18301 Leibniz 如何想出微積分?

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。

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一. 引言

Leibniz (1646-1716) 在1714 年發表一篇文章叫做“Historia et origo calculi differentialis” (即微分學的歷史與根源), 簡述他發明微積分的整個故事, 開頭就這樣寫著:

對於值得稱頌的發明, 了解其發明的真正根源與想法是很有用的, 尤其是面對那些並非偶然的, 而是經過深思熟慮而得的發明。展示發明的根源不光只是作為歷史來了解或是鼓舞其他人, 更重要的是透過漂亮的發明實例, 可以增進吾人發明的藝術, 並且發明的方法也可公諸於世。 當代最珍貴的發明之一就是一門新的數學分析叫做微分學的誕生。 它的內涵已有足夠的解說, 但是它的根源與動機卻少為人所知悉。 它的發明幾乎已經有四十年的歷史了$\ldots$。

然後 Leibniz 說出他發明微積分的根源就是差和分學。在他的一生當中, 總是不厭其煩地解釋著這件得意的傑作。差和分與微積分之間的類推關係, 恆是 Leibniz 思想的核心。從他的眼光看來, 兩者在本質上是相同的。一方面, 差和分對付的是離散的有限多個有限數; 另一方面, 微積分對付的是連續地無窮多個無窮小。因此, 微積分若少了差和分就好像「 Hamlet」 劇本少了丹麥王子一樣。

二. 生平簡述

Leibniz 在 1646 年誕生於德國的 Leipzig (萊比鍚) 。 他父親是萊比錫大學的法學與道德哲學的教授。 當他 6歲時, 父親就去世了。因此少年的 Leibniz 在學習的路途上幾乎沒有 人指引他。這個小男孩所有的就是父親留給他的一個書的世界。一位聰慧而早熟的孩子, 在約 8歲時就自學拉丁文, 12歲時開始學希臘文。 這使得他沒有什麼困難就可以使用父親遺留下來的豐富的圖書館。泡在書海中, 使他獲得了廣泛的古典作品之知識。他有能力 閱讀幾乎所有的書, 閱讀變成終身的興趣, 這使他也讀了大量的壞書。後來 Leibniz寫道:

當我還很年輕時, 就開始認真思考各種問題。 在15歲之前, 我常常獨自一個人到森林中去散步, 比較並且對照 Aristotle 與 Democritus 的學說。

Leibniz在15歲時進入萊比錫大學就讀, 選讀了宗教、哲學及初等算術, 也聽了歐氏幾何的課, 不過對幾何他並沒有投入。 他試圖自己研讀 Descartes 的解析幾何學, 但是對他來說似乎難一點。在17歲時, 他提出一篇哲學論文, 而得到學士學位。那年夏天他到 Jena 大學參加數學班, 然後又回萊比錫大學攻讀邏輯、哲學與法律, 次年就得到碩士學位。20歲寫出一篇優秀的組合學論文, 但是由於他太年輕以致於萊比錫大學拒絕頒授給他博士學位。於是他轉到 Nuremberg 的 Altdorf 大學, 並且在1667年(21歲)得到哲學博士學位。

完成學院工作後, 他進入政治界, 服務於 Mainz 政府。在1672年到1676年這段期間, 由於外交任務的關係, 他被派往法國的巴黎。 在巴黎他遇到了當時歐洲大陸最有學問的 Huygens(1629-1695), 激起他對數學的熱情, 並且創造了微積分, 使得在巴黎的四年成為他一生當中數學原創性的顛峰時期 (the prime age of creation), 比美於Newton的1664-1666年這段時間。

Leibniz在1680年給朋友的信裡, 回憶他在1673年於巴黎遇到Huygens時所受到的啟發, 他說:

那時我幾乎沒有多少時間研讀幾何。Huygens 給我一本他剛出版的關於單擺的著作。 當時我對於 Descartes (笛卡兒)的解析幾何與求面積的無窮小論證法一無所知, 我甚至不知道重心的定義。事實上, 有一次跟 Huygens 討論時, 我誤以為通過重心的任何直線必將面積平分為二, 因為這對於正方形、圓形、橢圓形以及其它某些圖形顯然都成立。聽到我的話, Huygens 開始笑了起來, 他告訴我沒有什麼東西能夠超越真理的。受到這個啟發, 我非常興奮, 在未徹底讀過歐氏幾何的情況下, 我開始研讀高等幾何$\ldots$。 Huygens 認為我是一個好的幾何學家, 比我自估的還要好。 他又交給我 Pascal 的著作, 要我研讀。從中我學到了無窮小論證法、 不可分割法以及重心的求法。

巴斯卡的著作給 Leibniz 打開了一個新世界, 讓他靈光一閃, 突然悟到了一些道理, 逐漸地經營出他的微積分理論。

Leibniz在1676年回到德國, 於Hanover地方當政府的顧問與圖書館長, 長達四十年之久。雖然他的職業是律師與外交官, 但是他多才多藝, 對各方面的學問都有極濃厚的興趣, 並且以哲學家的身份聞名於世。由於他的極力鼓吹, 柏林科學院才得以在1700年成立。

三. 偉大的夢想

Leibniz曾回憶說:

我小時候學邏輯, 就開始養成對所學的東西作挖深的思考習慣。

他一生持久而不變的目標是追尋一種普遍的語言(universal language)與普遍的方法, 使得可以統合地處理各式各樣的問題。 研究Leibniz的學者J.E. Hofmann(1899-1972)說:

Leibniz熱情地, 全心全力地收集與吸收能夠到手的所有知識, 然後給予新的大綜合(grand new synthesis), 變成統一的整體。

Leibniz說:

我有滿腦子的主意(ideas), 如果能有更厲害的人深入去經營, 將他們美妙的靈心與我的勞苦結合起來, 會是很有用的。

他在1666年(當時20歲)寫出“組合學的藝術”(Art of combinatorics)之論文。 在前言中他預測這門新知識可以延拓應用到邏輯、歷史、倫理學、形上學, 乃至整個科學。他又說:

假設我們可以用一些基本的字來表達人類的思想, 因此可以想像有一系列的字, 各代表了簡單的概念, 那麼任何複雜的概念都可以用這些字組合起來。 從而奇妙的“發明術”(the Art of invention)就變成可能了: 即所有可能的概念與命題都可以機械地產生。 據此我們不但可以探討已知, 而且也可以追尋未知, 進一步從事更深刻的研究。

這個美麗的夢想在Leibniz心中盤據了一輩子。事實上, 這只是古希臘哲學家Democritus所創立的原子論(atomism)的延伸與翻版。 Democritus主張宇宙的森羅萬象最終都可以化約成原子及其在空間中的運動、 排列與組合, 這是多麼美妙的想像。除了在物理學與化學上產生深遠的影響之外, 在方法論(methodology)上, 也開啟了分析與綜合的方法。 追究事物的組成要素就是分析法, 反過來由組成要素組合出事物就是綜合法。 孫子在他的兵法中, 說得更生動:

聲不過五, 五聲之變, 不可勝聽也; 色不過五, 五色之變, 不可勝觀也; 味不過五, 五味之變, 不可勝嘗也; 戰勢不過奇正, 奇正之變, 不可勝窮也; 奇正相生, 如循環之無端, 熟能窮之哉!
Leibniz也夢想著要建立一套普遍的數學, 他稱之為“Characteristica Universalis”, 使得思想也可以化約成計算。他解釋說:
如果有了這樣的數學, 那麼我們探討形上學與道德規範時, 就可以如同幾何學與分析學之論證推理一般。兩個哲學家萬一發生意見衝突, 他們的爭吵就不會嚴重過兩個會計員, 這時只需拿起筆, 平心靜氣地坐下來, 然後互相說(必要的話可找個證人):讓我們計算一下。

Leibniz對於發明術一直深感興趣, 他說:

沒有什麼東西比看出發明的根源更重要, 我認為這比發明出來的東西更有趣。

他計劃寫一本書來探討發明術, 可惜從未實現。 發明術也許只是人類永遠無法實現的一個夢想, 好像是往昔的煉金術(發財夢)、 煉丹術(長生夢)、永動機夢、煉預測未來術, 以及近年來的煉基因術(algeny)一樣。 人類需要有夢想, 今日所證實的, 也許就是過去的夢想。 煉金術與煉丹術促成了化學的誕生, 而煉發明術呢?它也產生了非常豐富的成果, 例如認知科學(cognitive science)、發明的心理學、人工智慧, 大腦的思考機制之研究, Polya(1888-1985)關於數學的解題(problem solving) 與猜測式推理(plausible reasoning)之精闢研究, 以及近代科學哲學(philosophy of science) 一改以往只重科學知識的“邏輯驗證”(the logic of justification) 而變成以“發現的理路”(the logic of discovery)為中心, 專注於知識的成長與演化機制(the growth and evolutional problem)之探討, 科學革命的結構之研究(Thomas Kuhn)$\ldots$等等。
Leibniz認為:

世界上的所有事情, 都按數學的規律來發生。

這種深刻的“自然的數學觀”比美於 Galileo (1564 -1642)的名言:

“自然之書是用數學語言來書寫的”
。據此, Leibniz提倡世界的先定和諧論(pre-estabilished harmony), 並且論證這個世界是所有可能世界中最好的一個(the best of all possible worlds), 這是極值問題的一個應用。Einstein(1879-1955)說:
渴望窺探這個先定和諧的自然結構, 是科學家不竭的毅力與恆心的泉源。

Leibniz更有一顆敏銳的“妙悟靈心”, 他早年就對這個世界感到驚奇而問道:

為什麼是存有而不是沒有呢?} (Why is there something instead of nothing?)

接著再問:

那裡存在的是什麼? (What is there ?)

對這些玄奧飄渺的問題深具興趣, 正是“哲學心靈”的明證。古人提出了許多答案, 例如原子論, 畢氏學派的萬有皆數$\ldots$等等。Leibniz提出了單子論(the theory of monads), 單子是構成宇宙的至微單位, 反映著大千世界, 這恰是微積分中無窮小概念的抽象翻版。 在方法論(methodology)上, Leibniz強調充足理由原理(the principle of sufficient reason): 沒有東西是沒有理由的(nothing is without reason); 以及連續性原理(the principle of continuity), 他說:

沒有東西是突然發生的, 自然不作飛躍, 這是我的一大信條。

連續性原理有廣泛的解釋, 例如從差和分連續化變成微積分就是一個好例子。另外, 數學家Cauchy(1789-1857)根據連續性原理宣稱, 連續函數列的極限函數仍然是連續的, 並且給出了一個錯誤的證明。 後來才發現“均勻收斂”(uniform convergence)必足以保證極限函數之連續性。

四. 差和分學從Pascal三角到Leibniz三角

在1672年春天, Leibniz抵達巴黎, 他的第一個成就是發現求和可以用求差來計算, 即用減法可以求算加法。 後來他曾描述他為何會想到差分以及差分的差分(即二階差分)等等的概念, 並且強調差分扮演著他的所有數學思想的主角。在邏輯中, 他徹底地分析真理, 發現終究可化約成兩件事:定義與恆真語句(indentical truths)。反過來, 由恆真語句就可推導出豐碩的結果。他舉數列為例來展示:由$A=A$或$A-A=0$出發, 可得$$A\!\!-\!\!A\!+\!B\!\!-\!\!B\!+\!C\!\!-\!\!C\!+\!D\!\!-\!\! D\!+\!E\!\!-\!\!E\!=\!0$$ $$\hbox{即}\ A\!\!-\!\!(A\!\!-\!\!B)\!\!-\!\!(B\!\!-\!\!C) \!\!-\!\!(C\!\!-\!\!D)\!\!-\!\!(D\!\!-\!\!E)\!\!-\!\!E\!=\!0$$ $$\hbox{令}\ A\!\!-\!\!B\!=\!K,\ B\!\!-\!\!C\!=\!L,\ C\!\!-\!\!D\!=\!M,\ D\!\!-\!\!E\!=\!N,$$ 則得 $$ A-K-L-M-N-E=0$$ $$K+L+M+N=A-E$$ 亦即差之和等於第一項與最後一項之差。 換言之, 給一個數列$v=(v_k)$,考慮接續兩項之間的差 $$v_{k+1}-v_k=u_k$$ 所成的數列$u=(u_k)$, 叫做(右)差分數列(還有左差分, 同理可討論), 那麼顯然有 $$\eqalign{\sum^n_{k=1}u_k =&(v_{n+1}\!\!-\!\!v_n)\!\!+\!\!(v_n\!\!-\!\!v_{n-1})\cr &+\ldots+(v_2-v_1)\cr =&v_{n+1}-v_1\cr}$$ 採用登山的解釋就很明白了: 想像山路鋪成台階, 每一階相對於地面的高度為$v_1$, $v_2$, $\ldots, v_{n+1}$, 而階差高度為$u_1, u_2, \ldots, u_n$, 那麼從甲地登到乙地共昇高 $$u_1+u_2+\ldots+u_n=\sum^n_{k=1}u_k$$

另一方面這又等於$v_{n+1}-v_1$, 參見下圖1.

圖1

例子: 考慮立方數列及其各階差分數列:

$$0,1,8,27,64,125,216,\ldots$$ $$1,7,19,37,61,91,\ldots$$ $$6,12,18,24,30,\ldots$$ $$6,6,6,6,\ldots$$ $$0,0,0.\ldots$$

由此我們立即讀出

$1+7+19+37+61=125-0=125,$ $7+19+37+61+91=216-1=215,$ $6+12+18+24+30=91-1=90,$ $12+18+24+30=91-7=84$。

Leibniz 發現這個規律, 覺得非常新奇、美妙, 像小孩子玩積木一樣興奮不已。進一步, 他研究 Pascal 三角(1654年, 又叫算術三角)。Pascal 三角是作為開方、二項式展開、 排列組合與機率之用, 參見[2], Leibniz 卻從中玩索出差和分的道理。下面我們列出 Pascal 三角常見的三種排法:

(I)

1
1  1
1  2  1
1  3  3  1
1  4  6  4  1
1   5  10 10  5  1
......................

(II)

1
11
121
1331
14641
15101051
.................................

(III)

111111$\cdots$1是萬數之源
123456$\cdots$自然數
136101521$\cdots$三角形數
1410203556$\cdots$角錐形數
15153570126$\cdots$
$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\vdots$

問題: 請說明上述 Pascal 三角的構成法。 在(II)的排列法中, 斜對角線上的數相加, 所得到的數恰好構成費氏數列(Fibonacci sequence): $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \cdots$$ 這個數列含有許多美妙的性質, 我們不預備講述。 由(III) 的排列法中, Leibniz 立即讀出許多關於行或列求和的結果, 例如 $$\eqalign{&3+6+10+15\cr =&(4\!-\!1)\!+\!(10\!-\!4)\!+\!(20\!-\!10)\!+\!(35\!-\!20)\cr =&35-1=34\cr} $$ 同理 $$10+20+35+56=126-5=121\hbox{。}$$ Leibniz 在巴黎遇到 Huygens 時, 對 Huygens 描述他用求差來求和的結果, Huygens 立 即建議他做下面富於挑戰性的問題。 問題: (Huygens 問題)求無窮級數之和 $$\sum^\infty_{k=1}{2\over k(k+1)}={1\over 1}+{1\over 3}+\cdots+{1\over {k(k+1)/2}}+\cdots (1)$$ 這個問題涉及無窮多項的相加, 它源自計算某種賭局(a game of chance)的機率。 這個級數每一項的分母恰是畢氏學派“形數” (figurate numbers)中的三角形數:

因此, 級數(1)就是三角形數的倒數之和。Leibniz立即就求得這個和:因為 $${2\over k(k+1)}={2\over k}-{2\over k+1}$$ 所以首$n$項之和為 $$\eqalign{S_n=&\sum^n_{k=1}{2\over k(k+1)}\cr =&\sum^n_{k=1}({2\over k}-{2\over k+1})\cr =&2-{2\over n+1}\cr}$$ 從而 $$\sum^\infty_{k=1}{2\over k(k+1)}=\lim_{n\to \infty}(2-{2\over n+1})=2 \hbox{。}$$ 我們在機率史的文獻上查不到Huygens的機率問題, 不過我們倒有下面相關的例子: 一個袋子裝有一個白球及一個黑球, 從中任取一個球, 若得白球就停止; 若得黑球, 則再填加一個黑球到袋中, 變成兩黑一白, 再任取一球, 若得白球就停止; 若又得黑球, 別再添加一個黑球到袋中, 變成三黑一白, 如此繼續下去, 那麼第一回合得白球的機率為${1\over 2}$, 第二回合得白球的機率為${1\over 2}\times{1\over 3}$, 第三回合得白球的機率為${1\over 2}\times{2\over 3}\times{1\over 4}={1\over 3}\times{1\over 4}$, $\cdots$等等, 故終究得白球的機率為 $${1\over 2}\!+\!{1\over 2\times3}\!+\!{1\over 3\times 4}\!+\!\cdots\!+\! {1\over k(k+1)}\!+\!\cdots\!=\!1\hbox{。}$$ Leibniz解決了Huygens問題後, 進一步模仿Pascal三角, 建構一個今日所謂的“調和三角”(harmonic triangle)或Leibniz三角, 一口氣解決了更多求無窮級數和的問題。 調和三角是這樣做成的:第一行排上調和數列, 第二行依次排上第一行的前項減去後項之差, 以後就按此要領做下去, 結果如下:

${1\over 1}$ ${1\over 2}$ ${1\over 3}$ ${1\over 4}$ ${1\over 5}$ ${1\over6}$ ${1\over 7}$ $\cdots$
${1\over 2}$ ${1\over 6}$ ${1\over 12}$ ${1\over 20}$ ${1\over 30}$${1\over 42}$ $\cdots$
${1\over 3}$ ${1\over 12}$ ${1\over 30}$${1\over 60}$ ${1\over 105}$$\cdots$
${1\over 4}$ ${1\over 20}$ ${1\over 60}$ ${1\over 140}$$\cdots$
${1\over 5}$ ${1\over 30}$ ${1\over 105}$$\cdots$
$\vdots$ $\vdots$$\vdots$

由此調和三角可以讀出 $${1\over 2}+{1\over 6}+{1\over 12}+{1\over 20}+{1\over 30}+\cdots=1$$ 從而Huygens問題的答案是 $${2\over 2}+{2\over 6}+{2\over 12}+{2\over 20}+\cdots+{2\over k(k+1)}+\cdots=2$$ 另外我們也可以讀出 $${1\over 3}+{1\over 12}+{1\over 30}+{1\over 60}+\cdots={1\over 2}(2)$$ $${1\over 4}+{1\over 20}+{1\over 60}+{1\over 140}+\cdots={1\over 3}(3)$$ 等等。將(2)式乘以3就得到角錐形數的倒數之和: $${1\over 1}+{1\over 4}+{1\over 10}+{1\over 20}+\cdots={3\over 2}$$ 將(3)式乘以4就得到 $${1\over 1}+{1\over 5}+{1\over 15}+{1\over 35}+\cdots={4\over3}$$ 同理也可得 $${1\over 1}+{1\over 6}+{1\over 21}+{1\over 56}+{1\over 126}+\cdots={5\over4}$$

Descartes說得好:

由一個例子的考察, 我們可以抽取出一條規律。 (From the consideration of an example we can form a rule.)

換言之, 一個好的例子往往能夠反映出一般規律, 即特殊孕育出普遍, 或所謂的“一葉知秋”、“見微知著”的意思。 我們由上述例子歸結出求和的共通模式(pattern): 定理1: (差和分根本定理) 對於給定的一個數列$u=(u_n)$, $n=1,2,\cdots$, 如果可以找到另一個數列$v=(v_n)$ , 使得 $$u_n=v_{n+1}-v_n$$ 那麼就有 $$\sum^b_{n=a}u_n=v_{b+1}-v_a (4)$$ 其中$a,b \in {\Bbb N}$ 且$a\lt b$。 我們引入適當的概念與記號: 定義: 設 $c=(c_n)$ 為一個數列, 令數列 $\Delta c$ 為 $(\Delta c)_n=c_{n+1}-c_n$(簡記為$\Delta c_n$)。 我們稱$\Delta c$為數列$c$的(第一階)差分, $\Delta$為 差分算子。$\sum\limits^b_{n=a}c_n$叫做定和分(簡稱和分)。 因此, 定理1引出了兩個基本問題:

  • (i)研究差分算子$\Delta$在運算上的基本性質。
  • (ii)已知一個數列$u=(u_n)$, 求另一個數列$v=(v_n)$使得$u=\Delta v$。
第一個問題很容易, 在此從略。其次, 利用(i), 第二個問題原則上也不難。在$u=\Delta v$中, 我們稱$v$為$u$的反差分數列或不定和分。事實上, 已知數列$u=(u_k), k=1,2,\cdots$定義一個新數列$b=(b_n)$如下: $$b_n=\sum^{n-1}_{k=1}u_k(5)$$ 則易驗知$b=(b_n)$滿足 $$u=\Delta b$$

換言之, $b=(b_n)$就是$u=(u_n)$的一個不定和分。顯然, $u$的不定和分不唯一, 可以無窮多個(例如(5)式再加上任意常數都還是$u$的不定和分), 但是任何兩個不定和分只差個常數。 對這一切作深入而有系統的研究就是差和分學的內容(包括差分方程)。 差和分的學習對於微積分的了解非常有助益, 因為兩者不過是離散與連續之間的類推與觀照而已。離散的差和分簡單明瞭, 再連續化就得到了微積分。一般微積分教科書往往有如下的缺點:忽略差和分學, 或類推與連續化處理得不好。

五. Leibniz如何看出微積分學根本定理

甲. 從差分到微分

考慮函數$y=F(x), x\in[a,b]$, 作$[a, b]$的分割

$a=x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_{n+1}=b$

得到差分$\Delta x_k\!=\!x_{k+1}\!-\!x_k$與$\Delta F(x_k)\!=\!F(x_{k+1})$ $-F(x_k), k=1,\cdots,n$。 Leibniz想像(或根據他的連續性原理, principle of continuity), 讓分割越來越細密, 乃至作無窮步驟的分割, 使每一小段都變成無窮小(infinitesimal), 於是 差分$\Delta x_k$變成微分$dx(\Delta$改為$d$且丟棄指標$k$) 其中$dx$表示無窮小, 它不等於0並且要多小就有多小。從而 差分$\Delta F(x_k)=F(x_{k+1})-F(x_k)$ 變成微分$dF(x)=F(x+dx)-F(x)$ $dF(x)$表示獨立變數$x$變化 $dx$時, 相應函數值的無窮小變化量。 換言之, 微分是差分在無窮小時之類推。 Leibniz在1684年首次給出微分的概念與記號, 以及如下的演算公式:

例1. 設$F(x)=x^n$則$dF(x)=nx^{n-1}dx$。 Leibniz的論證是這樣的: $$\eqalign{dF(x)=&F(x+dx)-F(x)\cr =&(x+dx)^n-x^n\cr =&nx^{n-1}dx\!+\!\!\ _nC_2x^{n-2}(dx)^2\cr &+\cdots+\ _nC_n(dx)^n\cr}$$ 因為第二項之後都含有$dx$的高次項, 這些都是比$dx$還高階的無窮小, 棄之可也, 所以 $dF(x)=dx^n=nx^{n-1}dx\hbox{。}$ 特別地, $dx^3=3x^2dx, \qquad dx^2=2xdx\hbox{。}$

定理2. 設$u=u(x)$與$v=v(x)$為兩函數, $a$與$c$為常數, 則有 (i) $d(c)=0$ (ii) $d(au)=adu$ (iii) $d(u\pm v)=du\pm dv$ (iv) $d(u\cdot v)=udv+vdu$ (v) $d({u\over v})=\displaystyle{vdu-udv\over v^2}$ 上述(iv)今日叫做Leibniz規則。

例2. 若$u=x^{-n}$, 則$du=-nx^{-n-1}dx$, 若$u=x^{m/n}$, 則$du={m\over n}x^{(m/n)^-1}dx$。 只要知道一些基本函數的微分公式, 透過定理2就可以求得更複雜函數的微分公式。 這就是原子論“以簡御繁”的方法。微分的演算, 在Leibniz之前都是個案的處理, 之後就有了全盤系統化的處理辦法, 這就是進步。 Leibniz利用微分來求函數$v=v(x)$的極值, 其方法是解方程式$dv=0$。 他也引入二階微分的概念與演算, 並且利用二階微分$ddv=0$的條件來求反曲點(point of inflection)。

乙. 從和分到積分

數列$u=(u_k)$與函數$y=f(x), x\in[a,b]$, 都是“函數”, 一個定義在自然數集${\Bbb N}$上, 一個定義在區間$[a,b]$上, 因此兩者分別是離散(discreteness)與連續(continuity)之間的類推。 和分(summation)探究數列的求和$\sum\limits^n_{k=1}\!\!u_k$ 問題, 積分探求函數圖形在$[a, b]$之上所圍成的面積, 見下圖2。兩者具有密切的關係。

圖2

首先觀察到, 和分可以解釋為下面圖3之柱狀圖的面積。

圖3
其次將函數$y\!=\!f(x)$離散化$:$ 作區間$[a, b]$的分割 $x_1=a\lt x_2\lt x_3\lt \cdots\lt x_n\lt x_{n+1}=b$ 考慮和分$\sum\limits^n_{k=1}f(x_k)\Delta x_k$, 其幾何意義就是下圖4諸矩形所成的陰影面積, 它是圖2的近似面積。
圖4

現在想像將$[a, b]$分割成無窮多段的無窮小段 $dx$(即微分), 想成是差分$\Delta x_k=x_{k+1}-x_k$的極致(參見圖2), 然後考慮無窮小矩形的面積$f(x)\cdot dx$, 從$x=a$連續地累積到$x=b$。這樣的求和跟和分有關但卻不同, 為了區別起見Leibniz在1686年首度將記號$\sum$改為$\int$。理由是: S表示求和Sum的第一個字母, 將$S$稍微拉伸變成$\int$, 表示連續地求和。因此, 就用美妙的記號$\int^b_af(x)dx$來表示圖2陰影領域的面積, 說成$f$在$[a, b]$上的積分。換言之, 陰影領域的面積就是無窮多個無窮小矩形面積的連續求和, 即定積分(definite integral)。 Leibniz進一步把積分$\int$看作是微分$d$的逆運算, 例如由公式 $$d({1\over 3}x^3)=x^2dx$$ 就得到 $$\int x^2dx=\int d({1\over 3}x^3)={1\over 3}x^3\hbox{。}$$ 一般而言, $$\int dF(x)=F(x)\hbox{。}$$ Leibniz說:像乘方與開方, 和分與差分, $\int$ 與 $d$ 是互逆的。

丙. 從差和分根本定理到微積分根本定理

如何求算積分$\int^b_af(x)dx$呢? 這是一個千古大難題。Archimedes利用窮盡法(the method of exhaustion), 只會算出 $$\int^a_0x^2dx={1\over 3}a^3\hbox{。}$$ Cavalieri(1598-1647)利用不可分割法或無窮小法 (the method of indivisible and infinitesimal)求得 $$\int^a_0x^ndx={1\over n+1}a^{n+1},\quad n=1,2,\cdots,7$$ Fermat(1601-1665)利用動態窮盡法求得 $$\int^a_0x^{m/n}dx={n\over m+n}a^{(m+n)/n}$$ 這些都是個案解決, 而且都算得相當辛苦。 Leibniz有了微分與積分互逆的觀點, 以及差和分根本定理, 很快就看出“吾道一以貫之”的微積分根本定理, 利用微分法普遍而系統地解決求積分的難題。這是微積分史, 乃至人類文明史上的偉大時刻(the great moment)。 Leibniz將他的發現在1693年發表。 考慮函數$y=F(x), x\in[a,b]$。作$[a, b]$的分割: $$a=x_1\lt x_2\lt x_3\lt \cdots\lt x_n\lt x_{n+1}=b$$ 由差和分根本定理知 $$\sum^n_{k=1}\Delta F(x_k)=F(b)-F(a)(6)$$ 或者 $$\sum^n_{k=1}{\Delta F(x_k)\over \Delta x_k}\Delta x_k=F(b)-F(a)(7)$$ 現在讓分割不斷加細, 使每一小段都變成無窮小, 將$\Delta$改為$d$, $\sum$改為$\int$(記號變形記), 上下限指標改為$b, a$, 那麼(6)與(7)兩式就變形為 $$\int^b_adF(x)=F(b)-F(a)(8)$$ $$\int^b_a{dF(x)\over dx}dx=F(b)-F(a)(9)$$ 從而, 欲求$\int^b_af(x)dx$, 只要找到另一個函數$y=F(x)$, 使得 $${dF(x)\over dx}=f(x)(10)$$ 那麼就有 $$\int^b_af(x)dx=\int^b_a{dF(x)\over dx}dx=F(b)-F(a)(11)$$ Eureka!Eureka!我們自然就得到微積分裡最重要的一個結果:

定理 3. (微積分學根本定理) 給一個函數$f$, 如果可以找到另一個函 數$F$使得 $${dF(x)\over dx}=f(x)\quad \hbox{或}\quad dF(x)=f(x)dx(12)$$ 那麼就有 $$\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)\equiv F(x)\Biggl|^b_a(13)$$ 這個定理完全是定理2的平行類推!我們稱(13)式為Newton-Leibniz公式, 因為牛頓也獨立地發現它。今日我們還要求 $f$ 為連續函數。 Leibniz創造優秀的記號, 透過差和分根本定理, “直觀地”就看出了微積分根本定理。 Leibniz說:
值得注意的是, 記號幫忙我們發現真理, 並且以最令人驚奇的方式減輕了心靈的負荷。

Leibniz一生對記號非常講究。數學家Laplace (1749-1827)也說:

數學有一半是記號的戰爭。

我們要強調, 記號的適當創造與幾握, 是掌握數學的要訣。 下面將Leibniz所創造的記號作個對照表:

離散的差和分連續的微積分
$\Delta$
$\sum$
$x_k$
$\Delta x_k$
$\sum_k$
${\Delta F(x)\over \Delta x}$
$d$
$\int$
$x$
$dx$
$\int_a^b\cdot dx$
${dF(x)\over dx}$

在定理3中, 赫然出現了${dF(x)\over dx}$之記號, 這是微積分裡頭的一個關鍵性概念。 它代表什麼意義?如何定義? 首先讓我們來解釋它的幾何意義。${dF(x)\over dx}$是由${\Delta F(x_k)\over \Delta x_k}$的無窮小化得來的。顯然 $${\Delta F(x_k)\over \Delta x_k}={{F(x_{k+1})-F(x_k)}\over {x_{k+1}-x_k}}$$ 代表函數 $y=F(x)$ 的圖形上, 通過兩點 $(x_k,F(x_k))$與$(x_{k+1},F(x_{k+1}))$的割線斜率, 參見圖5。

圖5

無窮小化後的${dF(x)\over dx}$就是通過$(x, F(x))$點的切線斜率, 參見下圖6。

圖6

因此, 求積分$\int^b_af(x)dx$從幾何觀點來看就是, 找一條新的曲線$y=F(x)$, 使其切線斜率${dF(x)\over dx}$為$f(x)$, 那麼$\int^b_af(x)dx$的答案就是 $F(b)-F(a)$。據此, Leibniz也稱求積分為求反切線的問題(the inverse tangent problem)。 下面考慮${dF(x)\over dx}$的定義。按照上述的思路, ${dF(x)\over dx}$當然定義成 $${F(x+dx)-F(x)\over dx}\quad\hbox{或}\quad \lim_{\Delta x\to 0}{\Delta F(x)\over \Delta x}$$ 其中 $dx$ 代表 $x$ 的“無窮小”變化量, $\Delta F(x)$ $=F(x+\Delta x)-F(x)$, lim表示取極限(limit)。 這分別代表無窮小論證法與極限論證法。後者是“以有涯逐無涯”的論證方式, 即由割線斜率來探取切線斜率。有時 ${dF(x)\over dx}$ 也記成 $DF(x)$ 或 $F'(x)$。 由$F(x)$求出${dF(x)\over dx}$叫做導微(動詞用)。$dF(x)\over dx$ 叫做 $F(x)$ 的導函數(derivative)。已知函數 $f(x)$, 欲求另一個函數$F(x)$使得${dF(x)\over dx}=f(x)$, 是為微分的逆算。 我們稱$F(x)$為$f(x)$的反導函數(antiderivative)。因此, 定理3告訴我們, 欲求積分$\int^b_af(x)dx$, 只要找到$f(x)$的反導函數$F(x)$, 那麼$F(b)-F(a)$就是答案了。 這就是用微分法解決積分問題, 普遍而可行的辦法。要點是, 求反導函數並不太難。 如何求一個函數的導函數呢? 在做計算時, 若採用無窮小論證法, 就要記住無窮小詭譎的雙重性格:它不等於0, 但是要多小就有多小。這樣看來, 無窮小不是死的, 而是活生生的小精靈。 通常無窮小$dx$可正可負, 即正無窮小與負無窮小, 這種情形$dx$不等於0, 但其絕對值小於任意正實數。

例 3. 考慮$F(x)=x^3$, 則 $$\eqalign{{dF(x)\over dx}=&{F(x+dx)-F(x) \over dx}\cr =&{(x+dx)^3-x^3\over dx}, (\because dx\not=0)\cr}$$ $$\eqalign{=&{3x^2\cdot dx+3x(dx)^2+(dx)^3\over dx}\cr =&3x^2+3x\cdot dx+(dx)^2\cr =&3x^2\cr &(\because dx \hbox{可任意小, 故後兩項棄之可也。)}\cr}$$ 如果你對“無窮小”感到“不自在”, 那麼我們也可以採用極限論證法: $$\eqalign{&DF(x)\cr =&\lim\limits_{{\Delta x}\to 0}{F(x\!+\!\Delta x)\!\!-\!\!F(x)\over \Delta x}\cr =&\lim_{{\Delta x}\to 0} {(x+\Delta x)^3\!-\!x^3\over \Delta x}\cr =&\lim\limits_{{\Delta x}\to 0}{3x^2\cdot \Delta x\!+\!3x\cdot(\Delta x)^2\!+\!(\Delta x)^3\over \Delta x}\cr =&\lim\limits_{{\Delta x}\to 0} (3x^2+3x\cdot \Delta x+(\Delta x)^2)=3x^2\cr}$$ 殊途同歸! 在計算過程中, 我們的論證是這樣的:由於$\Delta x \not=0$, 故可以從分子與分母消去; 其次因為${\Delta x}\to0$, 故$2x+\Delta x \rightarrow2x$。這樣的論證其實跟無窮小論證法差不多。 目前較通行是極限論證法。 事實上, 極限概念有直觀(良知良能)的一面, 也有深奧的一面($\epsilon-\delta$與$\epsilon-N$定式), 真正要說清楚是相當費事的。留給正式微積分課去解說。

例 4. 因為$D({1\over 3}x^3)\!=\!x^2$, 故由Newton-Leibniz公式得 $$\eqalign{\int^b_ax^2dx=&{1\over 3}x^3 \Biggl|^b_a\cr =&{1\over 3}b^3-{1\over 3}a^3\hbox{。}\cr}$$ 我們作一個很重要的觀察: 給一個數列$u$, 若數列$v$滿足$\Delta v =u$, 我們就記為 $$\Delta^{-1}u=\sum u=\sum \Delta v=v$$ 而稱$\sum u$為$u$的不定和分, 因而$\sum$與$\Delta$互逆。這樣做非常方便, 定和分只需附加上下限就好: $$\sum^n_{k=1}u_k=v_k\Biggl|^{k=n+1}_{k=1}=v_{n+1}-v_1\hbox{。}$$ 同理,由

$dF(x)=f(x)dx\quad \hbox{或}\quad {dF(x)\over dx}=f(x)$

我們就記為 $$d^{-1}f(x)=\int f(x)dx=\int dF(x)=F(x)$$ 而稱$\int f(x)dx$為$f$的不定積分(indefinite integral), 因而$\int$與$d$互逆。再把上下限套上去就得到Newton-Leibniz公式: $$\int^b_af(x)dx=F(x)\Biggl|^b_a=F(b)-F(a)\hbox{。}$$

六. 結語

總之, 微積分就是利用極限或無窮小來建立微分與積分, 再透過微分的逆向運算(由$f$求 $d^{-1}f$)來求積分(面積、體積、表面積、曲線長、 重心及里程等等), 而微分的正向運算(由 $F$ 求 $dF$或${dF\over dx}$) 又可掌握住求切線、速度、 密度、變化率及極值問題, 甚至揭開了函數的結構之謎(Taylor分析)。 微分法是非常鋒利的兩面刃, 是人類破天荒的成就。S.Bochner說得好:

微分是一個偉大的概念, 它不但是分析學而且也是人類認知活動中最具創意的概念。 沒有它, 就沒有速度或加速度或動量, 也沒有密度或電荷或任何其它密度, 沒有位勢函數的梯度, 從而沒有物理學中的位勢概念, 沒有波動方程;沒有力學, 沒有物理, 沒有科技, 什麼都沒有([8], p.276)。

參考書目

C.H. Edwards, The Historical Development of the calculus, Springer-verlag, 1979, 凡異出版社有林聰源的中譯本。 A.W.F. Edwards, Pascal's Arithmetical Triangle, Oxford Univ$.\,$Press, 1987。 Leibniz, Philosophical papers and letters, Ed. L.E. Loemker, Synthese Historical Library, 1976. A. Weil, Review of Hofmann, Bull. Am. Math. Soc. 81, 676-688, 1975. M.E. Baron, The origin of the infinitesimal calculus. New York: Dover, 1987. (初版1969) T. Koetsier, Lakatos' philosophy of Mathematics, A Historical Approach, North-Holland, 1991. D. Struik, A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard Univ. Press, 1969. S. Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton Univ. Press (1966), Fourth Printing, 1981。 I Grattan-Guinness (editor), From the Calculus to Set Theory, 1630-1910$,\,$An Introductory$\,$History$,\,$Duckworth$,\,$1980. C. B. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, 1959. (First Published in 1949)

---本文作者任教於台灣大學數學系---