JavaScript 產生幻方:
奇數階魔幻方陣(3,5,7,9,11,13,15,17)
4n階魔幻方陣 (4,8,12,16)
4n+2階魔幻方陣 (6,10,14,18)
社會在發展, 人類在進化, 幻方也增加了「新品種」。
本文介紹一種「優化幻方」, 爲幻方家族增添更加迷人的斑斕色彩。
本文給出了用「方陣定位法」
1. 基本定義
定義1: 自然數方陣。把 $n^2$ 個自然數填入 $n$ 行 $n$ 列的正方形中, 這個填滿數字的正方形就叫「自然數方陣」。 簡稱 $Z$ 陣, $Z=(z_{ij})$ $(i,j=1,2, \ldots, n)$。 一個方陣的每行、每列有 $n$個元素就叫 $n$ 階方陣。與幻方中所稱的「階」相同。 在圖 1 中, $Z$ 與 $H$ 分別是 4 階幻方的自然數方陣和全對稱幻方。
1 | 2 | 3 | 4 |
5 | 6 | 7 | 8 |
9 | 10 | 11 | 12 |
13 | 14 | 15 | 16 |
1 | 15 | 10 | 8 |
12 | 6 | 3 | 13 |
7 | 9 | 16 | 2 |
14 | 4 | 5 | 11 |
定義2: 幻方。 把連續自然數 $1, 2, \ldots, n^2$ 排成 $n$ 行、 $n$ 列的方陣, 使得這個方陣的每行、 每列及兩條對角線上 $n$ 個元素之和都等於定值, 這個方陣稱為幻方。 古代稱為「洛書」, 又叫「縱橫圖」。 幻方的定值叫「幻和」, $n$ 階幻方的幻和記作 $S_n$。
定義3: 優化方陣。 由 $1,2,\ldots,n$ 各 $n$ 個元素構成的 $n$ 階方陣, 若每行、 每列及每條對角線(包括折斷對角線)上 $n$ 個元素之和都等於定值, 並且關於中心對稱的兩元素之和都相等, 稱爲「優化方陣」。 應當說明的是, 優化方陣的各行、 各列及對角線上允許有相同元素。
定義4: 優化幻方。 在一個幻方中, 同時具有下列兩個性質, 則稱爲「優化幻方」:
在 $n$ 階方陣 $A=(a_{ij})$ 中, 我們分別稱 $$\sum_{j=1}^{n-p} a_{j+p,j}+\sum_{j=n+1-p}^{n} a_{j+p-n,j}\quad \hbox{與}\quad \sum_{j=1}^{n-p} a_{n+1-p-j,j}+\sum_{j=n+1-p}^{n} a_{2n+1-p-j,j}\quad (p=1,2,\ldots)$$ 為 $A$ 的左與右折斷對角線元素和。
定義5: 正交方陣。 設兩個 $n$ 階方陣 $A=(a_{ij})$ 與 $B=(b_{ij})$、 ($i,j=1, 2, \ldots, n$), 將取自 $A$、 $B$ 相同位置的 $(i,j)$ 處的二元素構作有序偶 $(a_{ij}, b_{ij})$, 若 $n\times n$ 個有序偶 $(a_{ij},b_{ij})$ ($i,j=1,2,\ldots,n$) 兩兩不同, 則稱 $A$ 與 $B$ 相互正交。 在方陣 $A$ 與 $B$ 的各行、 各列及對角線上允許有相同元素。
定義6: 廣義幻方。如果一個幻方的元素不是由連續自然數 $1,2,\ldots,n^2$ 所組成, 就叫「廣義幻方」。 如果一個廣義幻方具有每行、 每列及每條對角線(包括折斷對角線)上 $n$ 個元素之和都等於廣義幻方的定值, 並且關於中心對稱的兩元素之和都相等, 則稱爲「優化廣義幻方」。
定義7: 方陣定位法。 用兩個正交方陣 $A$ 與 $B$ 的有序偶 $(a_{ij},b_{ij})$ 為行、列座標, 來確定幻方 $H$ 陣的元素, 稱為「方陣定位法」。 又叫「座標定位法」。
定義8:
循環方陣。
當設定方陣的第 1 行元素之後, 確定一個 $x$ 列為「循環點」。
以圖 2A 為例, 循環點是每行的第 3 列。
首先把第 1 行的 5,2,4 依次填入第 2 行的第 $1\sim 3$ 列的位置上, 再把循環點前面的 1, 3 依次填入第 $2$ 行第 4, 5 列的位置上。
用上述方法填寫第 $3, 4, \ldots, n$ 行的元素, 完成 $n$ 階方陣。
這個方法是把一行數字看作是一個閉合圓環, 從循環點開始依次填入一行, 循環而生成的, 所以叫「循環方陣」。
圖 2A 就是一個 5 階循環方陣, 循環點是每行的第 3 列。
圖 2B 也是一個循環方陣, 其循環點是每行的第 4 列。
循環方陣在構作奇數階幻方時非常方便
2. 構作方法
對於 $n$ 階幻方, 根據構作方法可劃分為: $n=2k+1$、 $n=4k$、 $n=4k+2$ ($k=1,2,\ldots$) 階, 三種形式。
已經有人證明不存在由連續自然數構成的 $n=4k+2$ ($k=1,2,\ldots)$ 階「全對稱幻方」
今將 $2k+1$ ($\ge 1$)、 $4k$ ($k\ge 2$) 階優化幻方及 $4k+2$ ($k\ge 1$) 階「廣義優化幻方」的構作方法分述如下。
我們把奇數階幻方分為 $3k\pm 1$ ($k=2,4,\ldots$) 階與 $3k$ ($k\ge 3$ 的奇數)階來討論:
2.1. $3k\pm 1$ 階優化幻方的構作
當 $n=3k\pm 1$ ($k=2,4,\ldots$) 用方陣定位法構造一個循環方陣 $A$, 循環點是 $(n+1)/2$ 列, 這個方陣符合優化方陣的條件, 再將 $A$ 陣左右旋轉 180 度, 得到 $B$ 陣, $A$ 與 $B$ 是正交方陣,
構成的方陣 $H=(h_{ij})$ 是一個優化幻方。
也可以經過計算得出優化幻方, 令 $h_{ij}=n(a_{ij}-1)+b_{ij}$ ($i,j=1,2, \ldots, n$),則 $H=(h_{ij})$ 是優化幻方。
圖 2 分別是 $n=5$ 的 $A$、 $B$、 $Z$ 與 $H$ 陣。
1 | 3 | 5 | 2 | 4 |
5 | 2 | 4 | 1 | 3 |
4 | 1 | 3 | 5 | 2 |
3 | 5 | 2 | 4 | 1 |
2 | 4 | 1 | 3 | 5 |
4 | 2 | 5 | 3 | 1 |
3 | 1 | 4 | 2 | 5 |
2 | 5 | 3 | 1 | 4 |
1 | 4 | 2 | 5 | 3 |
5 | 3 | 1 | 4 | 2 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
4 | 12 | 25 | 8 | 16 |
23 | 6 | 19 | 2 | 15 |
17 | 5 | 13 | 21 | 9 |
11 | 24 | 7 | 20 | 3 |
10 | 18 | 1 | 14 | 22 |
由於 $B$ 陣是 $A$ 陣的列變換方陣, 所以構造 $A$ 陣是關鍵, $3k\pm 1$ ($k=2,4,\ldots$) 階 $A$ 陣的構造可用兩種方法。
方法一: 按如下步驟進行:
步驟 1. 先作第 1 行, 令 $a_{1,j}=2j-1$ (mod $n$) ($1\le a_{1j}\le n$; $j=1, 2, \ldots, n$)。
步驟 2. 選取 $(n+1)/2$ 列 (又叫「中列」)為循環點, 按照循環方陣的方法, 向第 2 行、 第 3 行, 至第 $n$ 行循環, 完成循環方陣 $A$。
方法二:
先把奇數 $1, 3, \ldots, n$ 直接填入第 1 行的第 1 列至第 $(n+1)/2$ 列(中列), 把偶數 $2, 4, \ldots, n-1$ 填入中列 $+1$ 列至第 $n$ 列, 完成第 1 行。
取第 1 行的「中列」為循環點, 按照循環方陣的方法, 向下循環填寫, 完成循環方陣 $A$。
無論使用方法一或方法二, 都可以得到同樣的結果, 殊途而同歸。
這兩種方法都可以得到任意奇數 ($n=3,5,\ldots$) 階的幻方。只不過, 當 $n$ 是 3 的倍數時, 得到的幻方不能滿足折斷對角線之和等於定值,
只能得到普通幻方而不能滿足優化幻方的性質, 請讀者自己探索。
本構造方法及定理的證明參閱
2.2. 當 $n=3k$ ($k\ge 3$ 的奇數) 階優化幻方的構作
當 $n=3k$ ($k\ge 3$ 的奇數) 時, 用方陣定位法構造出符合「優化方陣」條件的兩個正交方陣 $A=(a_{ij})$ 與 $B=(b_{ij})$ ($i, j=1,2,\ldots,n$)。 圖 3 是 9 階優化幻方的 $A$ 與 $H$, $h_{ij} =n( a_{ij}-1)+ b_{ij}$ ($H$爲幻方, 下同)。
$b_{ij}=a_{i, n-j +1}$ 略。
1 | 4 | 5 | 6 | 9 | 7 | 8 | 2 | 3 |
9 | 7 | 8 | 2 | 3 | 1 | 4 | 5 | 6 |
3 | 1 | 4 | 5 | 6 | 9 | 7 | 8 | 2 |
6 | 9 | 7 | 8 | 2 | 3 | 1 | 4 | 5 |
2 | 3 | 1 | 4 | 5 | 6 | 9 | 7 | 8 |
5 | 6 | 9 | 7 | 8 | 2 | 3 | 1 | 4 |
8 | 2 | 3 | 1 | 4 | 5 | 6 | 9 | 7 |
4 | 5 | 6 | 9 | 7 | 8 | 2 | 3 | 1 |
7 | 8 | 2 | 3 | 1 | 4 | 5 | 6 | 9 |
3 | 29 | 44 | 52 | 81 | 60 | 68 | 13 | 19 |
78 | 59 | 67 | 10 | 21 | 2 | 35 | 43 | 54 |
20 | 8 | 34 | 45 | 51 | 77 | 58 | 64 | 12 |
50 | 76 | 55 | 66 | 11 | 26 | 7 | 36 | 42 |
17 | 25 | 9 | 33 | 41 | 49 | 73 | 57 | 65 |
40 | 46 | 75 | 56 | 71 | 16 | 27 | 6 | 32 |
70 | 18 | 24 | 5 | 31 | 37 | 48 | 74 | 62 |
28 | 39 | 47 | 80 | 61 | 72 | 15 | 23 | 4 |
63 | 69 | 14 | 22 | 1 | 30 | 38 | 53 | 79 |
容易發現, 圖 3 的 $A$ 陣具有優化方陣的性質, 由於$A$ 與 $B$ 是正交方陣, 故得到的 $H$ 是一個優化幻方。 構造 $A$ 陣的關鍵環節在於 $A$ 陣的中間行。 當 $k= 3$ 時, 中間行的元素設計(當然, 有多種設計)爲: $$2,\ 3 ,\ 1,\ 4,\ 5,\ 6,\ 9,\ 7,\ 8$$
在中間行中, 它們的第 1, 4, 7 列、第 2, 5, 8 列及第 3, 6, 9 列上的3個元素之和都等於 15, 並且關於中心對稱的兩元素之和相等。
當 $k\ge 5$ 的奇數時, 把 $1, 2, \ldots, 3k$ 構成一個 3 行 $k$ 列的矩陣 $E =(e_{ij})$ ($i=1,2,3$; $j=1,2, \ldots, k$) $$e_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} i+1,&\qquad&i=1,2,\ j=1.\\ 1,&&i=3,\ j=1.\\ 3(j-1)+i,&&i=1,2,3,\ j=2,4,\ldots,k-1.\\ 3j-i+1,&&i=1,2,3,\ j=3,5,\ldots,k-2.\\ n,&&i=1,\ j=k.\\ n+i-4,&&i=2,3,\ j=k. \end{array}\right.$$
令 $E$ 陣的 $1,2, \ldots, k$ 列上的元素, 依次爲 $A$ 陣中間行的第 $1,2, \ldots, n$ 列上的元素。
這裡給出 $k=3$、 5、 7、 9、 11 的 3 行 $k$ 列 $E$ 陣的實例, 以饗幻友。
2 | 4 | 9 |
3 | 5 | 7 |
1 | 6 | 8 |
2 | 4 | 9 | 10 | 15 |
3 | 5 | 8 | 11 | 13 |
1 | 6 | 7 | 12 | 14 |
2 | 4 | 9 | 10 | 15 | 16 | 21 |
3 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 19 |
1 | 6 | 7 | 12 | 13 | 18 | 20 |
2 | 4 | 9 | 10 | 15 | 16 | 21 | 22 | 27 |
3 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 | 25 |
1 | 6 | 7 | 12 | 13 | 18 | 19 | 24 | 26 |
2 | 4 | 9 | 10 | 15 | 16 | 21 | 22 | 27 | 28 | 33 |
3 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 | 26 | 29 | 31 |
1 | 6 | 7 | 12 | 13 | 18 | 19 | 24 | 25 | 30 | 32 |
構造 $E$ 陣的方法是, 首先確定第 1 列和第 $k$ 列上的 3 個元素。 第 1 列的 3 個元素從第 1 行 $\sim$ 第 3 行分別是 2, 3, 1; 第 $k$ 列的 3 個元素從第 1 行 $\sim$ 第 3 行分別是 $n$, $n-2$, $n-1$。
再從第 2 列開始, 按照由小到大、 從上到下的順序排列, 第 2 列與第 3 列兩個相連數字在底部呈 $\cup$ 形連接, 第 3 列與第 4 列兩個相連數字在頂部呈顛倒的「$\cap$」形連接。 這樣輾轉連接的規律是:在同列的 3 個數中, 凡是大偶數在下面的與下一列相連數呈 $\cup$ 形連接, 凡是大奇數在上面的與下一列相連數呈 $\cap$ 形連接, 直到第 $k-1$ 列。 也就是說, 第 $2,4,\ldots, k-1$ 列是按照小數在上、 大數在下的順序排列; 第 $3,5,\ldots,k-2$ 列是按照小數在下、 大數在上的順序排列。 從第 2 列至第 $k-1$ 列 (粗實線所圍部分) 好像一個迴形針一樣, 把「芸芸眾數」上通下達、 左聯右合, 維繫在一起, 雖然經過了蜿蜒曲折的行程, 終究還是組合在一起完成了構造 $E$ 陣的大業。 又像古籍中的「尺蠖之屈」, 也好像我國傳統的「富貴不斷頭」圖案一樣美麗漂亮。 其規律一目了然。
完成了3行、 $k$ 列的 $E$ 陣之後, 再把 $D$ 陣生成 $A$ 陣, 以 $k\!=\!3$ 為例, 按照下列步驟進行;
第一步, 把 $E$ 陣生成 $A$ 陣的中間行:
把 $D$ 陣第一列上的 2、3、1, 依次填入圖 3A 中間行的第 1, 2, 3 列的位置上;
把 $D$ 陣第二列上的 4、5、6,依次填入圖 3A 中間行的第 4, 5, 6,列的位置上;
把 $D$ 陣第三列上的 9、7、8,依次填入圖 3A 中間行的第 7, 8, 9, 列的位置上。
(圖 3A 中間行所示的粗體字)
這個方法好像小朋友玩的「多米諾骨牌」。 不妨把 $D$ 陣每列上的 3 個元素看作是一個豎直的多米諾骨牌, 從後方(右)加力, 使骨牌(列元素)向前(左)傾倒。 把這些平鋪在地面上的數字, 按照從左到右的順序直接填寫到 $A$ 陣中間行的第 $1,2, \ldots, n$ 列的位置上。 當然, 不能重疊。
第二步:由 $A$ 陣的中間行生成完整的 $A$ 陣
(1) 利用循環方陣的方法, 以中間行的「中列」為循環點, 向下循環, 完成中間行以下部分。
(2) 中間行以上部分, 可以用中間行的「中列+1列」為循環點, 從中間行向中間行 $-1$ 行, 中間行 $-2$ 行, $\ldots$, 第 1 行, 逐行向上反循環, 得到 $A$ 陣。 也可以利用關於中心對稱的兩元素之和等於 $n+1$ 的關係, 計算出 $A$ 陣的上部分, 來完成 $A$ 陣。
第三步: 由 $A$ 生成優化幻方 $H$
令 $h_{ij}=n(a_{ij}-1)+ a_{i,n-j+1}$ ($i,j=1,2,\ldots,n$), 則 $H=(h_{ij})$ ($i, j=1,\ldots,n$) 是 $3k$ 階優化幻方。
3. $4k$ 階優化幻方的構作
容易證明不存在 4 階優化幻方。 當 $n=4k$ ($k=2,3,\ldots$)時, 不妨分爲 $k\ge 2$ 的偶數及 $k\ge 3$ 的奇數兩種情形來討論:
3.1. 當 $k\ge 2$ 的偶數時
我們先給出一個 $n=8$ 的實例 (圖4)。
在圖 4 中, 優化幻方H是由 $A$ 陣經過計算得到的, 計算公式為 $h_{ij} =n(a_{ij}-1)+ a_{ji}$ ($i,j=1,2, \ldots, n$)。
1 | 7 | 6 | 4 | 4 | 6 | 7 | 1 |
8 | 2 | 3 | 5 | 5 | 3 | 2 | 8 |
1 | 7 | 6 | 4 | 4 | 6 | 7 | 1 |
8 | 2 | 3 | 5 | 5 | 3 | 2 | 8 |
1 | 7 | 6 | 4 | 4 | 6 | 7 | 1 |
8 | 2 | 3 | 5 | 5 | 3 | 2 | 8 |
1 | 7 | 6 | 4 | 4 | 6 | 7 | 1 |
8 | 2 | 3 | 5 | 5 | 3 | 2 | 8 |
1 | 56 | 41 | 32 | 25 | 48 | 49 | 8 |
63 | 10 | 23 | 34 | 39 | 18 | 15 | 58 |
6 | 51 | 46 | 27 | 30 | 43 | 54 | 3 |
60 | 13 | 20 | 37 | 36 | 21 | 12 | 61 |
4 | 53 | 44 | 29 | 28 | 45 | 52 | 5 |
62 | 11 | 22 | 35 | 38 | 19 | 14 | 59 |
7 | 50 | 47 | 26 | 31 | 42 | 55 | 2 |
57 | 16 | 17 | 40 | 33 | 24 | 9 | 64 |
上例表明, 要造出 $A$ 陣, 只需要作出一個 2 行, $2k$ 列的矩陣 $D=(d_{ij})$ ($i=1,2$; $j=1,2,\ldots,2k$) 即可, 並將其排列在 $A$ 陣的第 1 行與第 2 行的第 $1,2,\ldots,2k$ 列的位置上。 $A$ 陣左半部其餘各行($3\sim n$)上的元素是第 1 行與第 2 行上諸元素的重復; 右半部是左半部的反射, 利用這些性質, 可以很快造出 $A$ 陣, 再按照上述計算公式由 $A$ 陣生成優化幻方。
當 $k\ge 2$ 的偶數時, 設 $t=k/2$, $D$ 陣的造法如下: $$d_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} j&\quad~&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,3t+2,\ldots,4t\\ i=2,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t \end{array} \right.\\ n-j+1&&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t\\ i=2,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,3t+2,\ldots,4t \end{array} \right. \end{array} \right.$$
又由於 $D$ 陣第 2 行上諸元素與第 1 行相對應的兩個元素關於 $n+1$ 互補, 所以作出 $D$ 陣的第 1 行, 即可生成 $D$ 陣, 再由 $D$ 陣生成 $A$ 陣。
我們給出 $k=2,4,6,8,10$, $D$ 陣的實例:
1 | 7 | 6 | 4 |
8 | 2 | 3 | 5 |
1 | 2 | 14 | 13 | 12 | 11 | 7 | 8 |
16 | 15 | 3 | 4 | 5 | 6 | 10 | 9 |
1 | 2 | 3 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 10 | 11 | 12 |
24 | 23 | 22 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 15 | 14 | 13 |
1 | 2 | 3 | 4 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 13 | 14 | 15 | 16 |
32 | 31 | 30 | 29 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 20 | 19 | 18 | 17 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 35 | 34 | 33 | 32 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 26 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
40 | 39 | 38 | 37 | 36 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 |
我們觀察這些 $D$ 陣中的大、 小數字 (粗實線所圍) 之排列, 好像兩個碗和盤子, 一仰、一合, 整齊有序。 看到這個圖像, 不禁想起《周易》中的「艮仰盂, 震覆碗」的卦象。 不料想, 八卦的優美圖形竟然在這裡展現, 有趣!
3.2. 當 $k\ge 3$ 的奇數時
$A$ 陣的構作仍然按照 $k\ge 2$ 的偶數的方法進行, 先作出一個 2 行, $2k$ 列的矩陣 $D=(d_{ij})$ ($i=1,2$; $j=1,2,\ldots,2k$), 再由 $D$ 陣生成 $A$ 陣 (方法同上)。
當 $k= 3$ 時, $$D=\left(\begin{array}{cccccc} 1,&11,&3,&9,&8,&7\\ 12,&2,&10,&4,&5,&6 \end{array}\right)$$
當 $k\ge 5$ 的奇數時, $t=(k-3)/2$, $D$ 陣的造法如下 $$d_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} j&\quad~&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1;4t+3.\\ i=2,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+4,\ 4t+5,\ 4t+6. \end{array} \right.\\ n-j+1&&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+4,\ 4t+5,\ 4t+6.\\ i=2,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,3t+2,\ldots,4t+1;\ 4t+3. \end{array} \right. \end{array} \right.$$
當 $k\ge 3$ 的奇數時, $k=3,5,7,9$ 的 $D$ 陣實例如下:
1 | 11 | 3 | 9 | 8 | 7 |
12 | 2 | 10 | 4 | 5 | 6 |
1 | 19 | 18 | 4 | 5 | 15 | 7 | 13 | 12 | 11 |
20 | 2 | 3 | 17 | 16 | 6 | 14 | 8 | 9 | 10 |
1 | 2 | 26 | 25 | 24 | 23 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 17 | 16 | 15 |
28 | 27 | 3 | 4 | 5 | 6 | 22 | 21 | 29 | 10 | 18 | 12 | 13 | 14 |
1 | 2 | 3 | 33 | 32 | 31 | 30 | 29 | 28 | 10 | 11 | 12 | 13 | 23 | 15 | 21 | 20 | 19 |
36 | 35 | 34 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 27 | 26 | 25 | 24 | 14 | 22 | 16 | 17 | 18 |
這些 $D$ 陣的特點是, 前部分的大、 小數, 像「艮仰盂, 震覆碗」的圖像; 後部分(粗實線所圍的長方形)的 6 列是 $k=3$ 的傳承, 當 $k\gt 3$ 時, 後邊的 6 列只是在 $k=3$ 的基礎上依次加 4 所得。
4. $4k+2$ 階廣義優化幻方的構作
$4k+2$ 階廣義優化幻方的構作, 仍然按分爲兩種情形討論:
4.1. 當 $k$ 爲奇數時
如果把 $1,2, \ldots, 4k+2$ 分爲其和相等的兩組, 顯然是不可能的
$k=1$ 的例:
把 $\left(\begin{array}{ccc} 1 ,& 2,& 3\\ 7,& 6,&5\end{array}\right)$ 變換爲 $\left(\begin{array}{ccc} 1 ,& 6,& 5\\ 7,& 2,&3\end{array}\right)$ 即可。
圖 5 是 $n=6$ 的例, $H=(h_{ij})$ ($i,j=1,2,\ldots,n$). $h_{ij}=(a_{ij}-1)*(n+1)+a_{ji}$ ($i,j=1,2,\ldots,n$)。
1 | 6 | 5 | 5 | 6 | 1 |
7 | 2 | 3 | 3 | 2 | 7 |
1 | 6 | 5 | 5 | 6 | 1 |
7 | 2 | 3 | 3 | 2 | 7 |
1 | 6 | 5 | 5 | 6 | 1 |
7 | 2 | 3 | 3 | 2 | 7 |
1 | 42 | 29 | 35 | 36 | 7 |
48 | 9 | 20 | 16 | 13 | 44 |
5 | 38 | 33 | 31 | 40 | 3 |
47 | 10 | 19 | 17 | 12 | 45 |
6 | 37 | 34 | 30 | 41 | 2 |
43 | 14 | 15 | 21 | 8 | 49 |
當 $n\ge 3$ 的奇數時, 仍然可構造一個 2 行, $2k$ 列的矩陣 $D=(d_{ij})$ ($i=1,2; j=1,2,\ldots,2k$), 設 $t=(k-1)/2$, $D$ 陣的造法如下: $$d_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} j&\quad~&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1.\\ i=2,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+3. \end{array} \right.\\ n-j+2&&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+3.\\ i=2,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1. \end{array} \right. \end{array} \right.$$ 當 $n=4k+2$ ($k=1,3,5,7$) 時, $D$ 陣的實例如下:
1 | 6 | 5 |
7 | 2 | 3 |
1 | 14 | 13 | 4 | 5 | 10 | 9 |
15 | 2 | 3 | 12 | 11 | 6 | 7 |
1 | 2 | 21 | 20 | 19 | 18 | 7 | 8 | 9 | 14 | 13 |
23 | 22 | 3 | 4 | 5 | 6 | 17 | 16 | 15 | 10 | 11 |
1 | 2 | 3 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 10 | 11 | 12 | 13 | 18 | 17 |
31 | 30 | 29 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 22 | 21 | 20 | 19 | 14 | 15 |
這些 $D$ 陣的前部分的大、 小數仍然是「艮仰盂, 震覆碗」的圖像,可說是「以不變應萬變」; 後部分(粗實線所圍) 3 列是 $k=1$ 的傳承, 當 $k\gt 1$ 時, 後邊的 3 列, 只是在 $k=1$ 的基礎上依次加 4 所得。
4.2. 當 $k$ 爲偶數時
圖 6 是 $k=2$, $n=10$ 階的 $A$ 陣與 $H$ 陣:
1 | 12 | 3 | 10 | 9 | 9 | 10 | 3 | 12 | 1 |
13 | 2 | 11 | 4 | 5 | 5 | 4 | 11 | 2 | 13 |
1 | 12 | 3 | 10 | 9 | 9 | 10 | 3 | 12 | 1 |
13 | 2 | 11 | 4 | 5 | 5 | 4 | 11 | 2 | 13 |
1 | 12 | 3 | 10 | 9 | 9 | 10 | 3 | 12 | 1 |
13 | 2 | 11 | 4 | 5 | 5 | 4 | 11 | 2 | 13 |
1 | 12 | 3 | 10 | 9 | 9 | 10 | 3 | 12 | 1 |
13 | 2 | 11 | 4 | 5 | 5 | 4 | 11 | 2 | 13 |
1 | 12 | 3 | 10 | 9 | 9 | 10 | 3 | 12 | 1 |
13 | 2 | 11 | 4 | 5 | 5 | 4 | 11 | 2 | 13 |
1 | 156 | 27 | 130 | 105 | 117 | 118 | 39 | 144 | 13 |
168 | 15 | 142 | 41 | 64 | 54 | 51 | 132 | 25 | 158 |
3 | 154 | 29 | 128 | 107 | 115 | 120 | 37 | 146 | 11 |
166 | 17 | 140 | 43 | 62 | 56 | 49 | 134 | 23 | 160 |
9 | 148 | 35 | 122 | 113 | 109 | 126 | 31 | 152 | 5 |
165 | 18 | 139 | 44 | 61 | 57 | 48 | 135 | 22 | 161 |
10 | 147 | 36 | 121 | 114 | 108 | 127 | 30 | 153 | 4 |
159 | 24 | 133 | 50 | 55 | 63 | 42 | 141 | 16 | 167 |
12 | 145 | 38 | 119 | 116 | 106 | 129 | 28 | 155 | 2 |
157 | 26 | 131 | 52 | 53 | 65 | 40 | 143 | 14 | 169 |
在圖 6 中, $H=(h_{ij})$ ($i,j=1,2,\ldots,n$), $h_{ij} =(a_{ij}-1 )*(n+3)+a_{ji}$ ($i,j=1,2,\ldots,n$)。
其 $A$ 陣仍然由 2 行、 $2k$ 列的 $D$ 陣生成。
當 $k\ge 4$ 的偶數時, 設 $t=(k-1)/2$, $D$ 陣的造法如下: $$d_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} j&\quad~&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1;\ 4t+3.\\ i=2,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+4,\ 4t+5. \end{array} \right.\\ n-j+4&&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+4,\ 4t+5.\\ i=2,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1;\ 4t+3. \end{array} \right. \end{array} \right.$$ 當 $k\ge 2$ 的偶數時, $k=2,4,6,8$, $D$ 陣的例子如下:
1 | 12 | 3 | 10 | 9 |
13 | 2 | 11 | 4 | 5 |
1 | 20 | 19 | 4 | 5 | 16 | 7 | 14 | 13 |
21 | 2 | 3 | 18 | 17 | 6 | 15 | 8 | 9 |
1 | 2 | 27 | 26 | 25 | 24 | 7 | 8 | 9 | 20 | 11 | 18 | 17 |
29 | 28 | 3 | 4 | 5 | 6 | 23 | 22 | 21 | 10 | 19 | 12 | 13 |
1 | 2 | 3 | 34 | 33 | 32 | 31 | 30 | 29 | 10 | 11 | 12 | 13 | 24 | 15 | 22 | 21 |
37 | 36 | 35 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 28 | 27 | 26 | 25 | 14 | 23 | 16 | 17 |
這些 $D$ 陣的特點是, 前部分大、 小數仍然像「艮仰盂, 震覆碗」; 後部分(粗實線所圍)是 $k=2$ 的傳承, 當 $k\gt 2$ 時, 後邊的 5 列, 只是在 $k=2$ 的基礎上依次加 4 所得。 真是一如既往的 $D$ 陣!
完成 $D$ 陣之後, 按照前面所提供的方法, 可以作出 $A$ 陣, 再由 $A$ 陣作出廣義優化幻方, 就易如反掌了。
利用電腦構作幻方, 更是「唾手可得」。
另外, 介紹一個 25 階優化幻方, 並且它還是一個平方幻方。 有興趣的讀者不妨「解剖」一下, 得出這個幻方的 $A$ 陣與 $B$ 陣, 它可以使你解決 $n\times n$ ($n\ge 3$) 的奇數階平方幻方以及雙重幻方。 引玉之磚如下: 幻和 $S_{25}=7825$; 平方幻方 $S^2_{25}=3263025$。
446 | 459 | 492 | 380 | 413 | 552 | 590 | 623 | 506 | 544 | 58 | 91 | 104 | 12 | 50 | 189 | 222 | 235 | 143 | 151 | 320 | 328 | 361 | 274 | 282 |
570 | 578 | 611 | 524 | 532 | 71 | 84 | 117 | 5 | 38 | 177 | 215 | 248 | 131 | 169 | 308 | 341 | 354 | 262 | 300 | 439 | 472 | 485 | 393 | 401 |
64 | 97 | 110 | 18 | 26 | 195 | 203 | 236 | 149 | 157 | 321 | 334 | 367 | 255 | 288 | 427 | 465 | 498 | 381 | 419 | 558 | 591 | 604 | 512 | 550 |
183 | 216 | 229 | 137 | 175 | 314 | 347 | 360 | 268 | 276 | 445 | 453 | 486 | 399 | 407 | 571 | 584 | 617 | 505 | 538 | 52 | 90 | 123 | 6 | 44 |
302 | 340 | 373 | 256 | 294 | 433 | 466 | 479 | 387 | 425 | 564 | 597 | 610 | 518 | 526 | 70 | 78 | 111 | 24 | 32 | 196 | 209 | 242 | 130 | 163 |
409 | 442 | 455 | 488 | 396 | 540 | 573 | 581 | 619 | 502 | 41 | 54 | 87 | 125 | 8 | 172 | 185 | 218 | 226 | 139 | 278 | 311 | 349 | 357 | 270 |
528 | 561 | 599 | 607 | 520 | 34 | 67 | 80 | 113 | 21 | 165 | 198 | 206 | 244 | 127 | 291 | 304 | 337 | 375 | 258 | 422 | 435 | 468 | 476 | 389 |
47 | 60 | 93 | 101 | 14 | 153 | 186 | 224 | 232 | 145 | 284 | 317 | 330 | 363 | 271 | 415 | 448 | 456 | 494 | 377 | 541 | 554 | 587 | 625 | 508 |
166 | 179 | 212 | 250 | 133 | 297 | 310 | 343 | 351 | 264 | 403 | 436 | 474 | 482 | 395 | 534 | 567 | 580 | 613 | 521 | 40 | 73 | 81 | 119 | 2 |
290 | 323 | 331 | 369 | 252 | 416 | 429 | 462 | 500 | 383 | 547 | 560 | 593 | 601 | 514 | 28 | 61 | 99 | 107 | 20 | 159 | 192 | 205 | 238 | 146 |
392 | 405 | 438 | 471 | 484 | 523 | 531 | 569 | 577 | 615 | 4 | 37 | 75 | 83 | 116 | 135 | 168 | 176 | 214 | 247 | 261 | 299 | 307 | 345 | 353 |
511 | 549 | 557 | 595 | 603 | 17 | 30 | 63 | 96 | 109 | 148 | 156 | 194 | 202 | 240 | 254 | 287 | 325 | 333 | 366 | 385 | 418 | 426 | 464 | 497 |
10 | 43 | 51 | 89 | 122 | 136 | 174 | 182 | 220 | 228 | 267 | 280 | 313 | 346 | 359 | 398 | 406 | 444 | 452 | 490 | 504 | 537 | 575 | 583 | 616 |
129 | 162 | 200 | 208 | 241 | 260 | 293 | 301 | 339 | 372 | 386 | 424 | 432 | 470 | 478 | 517 | 530 | 563 | 596 | 609 | 23 | 31 | 69 | 77 | 115 |
273 | 281 | 319 | 327 | 365 | 379 | 412 | 450 | 458 | 491 | 510 | 543 | 551 | 589 | 622 | 11 | 49 | 57 | 95 | 103 | 142 | 155 | 188 | 221 | 234 |
480 | 388 | 421 | 434 | 467 | 606 | 519 | 527 | 565 | 598 | 112 | 25 | 33 | 66 | 79 | 243 | 126 | 164 | 197 | 210 | 374 | 257 | 295 | 303 | 336 |
624 | 507 | 545 | 553 | 586 | 105 | 13 | 46 | 59 | 92 | 231 | 144 | 152 | 190 | 223 | 362 | 275 | 283 | 316 | 329 | 493 | 376 | 414 | 447 | 460 |
118 | 1 | 39 | 72 | 85 | 249 | 132 | 170 | 178 | 211 | 355 | 263 | 296 | 309 | 342 | 481 | 394 | 402 | 440 | 473 | 612 | 525 | 533 | 566 | 579 |
237 | 150 | 158 | 191 | 204 | 368 | 251 | 289 | 322 | 335 | 499 | 382 | 420 | 428 | 461 | 605 | 513 | 546 | 559 | 592 | 106 | 19 | 27 | 65 | 98 |
356 | 269 | 277 | 315 | 348 | 487 | 400 | 408 | 441 | 454 | 618 | 501 | 539 | 572 | 585 | 124 | 7 | 45 | 53 | 86 | 230 | 138 | 171 | 184 | 217 |
463 | 496 | 384 | 417 | 430 | 594 | 602 | 515 | 548 | 556 | 100 | 108 | 16 | 29 | 62 | 201 | 239 | 147 | 160 | 193 | 332 | 370 | 253 | 286 | 324 |
582 | 620 | 503 | 536 | 574 | 88 | 121 | 9 | 42 | 55 | 219 | 227 | 140 | 173 | 181 | 350 | 358 | 266 | 279 | 312 | 451 | 489 | 397 | 410 | 443 |
76 | 114 | 22 | 35 | 68 | 207 | 245 | 128 | 161 | 199 | 338 | 371 | 259 | 292 | 305 | 469 | 477 | 390 | 423 | 431 | 600 | 608 | 516 | 529 | 562 |
225 | 233 | 141 | 154 | 187 | 326 | 364 | 272 | 285 | 318 | 457 | 495 | 378 | 411 | 449 | 588 | 621 | 509 | 542 | 555 | 94 | 102 | 15 | 48 | 56 |
344 | 352 | 265 | 298 | 306 | 475 | 483 | 391 | 404 | 437 | 576 | 614 | 522 | 535 | 568 | 82 | 120 | 3 | 36 | 74 | 213 | 246 | 134 | 167 | 180 |
參考資料
---本文作者任職河南省封丘縣科協---