\cot C}$ 。

註1 : 此公式不限於銳角三角形, 對於直角三角形與鈍角三角形皆適用。

註2 : $h_a=\dfrac{a}{\cot B+\cot C}$ 此一公式, 出現在高中數學的「三角測量」中, 可將空中的高度轉化為地面上的長度。

註3 : $h_a=\dfrac{a}{\cot B+\cot C}$ 也可寫成等價的 $h_a=a\cdot \dfrac{\tan B\cdot \tan C}{\tan B+ \tan C}$ , 但須注意直角三角形時不適用。

註4 : $\triangle ABC=\dfrac 12\cdot\dfrac{a^2}{\cot B+\cot C}$ 此一公式的使用時機, 主要是已知條件為「兩角夾一邊」(即所謂的A.S.A.)時。觀察此公式的分子與分母, 正好也呈現「兩角夾一邊」的型態, 妙哉！

(二) 再解「垂心面積比 123 問題」 :

題目 : 設 $H$ 為銳角 $\triangle ABC$ 的垂心, 且 $\triangle ABH:\triangle BCH:\triangle CAH=1:2:3$, 求 $\triangle ABC$ 三邊長的比例值, 即 $a:b:c=?$ (,)

解 : 令 $\angle HBC=\beta$, $\angle HCB=\gamma$, 由「三角形的 A.S.A.面積公式」, 得 \begin{eqnarray*} \triangle BCH&=& \dfrac 12\cdot\dfrac{a^2}{\cot \beta+\cot \gamma}= \dfrac 12\cdot\dfrac{a^2}{\tan C+\tan B}\quad \hbox{與}\quad \triangle BCA= \dfrac 12\cdot\dfrac{a^2}{\cot B+\cot C}\\ &&\hskip -1cm \Rightarrow \frac 2{1+2+3}=\frac{\triangle BCH}{\triangle BCA}=\dfrac{\dfrac{1}{\tan C+\tan B}}{\dfrac 1{\cot B+\cot C}} =\dfrac{\dfrac{1}{\tan B+\tan C}}{\dfrac {\tan B\cdot\tan C}{\tan B+\tan C}}, \end{eqnarray*}

即 $\dfrac 13=\dfrac 1{\tan B\cdot\tan C}$, 於是可得 $\tan B\cdot\tan C=3$。

同理, 有 \begin{eqnarray*} \frac 3{1+2+3}&=&\frac{\triangle ACH}{\triangle ACB}=\frac1{\tan A\cdot\tan C},\ \hbox{可得}\ \tan A\cdot \tan C=2\\ {\hbox{以及}} \frac 1{1+2+3}&=&\frac{\triangle ABH}{\triangle ABC}=\frac1{\tan A\cdot\tan B},\ \hbox{可得}\ \tan A\cdot \tan B=6 \end{eqnarray*} 接著, 有 \begin{eqnarray*} (\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C)^2\!&=&\!(\tan B\cdot \tan C)\cdot (\tan A\cdot \tan C)\cdot(\tan A\cdot \tan B)\!=\!3\cdot 2\cdot 6\!=\!36\\ &&\hskip -4cm \Rightarrow \tan A\cdot\tan B\cdot \tan C=6\qquad (\because\ \triangle ABC\ \hbox{為銳角三角形})\hbox{。} \end{eqnarray*} 所以有 $\tan A=2$, $\tan B=3$ 與 $\tan C=1$

再來, \begin{eqnarray*} \hbox{由}\ 1:2:3&=&\triangle ABH:\triangle BCH:\triangle CAH\\ &=&\frac 12\cdot \frac{c^2}{\tan A+\tan B}:\frac 12\cdot \frac{a^2}{\tan B+\tan C}:\frac 12\cdot \frac{b^2}{\tan A+\tan C}\\ &=&\Big(\frac 12\cdot \frac{c^2}{2+3}\Big):\Big(\frac 12\cdot \frac{a^2}{3+1}\Big):\Big(\frac 12\cdot \frac{b^2}{2+1}\Big)=\frac{c^2}{5}:\frac{a^2}4:\frac{b^2}{3}, \end{eqnarray*} 即得 $a^2:b^2:c^2=8:9:5$, 所以可得 $a:b:c=\sqrt 8:3:\sqrt 5$, 再一次求得三邊長的比。

(三) 解題之後

注意到在上述的解題過程中, 可看到 $$\tan A:\tan B:\tan C\!=\!2:3:1\!=\!\triangle BCH:\triangle CAH:\triangle ABH, \ \hbox{這是個巧合嗎？}$$

這個問題, 可以用以下的事實來回答 :

定理 : 設 $H$ 為銳角 $\triangle ABC$ 的垂心, 則 $\triangle BCH\!:\!\triangle CAH\!:\!\triangle ABH\!=\!\tan A\!:\!\tan B\!:\!\tan C$。

證明 : 令 $A,B,C$ 在邊 $BC,CA,AB$ 上的垂足分別為 $D,E,F$, 則有 \begin{eqnarray*} \triangle BCH:\triangle CAH&=&\Big(\frac 12\overline{CH}\cdot \overline{BF}\Big):\Big(\frac 12\overline{CH}\cdot \overline{AF}\Big)=\overline{BF}:\overline{AF}\\ &=&(\overline{CF}\cdot \cot B):(\overline{CF}\cdot\cot A)=\tan A:\tan B. \end{eqnarray*} 同理, 有 $\triangle CAH:\triangle ABH=\tan B:\tan C$, 所以有 $\triangle BCH:\triangle CAH:\triangle ABH=\tan A:\tan B:\tan C$。

註 : 亦即「銳角 $\triangle ABC$ 被垂心所分成三個三角形的面積比, 恰等於相對應三內角正切值的比」, 不妨將此一事實, 稱為「垂心面積比的正切定理」。

有了以上的事實, 再回頭將原問題一般化 :

定理 : 設 $H$ 為銳角 $\triangle ABC$ 的垂心, 且 $\triangle BCH:\triangle CAH:\triangle ABH=p:q:r$, 則 $a:b:c=\sqrt{p(q+r)}:\sqrt{q(r+p)}:\sqrt{r(p+q)}$。

證明 : 先由「垂心面積比的正切定理」, 有 $$\tan A:\tan B:\tan C=\triangle BCH:\triangle CAH:\triangle ABH=p:q:r,$$ 由此可令 $\tan A=pk$, $\tan B=qk$, $\tan C=rk$, 再由「三角形面積的 A.S.A.公式」, 有 \begin{eqnarray*} &&\hskip -20pt \triangle BCH:\triangle CAH:\triangle ABH\\ &=&\frac 12\cdot \frac{a^2}{\cot HCB+\cot HBC}:\frac 12\cdot \frac{b^2}{\cot HAC+\cot HCA}:\frac 12\cdot \frac{c^2}{\cot HAB+\cot HBA}\\ &=&\frac{a^2}{\tan B+\tan C}:\frac{b^2}{\tan C+\tan A}:\frac{c^2}{\tan A+\tan B}\\ &=&\frac{a^2}{qk+rk}:\frac{b^2}{rk+pk}:\frac{c^2}{pk+qk}\\ &=&\frac{a^2}{q+r}:\frac{b^2}{r+p}:\frac{c^2}{p+q}. \end{eqnarray*} 至此, 可得 $p:q:r= \triangle BCH:\triangle CAH:\triangle ABH=\dfrac{a^2}{q+r}:\dfrac{b^2}{r+p}:\dfrac{c^2}{p+q}$, 所以可得 $a:b:c=\sqrt{p(q+r)}:\sqrt{q(r+p)}:\sqrt{r(p+q)}$。

註1 : 此定理將三邊長的比用垂心所分成的三個三角形的面積比表示, 故將之稱為「垂心面積比的邊長逆向公式」。

註2 : 再回到「垂心面積比123問題」, 其中 $p:q:r= \triangle BCH:\triangle CAH:\triangle ABH=2:3:1$, 由以上的「垂心面積比的邊長逆向公式」, 可得 \begin{eqnarray*} a:b:c&=&\sqrt{p(q+r)}:\sqrt{q(r+p)}:\sqrt{r(p+q)}\\ &=&\sqrt{2\cdot (3+1)}:\sqrt{3\cdot (1+2)}:\sqrt{1\cdot (2+3)}=\sqrt{8}:3:\sqrt{5} \end{eqnarray*} 再一次印證了原問題的答案。

(四) 邊與角

注意到 \begin{eqnarray*} &&\hskip -10pt \tan A:\tan B:\tan C=\frac{\sin A}{\cos A}:\frac{\sin B}{\cos B}:\frac{\sin C}{\cos C}\\ &=&\dfrac{\dfrac a{2R}}{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}:\dfrac{\dfrac b{2R}}{\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}:\dfrac{\dfrac c{2R}}{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}\\ &&\hbox{(由正弦與餘弦定理, 其中 $R$ 為 $\triangle ABC$ 的外接圓半徑)}\\ &=&\frac 1{b^2+c^2-a^2}:\frac 1{c^2+a^2-b^2}:\frac 1{a^2+b^2-c^2}\\ &=&({c^2\!+\!a^2\!-\!b^2})({a^2\!+\!b^2\!-\!c^2}):({b^2\!+\!c^2\!-\!a^2})({a^2\!+\!b^2\!-\!c^2}):({b^2\!+\!c^2\!-\!a^2})({c^2\!+\!a^2\!-\!b^2})\\ &=&[(a^2)^2-(b^2-c^2)^2]:[(b^2)^2-(a^2-c^2)^2]:[(c^2)^2-(a^2-b^2)^2]\\ &=&(a^4-b^4+2b^2c^2-c^4):(b^4-c^4+2c^2a^2-a^4):(c^4-a^4+2a^2b^2-b^4) \end{eqnarray*} 以上的算式, 說明了「垂心面積比的邊長公式」與「垂心面積比的正切定理」是互相等價的。

三、結語

相對於文 與文 , 本文可說以「角」為主, 整體上使用了較多的三角函數。 在高中三角函數的教學中, 主要的三角形面積公式有 $\triangle ABC=\dfrac 12 bc\sin A$ 與「海龍公式 : $\triangle ABC= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, 其中 $s=\dfrac 12(a+b+c)$」此兩公式, 分別可視為「三角形面積的 S.A.S 公式與 S.S.S.公式」, 而本文所用到的 $\triangle ABC=\dfrac 12 \cdot\dfrac{a^2}{\cot B+\cot C}$, 可視為「三角形面積的 A.S.A.公式」, 補上了一塊拼圖, 在處理已知角較多的幾何或三角問題時, 增加了一個可考慮的方向。

參考資料

---本文作者任教台北市立第一女子高級中學---