一、前言

在數學傳播 30 卷 2 期「換個觀點看三角形的四心」一文中 (見), 作者證明了底下的面積比公式:

公式1: 設 $H$ 為銳角 $\triangle ABC$ 的垂心, 則 \begin{eqnarray*} &&\hskip -25pt\triangle ABH : \triangle BCH :\triangle CAH\\ &=&(c^4-a^4+2a^2b^2-b^4):(a^4-b^4+2b^2c^2-c^4):(b^4-c^4+2c^2a^2-a^4) \end{eqnarray*} 隨後, 作者並利用公式 1 計算了三個例題。

但筆者發現, 作者使用公式 1 計算其中第三個例題時, 解題的過程較長些, 這促使筆者想找出是否有另外的方法來處理該例題。 經過一番嘗試之後, 筆者也以另外一個方法得到相同的解。

此外, 筆者也透過與求解該例題同樣的手法證明了公式 1。 以下, 筆者將分享自己的解題與證明過程, 希望可做為 文的補充與對照。

二、例題的另解

在 中, 作者使用公式 1 所解的第三個例題如下:

例: 設 $H$ 為銳角 $\triangle ABC$ 的垂心, 且 $\triangle ABH: \triangle BCH: \triangle CAH=1:2:3$, 求 $\triangle ABC$ 三邊長的比例值, 即 $a:b:c=$ ?

解: 請參考下圖

在上圖中, 因為垂心 $H$ 是三高的交會點, 我們可以將圖 1 中的三高還原如下圖 :

注意圖 2 中 $\triangle ABH$ 與 $\triangle ACH$ 共用底邊 $\overline{AH}$, 因此可得底下的面積關係 (面積比$=$高的比): $$\triangle ABH:\triangle ACH=\overline{BD}:\overline{CD}$$ 因此 $$\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}=\frac{\triangle ABH}{\triangle ACH}=\frac 13$$ 同理可知 $$\frac{\overline{AF}}{\overline{BF}}=\frac 32,\quad \frac{\overline{CE}}{\overline{AE}}=\frac 21$$ 因此可令 $$\overline{BD}=s,\quad\overline{CD}=3s,\quad\overline{AF}=3u,\quad\overline{BF}=2u,\quad\overline{CE}=2t,\quad\overline{AE}=t$$ 則 $\overline{AB}=5u$, $\overline{BC}=4s$, $\overline{CA}=3t$。 由圖 2 知 \begin{eqnarray} &&\hskip -20pt \overline{AD}^2=\overline{AB}^2-\overline{BD}^2=\overline{AC}^2-\overline{CD}^2\nonumber\\ &\Rightarrow&25u^2-s^2=9t^2-9s^2\nonumber\\ &\Rightarrow&8s^2-9t^2+25u^2=0\label{1} \\ {\hbox{此外由圖 2 也有}} &&\hskip -20pt \overline{BE}^2=\overline{AB}^2-\overline{AE}^2=\overline{BC}^2-\overline{CE}^2\nonumber\\ &\Rightarrow&25u^2-t^2=16s^2-4t^2\nonumber\\ &\Rightarrow&16s^2-3t^2-25u^2=0\label{2} \end{eqnarray} 由 \eqref{1}, \eqref{2} 可解得 \begin{eqnarray*} &&\hskip -25pt s^2:t^2:u^2=5:10:2\nonumber\\ &\Rightarrow&s:t:u=\sqrt 5:\sqrt{10}:\sqrt 2\nonumber\\ &\Rightarrow&\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CA}=5u:4s:3t=5\sqrt 2:4\sqrt 5:3\sqrt {10}=\sqrt 5:\sqrt{8}:3 \end{eqnarray*} 或者寫成 $a:b:c=\sqrt 8:3:\sqrt 5$, 這與 中第三個例題的解答相同。

三、公式的另證

本節中, 筆者將以第二節例題的解題手法來證明公式 1, 證明如下:

證明: 請先參考下圖

我們先假設 $$\triangle ABH : \triangle BCH :\triangle CAH=p:q:r$$ 依照與第二節例題相同的原理, 可知 $\overline{BD}:\overline{CD}=p:r$, 因此可令 \begin{eqnarray*} \overline{BD}=\frac{p}{p+r}\overline{BC}=\frac{pa}{p+r}\\ \overline{CD}=\frac{r}{p+r}\overline{BC}=\frac{ra}{p+r} \end{eqnarray*} 同理也可得 $$\overline{AF}=\frac{rc}{q+r},\quad\overline{BF}=\frac{qc}{q+r},\quad\overline{CE}=\frac{qb}{p+q},\quad\overline{AE}=\frac{pb}{p+q}$$ 由圖 3 可知 \begin{eqnarray} &&\hskip -25pt \overline{AD}^2=\overline{AB}^2-\overline{BD}^2=\overline{AC}^2-\overline{CD}^2\nonumber\\ &\Rightarrow&c^2-\Big(\frac{pa}{p+r}\Big)^2=b^2-\Big(\frac{ra}{p+r}\Big)^2\nonumber\\ &\Rightarrow&c^2-a^2\Big(1-\frac{r}{p+r}\Big)^2=b^2-a^2\Big(\frac{r}{p+r}\Big)^2\nonumber\\ &\Rightarrow&c^2-a^2\Big(1-\frac{2r}{p+r}\Big)=b^2\nonumber\\ &\Rightarrow&c^2-a^2\Big(\frac{p-r}{p+r}\Big)=b^2\nonumber\\ &\Rightarrow&\frac{p-r}{p+r}=\frac{c^2-b^2}{a^2}\label{3} \end{eqnarray} 若 $b\not=c$, 由 \eqref{3} 我們可令 $p-r=(c^2-b^2)d$, $p+r=a^2d$, 其中 $d\not=0$, 因此 \begin{eqnarray} p:r&=&2p:2r=[(p+r)+(p-r)]:[(p+r)-(p-r)]\nonumber\\ &=&[(c^2+a^2-b^2)d]:[(a^2+b^2-c^2)d]\nonumber\\ &=&(c^2+a^2-b^2):(a^2+b^2-c^2)\label{4} \end{eqnarray} 若 $b=c$, 由 \eqref{3} 可知 $p=r$, 因此有 $$p:r=1:1=a^2:a^2=(c^2+a^2-b^2):(a^2+b^2-c^2)$$ 此時 $p:r$ 同樣符合 \eqref{4} 式。

由圖 3 同理可知 \begin{eqnarray} &&\hskip -25pt \overline{CF}^2=\overline{AC}^2-\overline{AF}^2=\overline{BC}^2-\overline{BF}^2\nonumber\\ &\Rightarrow&\frac{r-q}{r+q}=\frac{b^2-a^2}{c^2}\nonumber\\ &\Rightarrow&q:r=(c^2+a^2-b^2):(b^2+c^2-a^2)\label{5} \end{eqnarray} 將 \eqref{4}, \eqref{5} 兩式分別改寫為 \begin{eqnarray} p:r&=&(c^2+a^2-b^2)(b^2+c^2-a^2):(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)\label{6}\\ q:r&=&(a^2+b^2-c^2)(c^2+a^2-b^2):(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)\label{7} \end{eqnarray} 將上兩式合起來看, 就有 $$p:q:r=[c^4-(a^2-b^2)^2]:[a^4-(b^2-c^2)^2]:[b^4-(c^2-a^2)^2]$$ 這樣就得到了公式 1 中的面積比, 即 \begin{eqnarray} &&\hskip -25pt \triangle ABH : \triangle BCH :\triangle CAH\nonumber\\ &=&(c^4-a^4+2a^2b^2-b^4):(a^4-b^4+2b^2c^2-c^4):(b^4-c^4+2c^2a^2-a^4).\label{8} \end{eqnarray}

四、結語

重新看一次公式1的結論, 即 \eqref{8} 式, 我們可能會覺得奇怪的地方是, $\triangle ABH$、 $\triangle BCH$、 $\triangle CAH$ 三塊面積的因次是「長度的平方」, 但為何在 \eqref{8} 的右式出現的三項, 都是「長度的 4 次方」呢？ 其實, 這是因為我們分別對 \eqref{4}, \eqref{5} 進行擴分而得 \eqref{6}, \eqref{7} 兩式時, 把 \eqref{4}, \eqref{5} 這兩個 (因次) 原為長度平方的比改寫成了長度 4 次方比的緣故。 想進一步了解因次概念的讀者, 不妨參考 。

最後值得一提的是, 在第二節例題的解題過程中, 因為沒有用上公式 1, 對於較不偏好套用公式的讀者而言, 或許不失為一較直接的解法。

參考文獻

本文作者投稿時任職於麥當勞竹南民權中心---