所謂球面三角形, 是指在球面上以測地線(大圓的一部份)為三邊所圍成的三角形。如圖一, $O$是球心, $A$、$B$、$C$ 是三角形的三個頂點 :

$\longcuv{AB}$、$\longcuv{BC}$、$\longcuv{CA}$ 均為大圓的一部份, 是 $\triangle ABC$ 的邊; 而 $OAB$、$OBC$、$OCA$ 三個平面, 其兩兩之間所夾的兩面角 $\angle B$、$\angle C$、$\angle A$ 是 $\triangle ABC$ 的三個頂角。 我們仍以 $B$、$C$、$A$ 表這三個頂角的弳度量。

在單位球面, 即半徑為 1 的情形, 球面三角形 $ABC$ 的面積公式為 : $$A+B+C-\pi$$ 式中 $\pi$ 代表圓周率。

關於面積公式的證明, 一般是利用球面的對稱性 ^{1 1} 見 曹亮吉著《阿草的葫蘆》P.173 遠哲科學教育基金會。 或是利用Gauss-Bonnet定理 ^{2 2} 見 日本數學會出版數學百科辭典英文版 附錄A 表4 微分幾何。 本文想要直接以球面上的積分來證明。

若是將球心置於原點, 並以 $\theta$、 $\varphi$ 將單位球面參數化, $\theta$ 代表經度, $\frac{\pi}2-\varphi$ 代表緯度, 則有 \begin{eqnarray*} &&x=\sin \varphi\cos\theta\qquad y=\sin \varphi\sin\theta\qquad z=\cos\varphi\\ &&x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray*} 為了簡化積分, 我們只考慮直角三角形 ^{3 3} 任何三角形都可分成兩個直角三角形之和或差。 並且為了方便, 將 $A$ 置於北極, $\longcuv{AC}$在 $xz$ 平面, $B$ 點的 $y$ 坐標大於0, $\angle C=\frac\pi 2$ 如圖二所示 :

圖中, $C$ 的坐標為 $(\sin\varphi_0,0 ,\cos\varphi_0)$, $B$ 的坐標為 $(\sin\varphi_1\cos A,\sin\varphi_1\sin A ,\cos\varphi_1)$, $A$ 點的坐標為 $(0,0,1)$。

$\longcuv{CB}$ 是由過 $C$、$B$ 和原點的平面 $E$ 與球面截出。由於 $\angle C=\frac\pi 2$, 此一平面 $E$ 與 $xz$ 平面垂直, 因此法向量的方向為 $(l,0,n)$, 取 $n\gt 0$, $l\le 0$ 而有 \begin{eqnarray*} &&l\sin \varphi_0+n\cos\varphi_0=0\\ &&l\sin \varphi_1\cos A+n\cos\varphi_1=0 \end{eqnarray*} $\triangle ABC$ 面積的積分式為 ^{4 4} 球面上經線和緯線互相垂直, 當 $\theta$ 增至 $\theta+\Delta\theta$, $\varphi$ 增至 $\varphi+\Delta \varphi$, 這一小塊面積的近似值是 $\sin\varphi\Delta\varphi\Delta\theta$, 所以 $\sin\varphi d\varphi d\theta$ 就是面積元素, 易見球的表面積是$\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\theta=0}^{2\pi}\sin\varphi d\varphi d\theta=4\pi$。 $$\int_{\theta=0}^{A}\int_{\varphi=0}^{?}\sin\varphi d\varphi d\theta$$ 積分的上、下限 $\theta$ 為 $0\le \theta\le A$, 至於 $\varphi$, 解 $$l\sin\varphi\cos\theta+n\cos \varphi=0$$ 得 $$\cot\varphi=-\frac ln\cos \theta$$ 或 $$\cos \varphi=-l\cos\theta/\sqrt{n^2+l^2\cos^2\theta}$$ 記得 $n\gt 0$, $l\le 0$。接著計算 \begin{eqnarray*} \iint \sin\varphi d\varphi d\theta &=&\int [-\cos\varphi]d\theta=\int_{\theta=0}^A\Big(\frac{l\cos\theta}{\sqrt{n^2+l^2\cos^2\theta}}+1\Big)d\theta\\ &=&A+\int_{\theta=0}^A \frac{l\cos\theta}{\sqrt{n^2+l^2\cos^2\theta}}d\theta\\ \end{eqnarray*} 令 $t=\sin\theta$ ($\theta=A$ 時 $t=\sin A$, $\theta=0$ 時 $t=0$) \begin{eqnarray*} \int\frac{l\cos\theta}{\sqrt{n^2+l^2\cos^2\theta}}d\theta&=&\int \frac{ldt}{\sqrt{l^2+n^2-l^2t^2}}=\sin^{-1}\frac{lt}{\sqrt{l^2+n^2}}\quad (l\lt 0)\\ &=&\frac{\pi}{2}-\cos^{-1}\frac{lt}{\sqrt{l^2+n^2}} \end{eqnarray*} 將 $t$ 以 $\sin A$ 和 $t=0$ 代入相減得 $$-\cos^{-1}\frac{l\sin A}{\sqrt{l^2+n^2}}+\frac {\pi}2=\cos^{-1}\Big(\frac{-l\sin A}{\sqrt{l^2+n^2}}\Big)-\frac{\pi}2\qquad(l\lt 0)$$ 得到面積等於 $$A+\cos^{-1}\Big(\frac{-l\sin A}{\sqrt{l^2+n^2}}\Big)-\frac{\pi}2$$ 我們尚未計算 $\angle B$ 或 $\cos B$。 $B$ 是 $\longcuv{AB}$ 所在的平面(法向量取為 $(-\sin A,\cos A,0)$, 和平面 $E$ (法向量取為 $(l,0,n)$) 之間的夾角, 因此 ^{5 5} 此處需注意法向量之方向, 否則 $\cos B$ 會差一個負號。 $$\cos B=\frac{-l\sin A}{\sqrt{l^2+n^2}}\qquad(l\lt 0)$$ 由前所得面積等於 $$A+\cos^{-1}\Big(\frac{-l\sin A}{\sqrt{l^2+n^2}}\Big)-\frac{\pi}2=A+B-\frac{\pi}2=A+B+C-\pi\qquad (C=\frac\pi 2)$$

---本文作者為台大數學系退休教授---