係數為實數的一元二次方程 $x^2+bx+c=0$ 是大家所熟悉的, 如果將方程中的未知量 $x$ 改為未知向量 $\vec x$ (本文中的向量指平面向量), 而將常數 $b$ 改為常向量 $\vec b$, $c$ 仍表示常數, 同時將實數的乘法改為向量的數量積, 便得到一個含有未知向量 $\vec x$ 的向量方程　 $${\vec x}^2+{\vec b}{\vec x}+c=0(*)$$ 　　　　 本文對方程 $(*)$ 探討如下一些問題: (1) 方程 $(*)$ 解的情況; (2) 方程 $(*)$ 類似於實數方程中的韋達定理; (3) 方程 $(*)$ 與圓的相交弦定理; (4) 方程 $(*)$ 與圓的割線定理。

首先探討方程 $(*)$ 的解的情況。為了求得方程的解, 將方程變形為 $$\Big({\vec x}+\frac 12{\vec b}\Big)^2=\frac{{\vec b}^2-4c}{4}$$

(1)、 當 ${\vec b}^2-4c\lt 0$ 時, 方程無解;

(2)、 當 ${\vec b}^2-4c=0$ 時, 方程有一個解: ${\vec x}=-\frac 12{\vec b}$;

(3)、 當 ${\vec b}^2-4c\gt 0$ 時, 為了看出解的情況, 令 $r=\frac{\sqrt{{\vec b}^2-4c}}{2}$, 方程變為: $[{\vec x}-(-\frac 12{\vec b})]^2=r^2$, 如果約定 ${\vec x}$ 及 $-\frac 12{\vec b}$ 的起點均為原點的話, 則很明顯 ${\vec x}$ 的終點在以 $-\frac 12{\vec b}$ 的終點 $M$ 為圓心, 半徑為 $r$ 的圓上, 且這個圓上任意一點 $P$ 所對應的向量 $\overrightarrow{OP}$ 均是方程 $(*)$ 的一個解。就是說, 方程 $(*)$ 有無數個解, 這些解的終點是一個圓, 以下我們稱這個圓為方程 $(*)$ 的解圓, 如圖 (一)。

下面討論原點與解圓的位置關係。

因為原點到圓心的距離為 $|-\frac 12{\vec b}|$, 令 $|-\frac 12{\vec b}|\gt r=\frac{\sqrt{{\vec b}^2-4c}}{2}$, 解得 $c\gt 0$, 則有結論:

當 $c\gt 0$ 時, 原點在解圓外, 同樣討論知, 當 $c=0$ 時, 原點在解圓上, 當 $c\lt 0$ 時, 原點在解圓內, 如圖 (二)。

如圖 (三), 設方程 $(*)$ 有一個解圓, 其圓心為 $M$, 過 $M$ 作任意直徑 $AB$, 設 ${\vec x}_1=\overrightarrow{OA}$, ${\vec x}_2=\overrightarrow{OB}$, 則有性質:

(1) ${\vec x}_1+{\vec x}_2=-{\vec b}$ 　

(2) ${\vec x}_1\cdot {\vec x}_2=c$

這個性質類似於實數方程中的韋達定理。

證明如下:

證: (1) 因為 $M$ 為 $AB$ 的中點, 所以 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$, 即 ${\vec x}_1+{\vec x}_2=2(-\frac 12{\vec b})=-{\vec b}$。

(2) 由 (1), ${\vec x}_2=-{\vec x}_1-{\vec b}$, 則 ${\vec x}_1\cdot{\vec x}_2={\vec x}_1\cdot(-{\vec x}_1-{\vec b})=-{\vec x}_1^2 -{\vec b}\cdot {\vec x}_1$, 因為 ${\vec x}_1$是方程 $(*)$ 的解, 所以 ${\vec x}_1^2 +{\vec b}{\vec x}_1+c=0$, 即 $-{\vec x}_1^2 -{\vec b}{\vec x}_1=c$, 從而有 ${\vec x}_1\cdot {\vec x}_2=c$。

下面探討方程 $(*)$ 與圓的相交弦定理和圓的割線定理之間的關係。

設方程 $(*)$ 有一個解圓, 過原點 $O$ 作直線交解圓於 $A$、 $B$, 設 ${\vec x}_1=\overrightarrow{OA}$, ${\vec x}_2=\overrightarrow{OB}$, 則有性質: ${\vec x}_1\cdot {\vec x}_2=c$ (定值)。 當原點在解圓內時, 這個性質便是圓的相交弦定理, 當原點在解圓外時, 這個性質便是圓的割線定理, 如圖 (四)。

　　　 下面證明這個性質。

證: 令 ${\vec x}_2=k{\vec x}_1\ (k\ne 1)$, 因為 ${\vec x}_1$ 和 ${\vec x}_2$ 都是方程 $(*)$ 的解, 從而 ${\vec x}_1^2+{\vec b}{\vec x}_1+c=0$ (1), ${\vec x}_2^2+{\vec b}{\vec x}_2+c=0$, 即 $({k\vec x}_1)^2+{\vec b}\cdot ({k\vec x}_1)+c=0$, 得 $k^2{\vec x}_1^2+k{\vec b}\cdot {\vec x}_1+c=0$ (2), 將 (2) 式減去 (1) 式的 $k$ 倍得: $(k^2-k){\vec x}_1^2+c-kc=0$ , 因為 $k\ne 1$, 約去 $k-1$ 得$k{\vec x}_1^2-c=0$, 即 ${\vec x}_1\cdot k{\vec x}_2=c$, 就是 ${\vec x}_1\cdot {\vec x}_2=c$。

上面這個性質也可以說是圓的相交弦定理和圓的割線定理的統一。

上面的證明用到了 $k\ne1$, 當 $k=1$ 時, 即割線變為切線時性質仍然成立, 如圖 (五)。

證明如下:

證: 如圖 (五) 中, 設 $OP$ 是解圓的切線, $P$ 為切點, $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}$, 令 $\overrightarrow{OP}={\vec x}$, 因為 $\overrightarrow{MP}\bot \overrightarrow{OP}$, 所以 $(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM})\cdot \overrightarrow{OP}=0$, 即 $[{\vec x}-(-\frac 12{\vec b})]\cdot {\vec x}=0$, 化簡得 $2{\vec x}^2+{\vec b}\cdot {\vec x}=0$, 因為 ${\vec x}$ 是方程 $(*)$ 的解, 所以 ${\vec x}^2+{\vec b}\cdot {\vec x}+c=0$, 從而 $2{\vec x}^2+{\vec b}\cdot {\vec x}=({\vec x}^2+{\vec b}\cdot {\vec x}+c)+ ({\vec x}^2-c)=0$, 即 ${\vec x}^2-c=0$, 從而 ${\vec x}^2=c$。

---本文作者任教江蘇省運河高等師範學校---