"兩角和與差的三角函數" 這一教學內容, 一般教材是以單位圓中由兩點間的距離公式, 推導出 $C_{(\alpha+\beta)}$; 再由誘導公式推出 $C_{(\alpha-\beta)}$、 $S_{(\alpha+\beta)}$、 $S_{(\alpha-\beta)}$, 然後根據正切定義推出 $T_{(\alpha+\beta)}$、 $T_{(\alpha-\beta)}$; 之後, 從一般到特殊, 導出二倍角的正弦、余弦、正切公式。 可以說, 教材如此安排, 邏輯嚴密、推理自然流暢、體系完整, 體現出數學思維的嚴謹性。 不過, 在實際教學中, 教師可以通過合理而精心地設計, 引導學生對這些公式進行探究, 進行充滿趣味的數學活動。 以下是 "兩角和與差的三角函數" 的一個教學設計。
1. $\sin 2\alpha$ 公式的教學 (教師演示、啟發為主)
出示一長方形紙片 (如圖1) , 對角線 $AC$ 長為 2, 長 $AD$ 與 $AC$ 夾角為 $\alpha$, 則 $AD$ 為 $2\cos\alpha$, $CD$ 為 $2\sin\alpha$, 則 $S_{\triangle ACD}=2\sin\alpha\cos\alpha$; 另一方面, $\angle DOE=2\alpha$, $OD=1$, $DE=\sin 2\alpha$, $S_{\triangle ACD}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AC\cdot DE=\sin 2\alpha$。 所以, $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$。
2. $\cos 2\alpha$ 公式的教學 (由學生自主探索)
問題: 你能利用類似的方法推導 $\cos 2\alpha$ 的公式嗎? 學生自主思考並結合小組討論, 若干時間後, 展示所得成果。
方法1: 在圖 1 中, 由 $AD^2=AE\cdot AC$, 得 $(2\cos\alpha)^2=(1+\cos 2\alpha)\cdot 2$, 得 $\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1$; 由 $CD^2=CE\cdot AC$, 得 $\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$。 由 $DE^2=AE\cdot CE$, 可得 $\sin^2 2\alpha+\cos^2 2\alpha=1$。利用 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, 可得 $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$。
方法2: 在圖 1 中, $\cos\alpha=\displaystyle\frac{AE}{AD}=\frac{(1+\cos 2\alpha)}{2\cos\alpha}$, 可得 $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$。 同樣我們可由 $\sin\alpha=\displaystyle\frac{DE}{AD}=\frac{\sin 2\alpha}{2\cos\alpha}$, 得 $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$。 此方法比方法 1 更簡單。
方法3:
如圖 2 所示, 左邊陰影長方形的面積 $S=\cos\alpha\cdot 2\cos\alpha=2\cos^2 \alpha$;
右邊陰影平行四邊形底為 1, 高為 $1+\cos 2\alpha$, 則面積 $S=1+\cos 2\alpha$ 。
圖中長方形與平行四邊形面積相等, 所以 $2\cos^2\alpha=1+\cos 2\alpha$, 即 $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ 。
課後學生可以進一步思考, 還有沒有其他的方法。
3. $\tan 2\alpha$ 公式的教學 (由學生課後自主探索)
由定義及以上公式, 可得 $\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ 。
問題: 你能利用圖形來推導、表示公式 $\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ 嗎?
4. $\sin(\alpha+\beta)$、 $\cos(\alpha+\beta)$ 公式的教學 (由學生自主探索)
方法 2 啟發我們對 $\sin(\alpha+\beta)$ 和 $\cos(\alpha+\beta)$ 的公式進行探索。 給學生足夠的時間思考交流, 然後展示他們的成果。
如圖 3 所示, $\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$, 作 $BD\bot AC$ 交 $AC$ 延長線於 $D$, 則 $\angle BCD=\alpha+\beta$, 作 $CE\bot AB$。令 $BC=1$, 則 $BD=\sin(\alpha+\beta)$, $CD=\cos(\alpha+\beta)$, $BE=\cos\beta$, $CE=\sin\beta$, $AC=\displaystyle\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$, $AE=\displaystyle\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha}$ 。
則 $\sin\alpha=\displaystyle\frac{BD}{AB}$, 即 $\sin\alpha(\cos\beta+\displaystyle\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha}) =\sin(\alpha+\beta)$, 整理得 $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$。
而 $\cos\alpha=\displaystyle\frac{AD}{AB}$, 即 $\cos\alpha(\cos\beta+\displaystyle\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha}) =\displaystyle\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}+\cos(\alpha+\beta)$, 則 $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta +\displaystyle\frac{\cos^2\alpha\sin\beta}{\sin\alpha}-\frac{\sin\beta}{\sin\alpha} =\cos\alpha\cos\beta+\displaystyle\frac{(\cos^2\alpha-1)\sin\beta}{\sin\alpha}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$。
利用誘導公式, 還可以得到 $\sin(\alpha-\beta)$、 $\cos(\alpha-\beta)$ 公式。
問題: 你能利用類似的方法推導 $\sin(\alpha-\beta)$、 $\cos(\alpha-\beta)$ 這兩個公式嗎?
5. $\tan(\alpha+\beta)$、 $\tan(\alpha-\beta)$ 公式的教學 (由學生課後自主探索)
由定義及以上公式, 可得 $\tan(\alpha\pm\beta)=\displaystyle\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ 。
問題: 你能利用圖形來推導、表示這兩個公式嗎?
(註: 例題、練習和小結都略去。以上內容可視具體情況分一至三課時進行。)
這一教學設計的最大特點在於充分利用數形結合, 而一般教材更多地是運用代數運算。 本文以三角函數的定義為基礎, 輔之以直觀圖形, 並利用面積公式和射影定理等, 對公式進行推導。 幾種推導方法之間有聯繫也有變化, 正是這些變化給學生留出了自主探索的空間。 提出有沒有其他方法等問題則拓廣了學生的思維, 讓學生在課後去做進一步的思考。
筆者在文
對教學設計, 我們還可以從知識的聯繫這一角度進行分析。 上述三角函數公式在一般教材中往往是分開來介紹的, 它們之間的聯繫也不是特別緊密; 而在本文中, 它們則是通過數學方法與思維為聯繫, 經由學生的自主探索, 最終作為一個知識整體完整地呈現出來。 所以說, 教師在處理教學內容時, 應深入挖掘與其他數學知識的關聯, 並在教學中通過適當的方式呈現, 讓學生感到數學是有趣的, 是好玩的, 是美的。 當然這種美妙的感受並不能輕而易舉地獲得。如果在教學中, 教師還能適當加入這些公式的歷史, 則可以形成"縱橫交錯"的數學教學, 從而讓學生在比較高的層次欣賞數學。
參考文獻
---本文作者任教中國浙江師範大學數理與信息工程學院---