摘要:
兒童對進位、退位難以理解, 是因為"位值"的概念不科學。 考察記數法的歷史可以發現, 記數法的發展經歷了一個由不用計數單位, 到採用計數單位, 再到省略計數單位的"否定之否定"的過程; 計數單位是理解"十進位值制記數法"的關鍵; 記數法與記量法是一致的。 小學整數記數法和計算的教學如果按照"數碼---記量法和量的計算---保留計數單位的多位數及其計算---省略計數單位的多位數及其計算"的步驟進行, 將使兒童很容易理解, 並節省大量的教學時間。
關鍵詞:
記數法, 位值制, 計數單位, 記量法。
記數法是最基本的數學知識之一, 它是整數和表示為小數的有理數的集合的基礎, 整數和小數的四則運演算法則都是基於記數法的。
目前世界通用的"十位進位值制記數法"非常巧妙: 只用10個符號就可以把無論多大的數記下來, 十分簡捷, 又便於計算, 因此為世界各國所採用, 成為整個數學的基礎。
通常認為, 這種記數法的最基本的特點就是採用了"位值原則"。所謂"位值原則", 裘光明主編的《數學辭海》所下的定義是:
"同一個數字由於它在所記的數裏的位置不同, 所表示的數也不同。也就是說, 每一個數字除了本身的值以外, 還有一個"位置值"。"
多年來我們一直認為這一困難是無法改變的, "位值"本來是兒童難以理解的。 但是"位值" 這一概念並不是從這一記數法產生時就有的, 而是到近代才提出的, 其目的也是為了說明為什麼同一數字位於不同的"數位"就有不同的值。 既然這一概念如此難理解, 那麼我們能否給出另一種更容易理解的說明呢? 甚至我們有理由懷疑, "位值"的概念是否科學、合理。
記數法是人類最古老的文明之一, 它的演進經歷了漫長的歷史時期。
J. 皮亞傑 (J. Piaget) 有一個重要的觀點: 兒童思維的發展和科學的發展之間存在著類似的發展過程
人類最初的記數法, 按使用的符號的性質, 可大致分為三類。 第一類是用專門的符號來記數的, 古埃及、巴比倫和瑪雅人的記數法都屬於這一類。
| 埃及: |
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| 巴比倫: |
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巴比倫人的文字是刻在泥板上的, 因此呈楔形, 歷史學家稱之為"楔形文字"。有趣的是1和60的符號只有大小的不同。 古埃及的記數法是以10為基的, 巴比倫的記數法則是以60為基的。 瑪雅人的記數法的主要特點是使用了一個專門代表 20 的符號, 形狀像一個人的面部, 並且是以20為基的。 所有這些符號都是特別造出來用於記數的。
第二類是用現成的字母來記數, 古希臘、羅馬、印度的記數法都屬於這一類。
希臘字母有27個, 古希臘人用頭9個字母代表1到9的數, 中間9個字母代表10到90的數, 末9個字母代表100到900的數。
古羅馬人的記數法現在還常用來標順序, 他們只用7個大寫字母記數, 並有一套記數規則: 相同的字母排在一起表示相加; 較小的數排在較大的數的左邊表示相減, 排在右邊表示相加; 在一串數字的右下方加一個 m, 則表示把這個數擴大1000倍。 例如 29635 用古羅馬記數法寫成: XXIX$_{\rm m}$DCXXXV。
M. 克萊因 (M. Kline) 的《古今數學思想》上載有西元前三世紀後印度的一套記數符號:
他認為"這一組記號的出色之處是它給 1 到 9 的每個數都有單獨的記法",
並推測"這種寫法也許是由於以該數名稱的第一個字母來代替它而產生的。"
這兩類記數法的一個共同特點是, 都用重複書寫某一個符號的方法來表示更大的數。 例如要表示500, 就要把表示100的符號寫5次。這種方法有兩個大缺點: 一是書寫很長, 很大的數幾乎難以記數; 二是計算非常困難, 即使專家也很難掌握。
第三類是中國古代的記數法。中國古代的記數法在國外的數學史著作中介紹不多, M. 克萊因的《古今數學思想》完全忽略了中國數學,
他認為"他們的工作對數學思想的主流沒有重大影響。"
前面四個是專門的記數符號, 五、六、七、八、九都是假借字, 即借用漢字來表示數。
如 
原是"午"字。百、千二字來歷不明, "萬"字是"蠆"的初字, 像一個蠍子。
"6"和"100"都有兩種寫法。
十、百、千、萬的倍數的記法如下:
20、30、40的記法是將表示10的符號重寫, 與第一類記數法的記法相同。
但50、70、50$\sim$80的記法則與第一類記數法不同, 明顯是兩個符號的合文。
對比前面的100、1000的記法可看出, 幾百、幾千、幾萬的記法也是合文, 即用1$\sim$9的數字與表示百、千、萬的符號合起來記數,
寫成一個單字, 但讀起來還是兩個音節, 例如殷墟甲骨文"八日辛亥
人"中的數字是二千六百五十六。
與前兩類記數法比較可以發現, 中國古代的記數法與古埃及的記數法雖同為十進, 但在古埃及記數法中, 十、百、千、萬的符號是數字, 而在中國古代記數法中, 這些符號是計數單位。中國古代的記數符號分為兩類: 數字符號和單位符號。 10以上的數要用兩種符號結合起來記, 如"500"記為"五百"不用把"百"的符號連寫五次。 這樣, 不但記數很簡單, 而且計算時只要對相同計數單位的量數作計算就可以了, 所有的計算都歸結為10個數碼的計算, 十分簡便。 在甲骨文中, 數字符號和單位符號是合寫在一起的。以後的記數法已不用合文, 例如記8620為 "八千六百二十"。 除了沒有"零"外, 與現代漢語的記法已沒有什麼區別。
中國很早就有了系統的計數單位, 《國語 $\cdot$ 鄭語》記載史伯對鄭桓公說: "合十數以訓百體, 出千品, 具萬方, 計億事, 材兆物, 收經入, 行
姟極。"
約到西元前二世紀之後, 中國的記數法又有了新的發展, 出現了算籌記數法。 這種記數法由於採用小竹棍來擺數位, 其記數符號與以前的很不相同, 並有縱式和橫式兩種, 記數時縱式和橫式交替使用:
它的一個重大進步是省略了計數單位。例如八萬六千零二十一用算籌擺出來是 
百位上是空位, 不放算籌。
把它與86021比較可以發現, 算籌記數除了沒有數碼0之外, 與現在的十進位值制記數法只有符號不同這一個差別。
可以說, 它就是一種十進位值制記數法。
註
註
算籌記數, 古人有規定: "一縱十橫, 百立千僵。千、十相望, 萬百相當。滿六以上,五在上方。六不積算, 五不單張。"
(《夏侯陽算經》)即用算籌擺數時, 縱式和橫式要交替使用。因算籌用空位表示零, 有時不夠明顯。但若看到兩縱式或兩橫式相鄰, 就知其間有一空位了。}
算籌記數法還有一個優點: 由於大於"5"的數字都包含表示"5"的符號, 所以20以內的進位加法很容易計算, 而對於現代十進位值制記數法來說, 這是小學數學的難點。
由算籌記數法又發展出珠算 (珠算產生的年代已很難確定, 中國有關算盤的記載最早出現在三世紀前後的《數術記遺》一書), 珠算的記數法與算籌記數法基本相同, 但計算速度極快, 是中國古代最優秀的計算工具, 不但至今仍在使用, 它在數學教育上的價值更是寶貴的、難以替代的。
回顧記數法的發展過程我們看到, 記數法經歷了最初不用計數單位, 進而採用計數單位, 最後又省略計數單位這樣一個"否定之否定"的發展過程。 計數單位的使用使記數法科學化, 而此後的省略計數單位不但沒有失去計數單位的作用, 而且使記數法大大簡化了, 達到了完美的地步。 可以說, 計數單位在記數法的發展中起到了決定性的作用。
進一步還可發現, 記數法與記量法是一致的, 計數單位相當於計量單位。 例如長度的記量就是先確定一系列長度單位: 毫米、釐米、分米、米$\cdots\cdots$以及相鄰單位的進率。 如果規定最小單位為釐米, 相鄰單位的進率為10, 則記10米以下的長度時, 也可以像省略計數單位一樣省略長度單位, 例如3米5分米5釐米記為355也是清楚明白的。
這時, 若要把兩個長度相加, 只要對好"位", 就像兩個整數相加一樣。如果兒童明白了這些規則, 他們就懂得了355這個長度中為什麼兩個5所代表的長度不相同, 也不會把1分米5釐米寫成105。
以上的事實和分析啟示我們, 計數單位是理解多位數記數法和四則運算法則的關鍵。 由此我們可以得出, 多位數的認識和四則運算的教學應按以下步驟進行:
1. 首先學習0至9的數碼。
2. 其次學習進率為10的常見量的記量法, 例如貨幣、長度。 記量法比記數法更為具體, 是看得見、摸得著的, 又與兒童的生活實際緊密聯繫, 因此兒童更易理解。 並且學習記量法也為數碼及其計算提供了應用的實例, 使兒童看到數的用處, 增強他們的學習興趣。
3. 再次是學習保留計數單位的多位數及其計算。例如35應先寫作3拾5個, 在計算時也帶著計數單位進行。
4. 最後, 在兒童對這種帶單位的數及其計算已熟悉後, 再學習省略單位的多位數及其計算。
有了第二和第三步的學習, 兒童將很容易理解所謂"位值"和"進位"、"退位"。 實際上"位值"的概念也就不需要了, 而"進位"和"退位"就相當於名數的"聚"和"化"。 原來的抽象性完全不存在了, 變得具體、簡單、明白了。這一改變使整數記數法及其計算的教學真正科學、易懂, 能節省大量時間。 既然"位值"已是不必要的概念, "十進位值制記數法"的名稱也應改變, 比較恰當的名稱或許應該是"省略計數單位的十進記數法。"
參考文獻
---本文作者現任教湖南省第一師範學校教育科學研究所---