I、源起

年初，曾看一本科幻小說「大廈」，內容主要是描述詹君為了租房子與其朋友葉君往尋某一建築特別精美的二十層大廈， 該大廈房間的佈局設計甚合詹君的意思，只是奇怪的，整棟大廈除了住有一位管理員之外，空無一人。徵得管理員同意， 詹君便獨自搭上通往頂層的電梯，照常理計算，以一般電梯上升的速度到達第二十層頂樓最多應不超過2分鐘便可， 但是詹君卻花了三十多分鐘。事後調查，並非這部電梯上升的速度較一般的慢，也不是詹君的手錶有問題。 這種不可思議的現象經葉君鍥而不拾的追踪調查與研究，終於真相大白。

原來該座電梯是一群科學家為從事某種試驗而設計的一部改變空間的機器。詹君在電梯未啟動前是立於X空間，一且電梯上升， 經由該電梯的空間變換作用，詹君於是立即轉進另一Y空間，立於原地的葉君這時因而與詹君分別存在於不同的二種空間。 異於我們日常生存空間的空間內，它的許多現象不是用我們的一般見解可說明白的，這自然不在話下。 我們所感興趣的毋寧是能否從數學的觀點來看這部科幻小說的內容的可能性。

II、另一種空間

數學家Poincaré提出一個這樣的幾何:在歐氏平面上，考慮一已予圓$C$(其圓心記為$O$，半徑令為$r$)。

定義:

1. 點:C內的點(如圖1中的$P$)。
   

   

2. 線:與$C$正交的圓(或直線)，取其在$C$內的部分(如圖1中的$L$與$L'$)(註)。
3. 面:$C$的內部。

註:一圓$L$與圓$C$正交於點$A$，乃指過$A$點所作$L$的切線與$C$的切線相互垂直；一直線$L'$與圓$C$正交， 乃指$L'$通過$C$的圓心$O$點。

按照上面有關點、線、面的定義，我們可以證明圓$C$的內部決定了一個非歐空間。不過， 證明之前先復習有關圓的鏡射的一些事事項是有必要的。

1. 歐氏平面上，以$O$為圓心，$r$為半徑的圓$C$，其鏡射的意義是:若$P$是平面上任予點($P≠O$)，在射線$OP$上， 存在唯一的點$P'$滿是$\overline{OP}\cdot \overline{OP'}=r^2$，稱點$P'$是點$P$關於圓$C$的鏡像。(圖2)
   當然，點$P$也是點$P'$關於圓$C$的鏡像。
   

   

2. 承1，過點$P$與點$P'$任一圖$S$必與$C$正交。
   證明:取$A$是$S$與$C$的一個交點，$O'$是$S$的圓心。(圖2)
   由點$P$與點$P'$的關係:
   $\overline{OP}\cdot \overline{OP'}=r^2=\overline{OA}^2$
   $\Rightarrow$直線$OA$是點$O$對$S$的切線
   $\Rightarrow OA\perp O'A$
   $\Rightarrow S$與$C$正交
3. 承1，通過$C$的中心$O$的直線$l$，其關於圓$C$的鏡像是$l$本身。(圖3)
   此由圓的鏡射的意義即得。

現在回到Poincaré幾何空間是一個非歐空間的證明上。

首先，Poincaré幾何是一個關聯幾何(Incidence geometry)，理由是它符合下列的三個關聯公設:

• $A_1$:一線為一點集，至少含有兩點。
• $A_2$:相異兩點含於唯一的線內。
• $A_3$:平面上，至少含有不在一線上的三點。(註1)

其中$A_1,A_3$是明顯的真確，不再多言，要證明的是對Poincaré幾何言，$A_2$也是真確的。

證明:對於相異的兩點$P$與$Q$，

1. 當$P,Q,O$同在圓$C$的一直徑上時，不含兩端點的這條直徑便是Poincaré幾何內包含$P$與$Q$的一線； 假定另有一線包含$P$與$Q$(顯然，這樣的一線不可能也是過$O$的另一直徑)，則此線為某一與圓$C$正交的圓(令為圓$K$) 在$C$內的部分，取$P$關於圓$C$的鏡像$P'$，則$P'$落在圓$K$上，也落在直線$OP$上，如此$P,P',Q$ 不僅落在直線$OP$上， 同時也落在圓$K$上，這是不可能的(見圖4)。
   

   

2. 當$P,Q,O$不同在圓$C$的一直徑上時，因為通過$P,Q$兩點的所有圓形成一組圓心落在線段$PQ$的中垂線上(自由度為1)的圓系， 取點$P$關於圓$C$的鏡像$P'$，則圓系中滿足與圓$C$正交的圓便是唯一存在(因為這樣的圓， 其圓心$K$是線段$PQ$的中垂線與線段$PP'$的中垂線的唯一交點)，因此圓$K$在$C$內的部分便是Poincaré幾何內包含$P,Q$兩點的唯一線 (見圖5)。
   

   

其次，要證明Poincaré幾何是一個羅氏(Lobachevsky)幾何，因為它滿足下面的羅氏平行公設:

過已予線外一點$P$，至少可作兩條此已予線的平行線。

證明(註2):取所予點$P$關於圓$C$的鏡像$P'$，由II-2知

\begin{equation} 過P與P'之任一圓必與C正交 \label{1} \end{equation}

由於過$P$與$P'$的圓的自由度是1，因此這些圓形成一組圓系，這組圓系的圓心軌跡是線段$PP'$的垂直平分線$M$。

現在按下列二種情況分別討論。

1. 當所予線$L$為過$O$點的線時(圖6)，以$P$為焦點，$L$為準線的拋物線為$\Gamma _0$，則$\Gamma _0$與$M$恰有二交點$Q_1$與$Q_2$。 因此，線段$Q_1Q_2$內的任意點$Q$必落在$\Gamma _0$的內部。因而有
   

   

   
   \begin{equation} \overline{QP}\lt d(Q,L)=點Q到L的距離 \label{2} \end{equation}
   因此，以這樣的$Q$點為圓心並且通過點$P$與$P'$的圓顯然有無限多個，且由\eqref{1}知它們與$C$正交，同時由\eqref{2}知它們與$L$不相交。 也就是說，在Poincaré幾何空間內，過$P$點至少有二線不與$L$相交。
2. 當所予線$L$不過$O$點時，由Poincaré幾何中線的定義，知$L$是含在一個與$C$正交的圓上，設該圓的圓心為$O'$, 半徑為$a$。我們又分二種情況分別證明:
   1. 點$P$與點$O$在線上的同側時(圖7)，以點$O'$及點$P$為焦點，$a$為貫軸長的雙曲線令為$\Gamma _+$， 則$\Gamma _+$與$M$恰有二交點$Q_1$與$Q_2$。因此，落在直線$M$上而在線段$Q_1Q_2$外的任意點$Q$必在$\Gamma _+$的外部， 因而有\begin{equation} |\overline{QP}-\overline{QO'}|\gt a \label{3} \end{equation}
      

      

      
      因此，以這樣的$Q$點為圓心並且通過點$P$與點$P'$的圓顯然有無限多個，且由\eqref{1}知它們與$C$正交，同時由\eqref{3}知它們與$L$不相交。
   2. 點$P$與點$O$在線$L$的異側時(圖8)，
      

      

      
      以點$O'$及點$P$為焦點，$a$為長軸長的橢圓令為$\Gamma _-$，則$\Gamma _-$與$M$恰有二交點$Q_1$與$Q_2$。 因此，落在直線$M$上而在線段$Q_1Q_2$內的任意點$Q$必落在$\Gamma _-$的內部，因而有 \begin{equation} \overline{QP}+\overline{QO'}\lt a \label{4} \end{equation}
      因此，以這樣的點$Q$為圓心並且通過點$P$與點$P'$的圓顯然有無限多個，且由\eqref{1}知它們與$C$正交，同時由 \eqref{4} 知它們與$L$不相交。
   綜合1及2知過$P$點至少有二條線不與$L$相交。

所以，Poincaré空間是一個非歐空間。

III、大廈的秘密

回到「大廈」這件事來。

我們設想詹君、葉君以及大廈都是存在於Poincaré空間內，在此空間內，大廈的底層記為$A$點，頂層記為$B$點， 並假定$AB$是落在過$O$點的一條線上(圖9)；另外，又設想改變空間的這部電梯便是關於圓$C$的鏡射$f$。

通過$f$，

\begin{eqnarray*} &令f:& A\to A' \hskip .3cm 由II-3知\\ && B\to B' \hskip .3cm O、B、A、A'、B'共線 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &又由& \left\{\begin{array}{l} \overline{OA}\cdot \overline{OA'}=r^2(5) \\ \overline{OB}\cdot \overline{OB'}=r^2(6) \\ \end{array}\right. 知\\ &&\overline{OA'}\gt r,\overline{OB'}\gt r \end{eqnarray*}

所以，點$A'$，點$B'$落在圓$C$外，因此$A',B'$並不存在於Poincaré空間內，它們是落在歐氏空間內。

原本在$A$處的詹君，由於電梯的啟動，即刻被置換到另一空間內的$A'$處。因此，立於Poincaré空間內的葉君所見到的大廈高度是$AB$， 而經空間改變後的詹君，他所處身的大廈的高度卻是$A'B'$。

\begin{eqnarray*} &由& (5)*\overline{OB'}-(6)*\overline{OA'}\\ &得& (\overline{OA}-\overline{OB})*\overline{OA'}*\overline{OB'}\\ &&=r^2*(\overline{OB'}-\overline{OA'})\\ &\Rightarrow& \overline{AB}*\overline{OA'}*\overline{OB'}=r^2*\overline{A'B'}\\ &由於& \overline{OA'},{OB'}\gt r\\ &故& \overline{AB}\lt \overline{A'B'} \end{eqnarray*} 我們看到，葉君所見到的大廈高度$\overline{AB}$是比詹君所處身經空間變換後的大廈的高度$\overline{A'B'}$小多了。

這就是「大廈」的秘密。

註1:一個關聯幾何，除了須滿足上述的$A_1、A_2、A_3$三個公設外，還須滿足下列三公設:

$A_4$:不共線的三點在一面內，且在唯一的面內。

$A_5$:若一面含一線中的相異兩點，則此面含此線。

$A_6$:若二面共有一點，則必共有另 一點。

由於Poincaré空間實際上只是一個非歐平面，因此文中僅證明它滿足$A_1、A_2、A_3$三個公設，而關於$A_4、A_5、A_6$便毋須提及。

註2:除了這個解析證法之外，底下還列了一個利用初等綜合幾何的證明方法(參見圖10、11、12)。

只考慮以$O$為圓心，以$r$為半徑的圓$C$的內部。

在圖10中所給直線$L$為直徑$A_1A_2$在圓$C$內的部分；在圖11和圖12中直線$L$則為與圓$C$正交的圓弧$\widehat{A_1A_2}$在圓內的部分， 其中$A_1,A_2$為圓弧典圓$C$的交點。

在圖10、11、12中，設$P$為所予點，設線段$PA_1$之中垂線與在$A_1$處的切線的交點為$C_1$， 線段$PA_2$之中垂線與在$A_2$處的切線的交點為$C_2$，則以$C_1$為圓心，$\overline{C_1P}$為半徑的圓與圓$C$正交； 以$C_2$為圓心，$\overline{C_2P}$為半徑的圓亦與圓$C$正交。故這二圓在圓$C$內的部分經過點$P$，並且與所予之線$L$平行。 如果$P,Q$為上述二圓的交點，則$Q$為$P$點關於圓$C$之鏡像(即$\overline{OP}\cdot \overline{OQ}=r^2$)。 直線$C_1C_2$為線段$PQ$的中垂線。在圖10和圖11中，以線段$C_1C_2$上的任何點$C'$為圓心， $\overline{C'P}$為半徑的圓在圓$C$內的圓弧均為與$L$平行；在圖12中，以在直線$C_1C_2$上而在線段$C_1C_2$外的點$C'$為圓心， $\overline{C'P}$為半徑的圓在圓$C$內的圓弧均為與$L$平行的線。(以上的初等證明方法為本文之審核先生所提供)。