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一、引言
著名的美國數學家李學數教授在《數學與數學家的故事》一書中
二、有趣的平方數
在《數學與數學家的故事》第 5 冊的第 14 頁至 16 頁「奇妙的平方數」一文中, 介紹了兩個有趣的平方數問題。
問題(1)：
$1233=12^2+33^2$
$8833=88^2+33^2$
問題(2)：
$956^2=913\ 936 913+936=1849=(43)^2$
$957^2=915\ 849 915+849=1764=(42)^2$
$\vdots$ $\vdots$
可以一直續算到 968,
$968^2=937\ 024 937+024=961=(31)^2$
從 956, 957, $\ldots$, 968 共有 13 組連續數的解。
這是不是很奇妙？
以上結果是一個印度年輕人發現的, 你能找到類似的例子嗎？
對於上述兩個問題, 筆者得到如下結果：
對於問題(1), 不妨設 $H=A^2+B^2$ 的和, 設兩個不相同的 $A$ 分別為 $A1$ 與 $A2$, 由於兩組的 $B$ 相同, 統稱為 $B$。 $B$ 的位數為 $K$。
由表 1 可知： $A2=10^K-A1$。 也就是說, 知道一個 $A1$, 就可以計算出 $A2$, 從而得到兩組平方數, 一根藤上兩個瓜。
我們約定: 由
$A1^2+B^2=H1$ 組成的平方數組, 稱為「本原解數組」簡稱「本原解」,
$A2^2+B^2=H2$ 組成的平方數組, 稱為「對偶解數組」簡稱「對偶解」。
平方數組的這一性質與卡布列克(KABULEK)數組的對偶解相同, 可說有「同工異曲之妙」
問題(1)得到的結果見表 1：
| $H=A^2+B^2$ | $A$ | $B$ 為 2 位數 | 表 1 |
| 1233 ($H1$) | 12 ($A1$) | 33 | 本原解 |
| 8833 ($H2$) | 88 ($A2$) | 33 | 對偶解的 $B$ 相同 |
| $B$ 為 3 位數 | |||
| 10100 | 10 ($A1$) | 100 | 同 $B$ 者為對偶解 |
| 990100 | 990 ($A2$) | 100 | 以下不再注明 |
| $B$ 為 4 位數 | |||
| 588,2353 | 588 | 2353 | |
| 9412,2353 | 9412 | 2353 | |
| $B$ 為 5 位數 | |||
| 990,09901 | 990 | 09901 | |
| 99010,09901 | 99010 | 09901 | |
| 17650,38125 | 17650 | 38125 | |
| 82350,38125 | 82350 | 38125 | |
| 25840,43776 | 25840 | 43776 | |
| 74160,43776 | 74160 | 43776 | |
| $B$ 為 6 位數 | |||
| 116788,321168 | 116788 | 321168 | |
| 883212,321168 | 883212 | 321168 | |
| 123288,328768 | 123288 | 328768 | |
| 876712,328768 | 876712 | 328768 |
對於問題(2), 分別設 $X$、$A$、$B$ 為互不相同的自然數, $Q$ 為 $(A+B)$ 之和的平方根, 他們之間的關係如表 2 所示。
奇妙的特性：
- $X$ 為連續數公差為 1 遞增, 上升。
- $A$ 是 $X^2$ 的前(左)半部分, $B$ 是 $X^2$ 的後(右)半部分。 $A$ 的元素全部是奇數, 且公差為 2 遞增。
- $A+B$ 之和全是平方數。
- $Q$ 為連續數公差為 1 依次遞減, 下降。
- $Q+X$ 之和全部為 ``9", 其``9" 的位數與 $X$ 的位數相同, 「恒 9(久)」。
當 $X$ 為 9 位數時, 可以得到 13099 組連續解。 能否得到更多的連續解呢？ 回答是肯定的, 只要你有時間。 當然, 你可以命令電腦輕鬆完成！
結果見表 2.
| $X$ 為 2 位數 | ||||||
| $X$ | $X^2$ | $A$ | $B$ | $A+B$ | $Q$ | $X+Q$ |
| 86 | 7396 | 73 | 96 | 169 | 13 | 99 |
| 87 | 7569 | 75 | 69 | 144 | 12 | 99 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
| 90 | 8100 | 81 | 00 | 81 | 9 | 5組連續解 |
| $X$ 為 3 位數 | ||||||
| 956 | 913936 | 913 | 936 | 1849 | 43 | 999 |
| 957 | 915849 | 915 | 849 | 1764 | 42 | 999 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
| 968 | 937024 | 937 | 024 | 961 | 31 | 13組連續解 |
| $X$ 為 4 位數 | ||||||
| 9859 | 97199881 | 9719 | 9881 | 19600 | 140 | 9999 |
| 9860 | 97219600 | 9721 | 9600 | 19321 | 139 | 9999 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
| 9900 | 98010000 | 9801 | 0000 | 9801 | 99 | 42組連續解 |
| $X$ 為 5 位數 | ||||||
| 99553 | 9910799809 | 99107 | 99809 | 198916 | 446 | 99999 |
| 99554 | 9910998916 | 99109 | 98916 | 198025 | 445 | 99999 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
| 99683 | 9936700489 | 99367 | 00489 | 99856 | 316 | 131組連續解 |
| $X$ 為 6 位數 | ||||||
| 998586 | 997173,999396 | 997173 | 999396 | 1996569 | 1413 | 999999 |
| 998587 | 997175,996569 | 997175 | 996569 | 1993744 | 1412 | 999999 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
| 999000 | 998001,000000 | 998001 | 000000 | 998001 | 999 | 415組連續解 |
| $X$ 為 7 位數 | ||||||
| 9995528 | 9991057,9998784 | 9991057 | 9998784 | 19989841 | 4471 | 9999999 |
| 9995529 | 9991059,9989841 | 9991059 | 9989841 | 19980900 | 4470 | 9999999 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
| 9996837 | 9993675,0004569 | 9993675 | 0004569 | 9998244 | 3162 | 1310組連續解 |
| $X$ 為 8 位數 | ||||||
| 99985858 | 99971717,99996164 | 99971717 | 99996164 | 199967881 | 14141 | 99999999 |
| 99985859 | 99971719,99967881 | 99971719 | 99967881 | 199,939,600 | 14140 | 99999999 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
| 99990000 | 99980001,00000000 | 99980001 | 00000000 | 99980001 | 9999 | 4143組連續解 |
| $X$ 為 9 位數 | ||||||
| 999955279 | 999910559,999967841 | 999910559 | 999967841 | 1999878400 | 44720 | 999999999 |
| 999955280 | 999910561,999878400 | 999910561 | 999878400 | 1999788,961 | 44719 | 999999999 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
| 999968377 | 999936755,000014129 | 999936755 | 000014129 | 999950884 | 31,622 | 13099組連續解 |
三、奇妙的四季數
四季數的發現
蘇東坡曰：「舊書不厭百回讀, 熟讀深思子自知。」
在探討平方數的時候, 幻方的影子時常在腦子裡遊蕩, 每當遇到難題或有空隙時間, 總喜歡查看河圖、 洛書, 在河圖與洛書的構造上來尋找答案, 這是多年之「癖」。也許是老祖宗偏袒的緣故, 只要專心看幾次, 一般會有收穫。 看「洛書」(圖1)已不知多少次了 ！
突然間, 看到四角全部是偶數的洛書圖, 突發靈感, 發現:
$2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$ (把洛書中的 1 與 6, 看作 16)
$2^{16}=4^8=16^4$, $\ldots$,
於是, 產生了「冪次和」傳遞循環的思想： 設 $A,B,C,D$ 為互不相同的正整數。 若 \begin{equation} A^B=B^C=C^D=D^A (ABCD) \label{1} \end{equation} 則稱 $A^B$ 或 $B^C$ 或 $C^D$ 或 $D^A(ABCD)$ 為「四季數」。
「四季數」的最小解是 65536。
當 $A=2$, $B=16$, $C=4$, $D=8$ 時 \eqref{1} 式成立。
即： $2^{16}=16^4=4^8=8^2\times (2\times 16\times 4\times 8)=65536$
在上式中, 把 $A$、$B$、$C$、$D$ 四個數巧妙的傳遞並連接起來, 每個數都使用三次, 不偏不倚, 奇妙無比。
「四季數」的命名是根據《莊子》「知北遊」：「天地有大美而不言, 四時有明法而不議, $\ldots\ldots$, 」衍生而來。 四季循環, 生生不息。並且洛書的發源地 --- 黃河流域, 是四季最明顯的地區。
「四季數」是從我國的三階幻方(圖1)裡得到的。 三階幻方不僅僅是行、 列及對角線上 3 個數之和等於 15, 還有很多鮮為人知神奇奧妙的性質, 待另敘。
古人把構造三階幻方的方法概括為「戴九履一, 左三右七, 二四為肩, 六八為足, 五居其中。」
為什麼稱「二四為肩, 六八為足」呢？ 這是一般人認為特別膚淺與可笑的問題。 也難怪呀, 老子曰： 「上士聞道, 勤而行之; 中士聞道, 若存若亡; 下士聞道大笑, 不笑, 不足以為道。」 一個新思想、新事物的出現總會有人懷疑或恥笑, 以不屑的眼光看待之。
為什麼「二四為肩」呢？筆者認為：所謂「肩」, 就是要兩肩平衡、平等, 故而產生了「比肩」一詞。 那麼, 它與本文的數字有什麼關係呢？君請看： $$2^4 = 4^2.$$
這是唯一一對, 底數與指數可以互換, 且其冪和相等的兩個數。 經過左肩與右肩的相互作用, $2^4$ 與 $4^2$ 可以劃等號, 就能理解「二四為肩」的意義了。
為什麼「六八為足」呢？
這要從「九」談起, 古人視「九」為最大、最神聖的數字, 故洛書有「戴九履一」, 「九」居其上。 下面的六、一、八之意義在於： $$9^3 = 8^3+1^3+6^3.$$
也就是說, $9^3$ 囊括了 $6^3+1^3+8^3$ 的總和, 故 9 在上, 為首。 8、 1、 6 在下而為足。 並且 $9^2=81$, 9、 2 在上, 81 在下。 還有更加神奇的奧秘將在另篇敘述。
那麼, 它與 65536 有什麼聯繫呢？
四季數的淵源
近幾百年來, 由於「哥德巴赫猜想」的影響力, 數學界對素數倍感興趣, 忽略了對偶數的探討。 筆者發現洛書的四隅角是四個偶數, 分別為 2, 4, 8, 16 (這裡同樣把 1 與 6 看作 16)。
我們對洛書(圖1)的偶數, 從上角向下垂直方向進行組合分析：
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
圖 1
把右上角的 2 與右下角的 16 組合得： $2^{16}=65536$.
把左上角的 4 與左下角的 8 組合得： $4^8=65536$.
再對洛書四角偶數進行交叉組合：
把右下角的 16 與左上角的 4 組合得 $16^4=65536$.
把左下角的 8 與右上角的 2 組合及四隅角的四個數之積, 得： $$8^2\times 2\times 4\times 8\times 16=65536.$$ 整理上述幾個等式, 得: $$2^{16}=16^4=4^8=8^2\times (2 \times 4\times 8\times 16)=65536.$$ 於是, 就誕生了這個「四季數」。
有趣的是, 在上述式子中, 這四個偶數既可作底數, 又可作指數, 又可作因數, 互相循環。 可說是「能上(作指數)、 能下(作底數)、能居中(作因數)」, 一個小小四季數竟然領悟了「中庸」之道： 上中下皆可適應, 左中右無所不能。 一個奇妙的「數字團體」, 竟然領略了人類的屬性：能大、能小、能曲、能伸。
可首尾易換 (百姓與總統平等, 萬眾歡呼稱讚),
能前後兼顧 (富裕周濟貧窮, 令貪官污吏汗顏)。
妙哉！ 並且每個偶數都恰恰出現三次, 不多不少, 絕對平均。 從而, 完成了鮮為人知的歷史使命 --- 誕生了「這個奇妙的四季數」。
從洛書裡找到了這個「四季數」的答案, 並不是歪打正著, 這個事例再次說明, 起源於中國古代的「河圖、洛書」蘊藏了無窮無盡的珍寶, 等待著眼光窅茫之人的擷取與開發。 目前從河圖、洛書中所汲取的成果比比皆是, 但不足其蘊藏量之萬一也！
「莫怪棗不甜, 只因時未到。」到那橙黃橘綠山花爛漫時, 河圖、 洛書必將綻放出更加奇異的絢麗光彩, 登上數學宮殿的大雅之堂而為世人所景仰！
另外, 《道德經》的「精髓」名言與四季數中的 $A$, $B$, $C$, $D$ 之傳遞關係:
道德經云： 人法地, 地法天, 天法道, 道法自然。
又：道生一, 一生二, 二生三, 三生萬。 都是四傳遞關係。
「四季數」中的 $A$, $B$, $C$, $D$ 也是四傳遞關係： $A^B = B^C = C^D = D^A(ABCD)$.
是偶然的巧合呢？ 還是另有玄機？
問題： 1、是否存在由「奇數」構成的這類數呢？
2、是否存在 $n\gt 4$ 元素的這類數呢？
從三階幻方裡發現了這個神奇的「四季」數, 使我國古老的洛書大放異彩。
可說是：中國洛書, 源遠流長, 偶數集合, 再放光芒！
四、不是結語
最近發現, 四季數與費馬素數有蛛絲馬跡：
形如： ${\Bbb F}_n=2^{2^n}+1$ 得到的素數稱為費馬素數, 目前得到的費馬素數只有 5 個: \begin{eqnarray*} F_0 &=& 2^1 + 1 = 3\\ F_1 &=& 2^2 + 1 = 5\\ F_2 &=& 2^4 + 1 = 17\\ F_3 &=& 2^8 + 1 = 257\\ F_4 &=& 2^{16} + 1 = 65537 \end{eqnarray*} 65537 是目前所知的最大費馬素數, 亦即四季數 $65536+1$ 是目前最大的費馬素數。 而 65536 是最小的四季數, 至今尚未發現第二個四季數, 是偶然巧合？ 還是有必然聯繫呢？
希望把這個資訊傳播出去, 以便儘快解決費馬素數難題與四季數問題。
數學傳播, 傳播數學, 人人熱愛數學, 個個爭相傳播！
參考文獻
---本文作者任職中國河南省封丘縣科協---