32410 徵求最簡答案的回響

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。

★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

數學傳播 97 年 6 月 32 卷 2 期 p.86

問題:

已知三直線 $l_1$ 、 $l_2$ 及 $m$, $A$ 、 $B$ 分別是 $l_1$ 、 $l_2$ 上的定點。 今問: 能否用尺規作圖的方法在 $l_1$ 與 $l_2$ 上分別找到點 $C$ 及 $D$, 使得 $CD$ 平行 $m$, 且 $\triangle ACE$ 及 $\triangle BDE$ 兩者的面積相等?

上述問題乃源於下面這一現實問題, 因此頗有應用價值:

甲 、 乙二屋平行同向且分別座落在相鄰的兩塊土地上, $AB$ 是地政所鑑定的土地界線。 兩屋主人都同意要另找一條界線, 它能夠與屋子平行同向且保持兩人原有的土地面積不變。

上面鑑界現象在農村相當普遍。

附: 作者提供台幣三千元獎勵提出最簡答案者。

編輯部11月12日寄來資料,共有八位應徵者,其中有教授、博士生、高中教師、高中生與國中生。 回應情況雖算不上熱烈,也足堪欣慰,令人想起季刊創刊初期興起的那股問題的討論熱潮。 對照現今紛擾的社會氛圍,$\langle\langle$徵題$\rangle\rangle$的回應又隱然讓人嗅得那道一直存在的沉靜的理性之光。 在所有的應徵中,出現的最簡答案是:

欲找之直線 $CD$,其與直線 $m$ 之間距是點 $A$ 與點 $B$ 兩者至 $M$ 的距離的幾何均數。 (請見原問題,登於32卷2期)

哇! 這答案是如此簡潔明白。它來自張海潮教授的應徵文裡:

數學傳播 97 年 6 月 32 卷 2 期 p.86 的圖。

我們假設直線 $m$ 是水平的, 亦即斜率為 0, $l_1$, $l_2$ 的交點是原點 $O$ ($l_1$ 如果平行 $l_2$, 問題很簡單, 不必討論), $A=(a, b)$, $B=(c, d)$

問題: 求作點 $C$, $D$ 使 $\overline{CD}$ 水平, 並且 $\triangle DOC=\triangle BOA$ (面積相等)。

解答: 取 $y$, 使 $y^2=bd$, 則有 $v=y$ 並且 $x=\displaystyle\frac{y}{b}a$, $u=\displaystyle\frac{y}{d}c$ \begin{eqnarray*} \triangle DOC &=& \frac{1}{2} \left | \begin{array}{cc} u & ~v \\ x & ~y \end{array} \right |\\ &=& \frac{1}{2} \left | \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{yc}{d} & ~y \\ [8pt] \displaystyle\frac{ya}{b} & ~y \end{array} \right | = \frac{1}{2} y^2 \Big (\frac{c}{d} - \frac{a}{b}\Big ) \\ [5pt] &=& \frac{1}{2} bd \Big (\frac{c}{d} - \frac{a}{b}\Big ) =\frac{1}{2}(bc-ad) = \triangle BOA. \hskip 3cm \end{eqnarray*}

至於作 $y$ 使 $y^2=bd$, 是簡單的, 此處略去。

感謝所有的應徵者,感謝編輯部提供的機會。

---本文作者為國立科學園區實驗高中退休數學教師---