一、引言

對於平面幾何, 有些人抱持這樣的看法: 解析幾何的方法出現之後, 平面幾何還有什麼可研究的呢? 若你也這麼認為的話, 不妨參考Morris Kline所寫的「古今數學思想」 (Mathematical Thought from Ancient to Modern Times,1972), 在第 35 章, 「射影幾何學的復興」中, 提到了19世紀, 對幾何學興趣的恢復。

在19世紀的英國和歐洲大陸, 有許多人對平面幾何進行研究, 得到大量的成果, 有興趣的讀者, 可以參考Johnson, R. A.所著的「近代歐氏幾何學」 (Modern Geometry:An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle, 1929)。其中, 「等角共軛點」 (Isogonal Conjugates) 的定義, 給了我極其深刻的印象。

在接下來的文章中, 「角比例表現點」和「角比例共軛點」是本人的原創。 想法的起源是考察重心的重心座標時, 發現「三角形某一角被中線分成兩角的正弦比」 恰好是「此角的兩鄰邊的邊長比」, 聯想到角平分線定理也和邊長比有關, 聯結之後, 得到中線和角平分線的關連性, 即定理 1。 接著, 嚐試將中點和角平分點推廣到邊上的任意點, 由此定義了「角比例表現點」, 發現了隱藏其中的對稱性-角比例表現定理, 即定理 2。 再來, 由「等角共軛點」觀念的啟發, 類比地成功定義了「角比例共軛點」, 即定理 3。 最後, 很自然地推導出「角比例共軛點」和「角比例自共軛點」的重心座標, 即定理 4 和定理 5。

二、本文

首先, 先介紹所謂的「等角共軛點」: 在 $\triangle ABC$ 中, 設 $P_1$、 $P_2$、 $P_3$ 分別在三邊 $\overline{BC}$、 $\overline{CA}$、 $\overline{AB}$ 上, 且 $\overline{AP_1}$、 $\overline{BP_2}$、 $\overline{CP_3}$ 三線共點於 $P$。 分別在 $\overline{BC}$、 $\overline{CA}$、 $\overline{AB}$ 上取點 $Q_1$、 $Q_2$、 $Q_3$, 使 $\angle CAP_1=\angle BAQ_1$, $\angle CBP_2=\angle ABQ_2$, $\angle ACP_3=\angle BCQ_3$, 則 $\overline{AQ_1}$、 $\overline{BQ_2}$、 $\overline{CQ_3}$ 三線共點於 $Q$, $Q$ 就稱為 $P$ 在 $\triangle ABC$ 中的等角共軛點。

上述的事實, 可由Ceva定理的正弦形式加以證明。 關於等角共軛點, 已有不少的研究, 本文不再贅述。 接下來, 真正開始本文的工作:

(一)中線與角平分線

以「平分」的觀點而言, 中線可稱為「邊平分線」; 同時, 不妨將一角的內角平分線和對邊的交點, 稱作此角在邊上的「角平分點」。 透過面積方法, 筆者發現了中線與角平分線的一個連結:

定理1: 如圖 1, $\triangle ABC$ 中, 設 $\overline{AP}$ 為角平分線, $\overline{AM}$ 為中線, $\angle BAM=\theta_1$, $\angle CAM=\theta_2$,

則 $\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\dfrac{CP}{BP}$。

證明: $ \triangle ABC$ 的面積記為 $S_{\triangle ABC}$。

$\because$ $\overline{AP}$ 為角平分線, 可知 $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} =\dfrac{\overline{BP}}{\overline{CP}}$。

$\because$ $\overline{AM}$ 為中線, 可知 $S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ACM}$

$\Rightarrow$ $\dfrac 12{\overline{AB}}\cdot {\overline{AM}}\sin\theta_1= \dfrac 12{\overline{AC}}\cdot {\overline{AM}}\sin\theta_2\Rightarrow$ $\dfrac {\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\dfrac {\overline{AC}}{\overline{AB}} =\dfrac {\overline{CP}}{\overline{BP}}$, 得證。

(二)角比例表現點

中線與角平分線所產生的比例式, 帶來了啟發, 這個比例式的作用, 相當於「將三角形某一角所被分成兩角的正弦比, 轉化成對邊上的邊長比」, 由此, 我作出以下的定義:

定義1: (角比例表現點) $\triangle ABC$ 中, 設 $Q$ 為 $\overline{BC}$ 上一點, $\angle BAQ=\theta_1$, $\angle CAQ=\theta_2$。設 $P$ 為 $\overline{BC}$ 上一點, 滿足 $\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\dfrac{\overline{CP}}{\overline{BP}}$, 則稱「$P$ 為 $Q$ 在 $\overline{BC}$ 上的角比例表現點」。(見圖2)

(三)角比例表現定理

一方面, 從定理 1 可知, 從三角形的某一角出發, 對邊上的「角平分點」, 正是中點在這邊上的 「角比例表現點」; 另一方面, 此角被角平分線分成的兩相等角之正弦比為 1: 1, 而中點恰好將邊分成 1: 1 的邊長比, 由此可知, 中點是角平分點在同一邊上的「角比例表現點」。 結論是, 「在同一邊上, 中點和角平分點互為彼此在這一邊上的角比例表現點」。 這個結論可以推廣到一般的點嗎? 答案是肯定的, 請看以下的定理:

定理2: (角比例表現定理) $\triangle ABC$ 中, $P$、$Q$ 為 $\overline{BC}$ 上兩點, $\angle BAQ=\theta_1$, $\angle CAQ=\theta_2$, $\angle BAP=\theta_3$, $\angle CAP=\theta_4$, 若 $\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\dfrac{\overline{CP}}{\overline{BP}}$, 則 $\dfrac{\sin\theta_3}{\sin\theta_4}=\dfrac{\overline{CQ}}{\overline{BQ}}$。 亦即「若 $P$ 為 $Q$ 在 $\overline{BC}$ 上的角比例表現點, 則 $Q$ 也是 $P$ 在 $\overline{BC}$ 上的角比例表現點」。

證明: \begin{eqnarray*} &\because&\ \dfrac{\dfrac 12\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AQ}\cdot\sin\theta_1} {\dfrac 12\cdot \overline{AC}\cdot \overline{AQ}\cdot\sin\theta_2}= \dfrac{S_{\triangle ABQ}}{S_{\triangle ACQ}}=\dfrac{\overline{BQ}}{\overline{CQ}}\\ &\Rightarrow&\dfrac{\sin\theta_1} {\sin\theta_2}= \dfrac{\overline{BQ}}{\overline{CQ}}\cdot \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} \hbox{(此為角平分線定理的推廣),}\hskip 8cm~\\ &&\hskip -10pt\hbox{同理}\ \dfrac{\sin\theta_3} {\sin\theta_4}= \dfrac{\overline{BP}}{\overline{CP}}\cdot \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}\hbox{。}\\ &&\hskip -10pt \hbox{根據假設有}\ \dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\dfrac{\overline{CP}}{\overline{BP}}\\ &\Rightarrow& \Big(\dfrac{\overline{BQ}}{\overline{CQ}}\cdot \dfrac{\overline{AC}} {\overline{AB}}\Big)=\dfrac{\overline{CP}}{\overline{BP}}\\ &\Rightarrow& \dfrac{\sin\theta_3} {\sin\theta_4}=\dfrac{\overline{BP}}{\overline{CP}}\cdot \dfrac{\overline{AC}} {\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CQ}}{\overline{BQ}},\ \hbox{得證。} \end{eqnarray*}

(四)角比例共軛點

「角比例表現定理」可說是一種相互關係, 此關係具有「對稱性」。 這導致了一個發現, 對於三角形內任一點, 可以透過角比例表現定理, 找到唯一的對應點, 這就是以下的定理:

定理3: (角比例共軛點) $\triangle ABC$ 中, 設 $P_1$、 $P_2$、 $P_3$ 分別在三邊 $\overline{BC}$、 $\overline{CA}$、 $\overline{AB}$ 上, 且 $\overline{AP_1}$、 $\overline{BP_2}$、 $\overline{CP_3}$ 三線共點於一點 $P$。 設 $Q_1$、 $Q_2$、 $Q_3$ 分別為 $P_1$、 $P_2$、 $P_3$ 在 $\overline{BC}$、 $\overline{CA}$、 $\overline{AB}$ 上的角比例表現點, 則 $\overline{AQ_1}$、 $\overline{BQ_2}$、 $\overline{CQ_3}$ 三線共點於一點 $Q$, 稱 $Q$ 為 $P$ 的角比例共軛點。 (見圖3)

證明: $\because$ $\overline{AP_1}$、 $\overline{BP_2}$、 $\overline{CP_3}$ 三線共點, 由角度形式的 Ceva 定理可知 $$\dfrac{\sin BAP_1} {\sin CAP_1}\cdot \dfrac{\sin ACP_3} {\sin BCP_3}\cdot \dfrac{\sin CBP_2} {\sin ABP_2}=1,$$

$\because$ $Q_1$、 $Q_2$、 $Q_3$ 分別為 $P_1$、 $P_2$、 $P_3$ 在 $\overline{BC}$、 $\overline{CA}$、 $\overline{AB}$ 上的角比例表現點

$\Rightarrow\ \dfrac{\overline{CQ_1}} {\overline{BQ_1}}\cdot\dfrac{\overline{BQ_3}}{\overline{AQ_3}}\cdot \dfrac{\overline{AQ_2}} {\overline{CQ_2}}=\dfrac{\sin BAP_1} {\sin CAP_1}\cdot \dfrac{\sin ACP_3} {\sin BCP_3}\cdot \dfrac{\sin CBP_2} {\sin ABP_2}=1$,

由 Ceva 定理的逆定理, 得 $\overline{AQ_1}$、 $\overline{BQ_2}$、 $\overline{CQ_3}$ 三線共點, 證完。

由於「角比例表現定理」是一種對稱關係, 我們可從「角比例共軛點定理」的證明過程中看出, 若 $Q$ 為 $P$ 的角比例共軛點, 則反過來看, $P$ 也是 $Q$ 的角比例共軛點。 可以說, $P$ 與 $Q$ 互為角比例共軛點。 更進一步地, 三角形中的點, 可以透過角比例共軛關係兩兩配對。 回到最初中線與角平分線的關係, 現在我們知道, 重心 $G$ 和內心 $I$ 為一對角比例共軛點, 這是這兩心的一個對稱關係。

(五)角比例自共軛點

是否有這樣的一個點, 本身就是自己的角比例共軛點? 欲回答此一問題, 可先設想, 若存在這樣的點, 則在圖 3 中, $P$ 和 $Q$ 會重合成一點, 從而 $P_1$ 和 $Q_1$ 也會重合成一點。 由此可以得到, $$\dfrac{\sin BAP_1} {\sin CAP_1}=\dfrac{\overline{CQ_1}} {\overline{BQ_1}}=\dfrac{\overline{CP_1}} {\overline{BP_1}}\hskip 1cm~$$ 另一方面, 由角平分線定理的推廣, 知 $$\dfrac{\sin BAP_1}{\sin CAP_1}= %\dfrac{\overline{BP_1}}{\overline{CP_1}}= \dfrac{\overline{BP_1}} {\overline{CP_1}}\cdot\dfrac{\overline{AC}} {\overline{AB}}$$ 結合以上兩式, 可得 $$ \dfrac{\overline{CP_1}} {\overline{BP_1}}=\dfrac{\overline{BP_1}} {\overline{CP_1}}\cdot \dfrac{\overline{AC}} {\overline{AB}}=\dfrac{\overline{BP_1}} {\overline{CP_1}}\cdot \dfrac{b} {c},$$ 即 $$\dfrac{\overline{BP_1}} {\overline{CP_1}}=\dfrac{\sqrt c} {\sqrt b}$$ 同理, $\dfrac{\overline{CP_2}} {\overline{AP_2}}=\dfrac{\sqrt a} {\sqrt c}$, 且 $\dfrac{\overline{AP_3}} {\overline{BP_3}}=\dfrac{\sqrt b} {\sqrt a}$。當然以上的過程, 可以總結成以下的定理:

定理4: (角比例自共軛點) $\triangle ABC$ 中, $\overline{BC}=a$, $\overline{CA}=b$, $\overline{AB}=c\,$。 分別在 $\overline{BC}$、 $\overline{CA}$、 $\overline{AB}$ 上取點 $D$、 $E$、 $F$, 滿足 $\dfrac{\overline{BD}} {\overline{CD}}=\dfrac{\sqrt c} {\sqrt b}$, $\dfrac{\overline{CE}} {\overline{AE}}=\dfrac{\sqrt a} {\sqrt c}$, $\dfrac{\overline{AF}} {\overline{BF}}=\dfrac{\sqrt b} {\sqrt a}$, 則 ${AD}$、 ${BE}$、 ${CF}$ 三線共點於一點 $J$, 此點為本身的角比例共軛點, 稱 $J$ 為「角比例自共軛點」。

證明: $\because$ $\dfrac{\overline{BD}} {\overline{CD}}\cdot\dfrac{\overline{CE}} {\overline{AE}}\cdot\dfrac{\overline{AF}} {\overline{BF}}=\dfrac{\sqrt c} {\sqrt b}\cdot\dfrac{\sqrt a} {\sqrt c}\cdot\dfrac{\sqrt b} {\sqrt a}=1$,

由 Ceva 定理的逆定理, 知 ${AD}$、 ${BE}$、 ${CF}$ 三線共點於一點 $J$。 再由「角平分線定理的推廣」及定理中的設定, 可得 $$\dfrac{\sin BAD} {\sin CAD}=\dfrac{\overline{BD}} {\overline{CD}}\cdot \dfrac bc=\dfrac{\sqrt c} {\sqrt b}\cdot\dfrac bc=\dfrac{\sqrt b} {\sqrt c}=\dfrac{\overline{CD}} {\overline{BD}} ,$$ 根據「角比例表現點」的定義, 此式表示「$D$ 為 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上的角比例表現點」,

同理, $E$、 $F$ 分別為 $E$、 $F$ 在 $\overline{AC}$、 $\overline{AB}$上的角比例表現點,

根據「角比例共軛點」的定義, 可得「$J$ 為 $J$ 的角比例共軛點」, 證完。

在「三角形幾何學」中, 有一套和直角座標相比擬的系統, 叫作「重心座標」:

定義2: 重心座標(Barycentric Coordinates) 給定 $\triangle ABC$, 對於三角形內一點 $P$, 將三角形的面積比 $S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB}=\mu_1:\mu_2:\mu_3$ 稱為點 $P$ 的重心座標, 記為 $P(\mu_1:\mu_2:\mu_3)$ 或 $P(\mu_1,\mu_2,\mu_3)$。

設直線 ${AP}$ 交 ${BC}$ 於 $D$, ${BP}$ 交 ${AC}$ 於 $E$, ${CP}$ 交 ${AB}$ 於 $F$。在決定一個點的重心座標時, 很常用的一個技巧是 $\mu_2:\mu_3=S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB} =S_{\triangle DCA}:S_{\triangle DBA}=\overline{CD}:\overline{BD}$, 將面積比轉化為線段比。

由定理 4, 「角比例自共軛點」 $J$ 的「重心座標」可表示成 $(\sqrt a:\sqrt b:\sqrt c)$, 相較於重心 $G$ 的重心座標 $(1:1:1)$, 以及內心 $I$ 的重心座標 $(a:b:c)$, 我們有理由將「角比例自共軛點」$J$ 視為三角形的「特殊點」, 對其幾何性質進行更深入的研究。

(六)角比例共軛點的重心座標

引入重心座標之後, 很自然的一個問題是, 若給定 $P$ 點的重心座標為 $(x:y:z)$, $Q$ 為 $P$ 的角比例共軛點, 則 $Q$ 的重心座標是否可以 $x$, $y$, $z$ 的具體函數表達? 答案是肯定的, 請看以下的定理:

定理5 [角比例共軛點的重心座標] $\triangle ABC$ 中, 設 $P$ 點的重心座標為 $(x:y:z)$, 且 $Q$ 為 $P$ 的角比例共軛點, 則 $Q$ 點的重心座標為 $(\dfrac ax:\dfrac by:\dfrac cz)$, 其中 $\overline{BC}=a$, $\overline{CA}=b$, $\overline{AB}=c\,$。

證明: 設 $Q$ 點的重心座標為 $(\mu_1,\mu_2,\mu_3)$。 設 $P$ 在 $\overline{BC}$、 $\overline{CA}$、 $\overline{AB}$ 上的垂足分別為 $D$、 $E$、 $F$。 由 $P(x:y:z)$ 可知, $S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB}=y:z\,$。 \begin{eqnarray*} \hbox{注意到 }\mu_2:\mu_3&=&S_{\triangle QCA}:S_{\triangle QAB}\\ &=&\overline{CQ_1}:\overline{Q_1B}\quad\hbox{ (面積比轉化成線段比)}\\ &=& {\sin BAP_1}:{\sin CAP_1} \quad\hbox{(角比例共軛點的性質)}\\ &=& {\sin BAP}:{\sin CAP}\\ &=& ({\overline{PA}\cdot \sin BAP}):({\overline{PA}\sin CAP})\\ &=&\overline{PF}:\overline{PE}\\ &=&\dfrac{S_{\triangle PAB}}{c}:\dfrac{S_{\triangle PCA}}{b}\quad \hbox{(高=面積/底)}\\ &=&\dfrac zc:\dfrac yb\\ &=&\dfrac by:\dfrac cz, \end{eqnarray*} 同理, $\mu_1:\mu_2=\dfrac ax:\dfrac by$, 可得 $Q(\dfrac ax:\dfrac by:\dfrac cz)$, 證完。

在定理 5 中, 取 $P(\sqrt a:\sqrt b:\sqrt c)$, 則 $Q(\dfrac a{\sqrt a}:\dfrac b{\sqrt b}:\dfrac c{\sqrt c})= Q(\sqrt a:\sqrt b:\sqrt c)$, 得 $P=Q$, 從另一個角度再次證明了定理 4。

三、結語

從中線與角平分線的關聯性出發, 定義了「角比例表現點」, 「角比例共軛點」, 最後開發出「角比例自共軛點」。 其中角比例共軛點可視為一種對應關係, 而角比例自共軛點為三角形的特殊點, 都可以作更進一步的探索。

後記

對於數學愛好者而言, 有一部份的人, 是由「平面幾何」燃起了火花。 優美的圖形, 簡明的敘述, 嚴謹的論證, 充滿了吸引力。 入門階段, 在「證明」的過程中, 訓練了我們的數學思維; 但到了一個階段之後, 單純地證明已知的結論, 已無法令人滿意。 更進一步地, 我們會有這樣的期望: 我也能有所發現嗎? 我能證明自己的發現嗎? 本文是作者一番探索之後的心得, 願與有心人分享。 若有不周之處, 尚祈先進予以指正, 不勝感激！

參考文獻

---本文作者任教台北市立第一女子高級中學---