我們想從球面幾何的角度來看正二十面體的存在。 在單位球面上取一個三個角都等於 $2\pi/5$ 的正三角形 $ABC$ (註一)：

這個三角形的面積是 (註二)： $$ 2\pi/5 + 2\pi/5 + 2\pi/5 - \pi = \pi/5. $$

單位球的面積是 $4\pi$, 因此是 $\triangle ABC$ 面積的 20 倍, 現在取 20 個和 $ABC$ 一模一樣的正 (球面) 三角形, 我們要用這二十個「球面磚」鋪在單位球面上, 鋪法如下：

第一步, 從北極出發, 鋪上五個正三角形 (圖二)

由於三角形的角度是 $2\pi/5$, 所以剛好繞北極一圈。

第二步, 延續 1$\sim$5 這五個三角形, 再鋪五個 (圖三)

6$\sim$10 這五個三角形互不相鄰, 之間所缺, 剛好又可以鋪進 11$\sim$15 五個三角形 (圖四)

這 15 個三角形鋪完之後, 已經蓋住了 $3\pi$ 的面積, 剩下的面積由最後 5 個三角形 (16$\sim$20) 負責, 分別接在 11$\sim$15 這五個三角形上, 如圖四, 11、 6、 12 這三個三角形聚於一點 $P$。

再鋪上 16, 17 兩個三角形 (圖五), 由於每一個相鄰的角度都是 $2\pi/5$, 所以剛好兜攏在 $S$點, 16$\sim$20 五個三角形鋪好之後, 因為 20 個三角形的總面積是 $4\pi$, 因此恰好鋪滿單位球面。 換句話說, 16$\sim$20 這五個三角形匯聚於點 $S$, 而點 $S$ 正是南極 (註三)。 同樣的方法也可用來說明正十二面體的存在。

• 註一、 單位球面上的正三角形被角度唯一決定, 請見張海潮《數學傳播 28 卷 1 期, 球面三角形的 AAA 定理》
• 註二、 球面三角形的面積公式請見曹亮吉《阿草的葫蘆, 遠哲科學教育基金會, 第 173 頁》
• 註三、 另一個說法是, 如圖四, 假設南極是 $S$, 則由 $P$, $Q$, $R$, $U$, $V$ 五點 (這五點在同一個緯圓上) 分別向 $S$ 作測地線, 就會得到最後五個角度均為 $2\pi/5$ 的正三角形。

---本文作者為台大數學系退休教授---