數學傳播

David Tong為劍橋大學理論物理學家, 研究量子理論及廣義相對論。 本文「What is general relativity?」原載 +Plus Magazine (https://plus.maths.org/content/what-general-relativity),
取得作者及雜誌編輯同意翻譯及刊載, 謹此致謝。 --- 中研院數學所數學傳播編輯部

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愛因斯坦與相對論(下)

物理學家談到愛因斯坦的方程時, 通常指的不是有名的 $E=mc^2$, 而是另一個概括著名廣義相對論的公式。 愛因斯坦在一百年前 --- 1915 年發表廣義相對論, 為了慶祝廣義相對論一百週年, 我們邀請劍橋大學物理學家 David Tong, 講解何謂廣義相對論以及愛因斯坦的方程是如何傳達概念的。 您可以觀看以下影片或繼續讀下去。

1.從牛頓講起

廣義相對論描述重力, 然而愛因斯坦並不是第一個想出這樣理論的人 --- 早在 1686 年, 艾薩克$\cdot$牛頓 (Isaac Newton) 就想出著名的重力平方反比定律 (inverse square law of gravitation)。 牛頓定律在涉及的尺度不是很大的時候運作得極好： 我們可以用它計算物體從高樓掉落撞擊到地面的速度, 甚至還能用它將人類送上月球。 不過當距離和速度非常大, 或涉及的物體質量龐大時, 牛頓的定律就變得不精確。 但是從牛頓講起是好的開始, 因為比起愛因斯坦的理論, 牛頓的定律更容易描述。

假設有兩個物體, 譬如太陽和地球, 質量分別是 $m_1$ 及 $m_2$, 兩者距離以 $r$ 表示, 根據牛頓定律, 兩者間的重力 $F$ 為 $$F=G_N\frac{m_1m_2}{r^2},$$ 其中 $G_N$ 是一個固定的數, 即一般所知的牛頓常數(萬有引力常數)。

這個方程的直觀意義是: 它告訴我們, 兩者距離越遠, 重力越弱 ($r$ 越大, $F$ 越小)； 物體質量越大, 重力越強 ($m_1$ 或 $m_2$ 越大, $F$ 越強)。

2.不同的力, 同樣的方程

另一個方程長得很類似, 但描述不同的力。 1785年, 法國物理學家夏爾$\cdot$奧古斯丁$\cdot$庫侖 (Charles-Augustin de Coulomb)導出一個方程, 描述兩個帶電粒子 $Q_1$ 及 $Q_2$ 間的靜電力 $F$。 $$F=\frac 1{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2},$$ 這裡 $r$ 代表粒子間的距離, $\epsilon_0$ 是決定電磁場強度的一個常數。 (它有個花俏的名字 --- 自由空間電容率 (permittivity of free space)。)

3.牛頓方程的問題

牛頓和庫侖的方程簡潔明瞭, 卻有個問題。 回到牛頓定律, 假設將地球及太陽快速分離, 如此一來會讓兩者間的重力減弱, 但是根據牛頓的方程, 兩個天體分開的那一刻重力就會立即減弱, 庫侖定律也是如此： 將帶電粒子迅速分開, 會導致兩者間的靜電力瞬間減弱。

但這不可能是對的, 愛因斯坦在 1905年, 比廣義相對論早十年, 提出的狹義相對論, 談到宇宙沒有任何東西能超越光速, 即便是兩個物體分離時, 重力變弱產生的「信號」, 都理當如是。

4.為何需要場(fields)?

這告訴我們古典力學中的力在近代物理必須被置換。 我們需要以新的概念, 來思考傳遞兩物體間的力。 這是英國科學家麥可$\cdot$法拉第 (Michael Faraday) 在理論物理的重大貢獻。 他領悟到有種今日我們稱作「場(fields)」的東西遍及整個宇宙, 涉及力的傳遞。 你們在學校可能已經很熟悉的電場和磁場都是例子。

1921 年，愛因斯坦(1879$\sim $1955)。
圖片取自: Plus Magazine. 一個帶電粒子產生一個能被其它（本身也有電場）帶電粒子「感覺到」的電場。 粒子因應其它電場而移動, 就是我們所稱的力。 當一個粒子快速與另一個粒子分離, 使得第一個粒子的電場產生漣波, 漣波以光速在空間中行進, 最後影響了另一個粒子。 事實上, 移動的粒子也會產生磁場, 釋放電磁波, 最終結果是波動場的複雜互動, 但關鍵在於, 力的確是一個粒子受到其它粒子電場散發的漣波影響。

科學家花了很長一段時間, 才完全發展出對電磁場的描述, 主要歸功於蘇格蘭科學家詹姆斯$\cdot$克拉克$\cdot$馬克士威 (James Clerk Maxwell)。 他不僅瞭解到電力和磁力是電磁學統一的力中的兩個面向, 還用四道方程取代庫倫的單一靜電定律, 來描述電場及磁場如何回應移動的帶電粒子。 馬克士威的四道方程是物理學中最令人讚嘆的幾道方程, 因為它刻畫了電力及磁力的所有知識。

5.重力與時空

那重力呢? 如同電磁學中, 需要由場產生兩個天體間觀測到的重力, 愛因斯坦的偉大洞見在於, 這個場是由我們已知的東西 --- 時間和空間形成。 想像空間中有個很重的天體, 比如太陽, 愛因斯坦了解空間不只是被動的旁觀者, 而能藉由彎曲對重物做出反應。 另一個天體, 好比地球, 移動至較重天體所產生的凹陷中, 受凹陷影響而轉向, 不會繼續沿直線前進, 而是開始繞著較重的天體旋轉。 或者, 如果速度夠慢, 還會撞上去。(愛因斯坦奮鬥多年才得出這個理論, 更多內容請參閱 「愛因斯坦與相對論(上)(下)」。)

愛因斯坦理論的另一個啟示是, 時間和空間可以相互扭曲變形, 複雜緊密地連結在一起, 時間同樣也能因大型天體而扭曲。 這就是為何我們談的不只是空間的曲率, 而是「時空」的曲率。

6.方程式

廣義相對論以一個乍看之下很簡單的方程表示: $$R_{\mu\nu}-\frac 12Rg_{\mu\nu}=\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{\mu\nu}.$$ 基本上這個方程告訴我們, 給定的質量和能量如何讓時空彎曲, 方程的左邊 $$R_{\mu\nu}-\frac 12Rg_{\mu\nu},$$ 描述時空的彎曲, 其作用就是我們觀察到的重力, 相當於牛頓方程左邊的 $F$。

巨大天體使得時空彎曲。
圖片來源: NASA (取自 Plus Magazine )。 方程式右手邊的 $T_{\mu\nu}$, 描述所有質量、能量、動量和壓力分布在宇宙的方式, 類似牛頓方程裡的 $m_1m_2$, 但來得更複雜。要了解時空如何彎曲, 上述這些量都是必要的。 $T_{\mu\nu}$ 的術語是「能量動量張量 (energy-momentum tensor)」。 同樣地, 出現在方程式右手邊的常數 $G_N$ 是牛頓常數, $c$ 是光速。

出現在下標中的希臘字母 $\mu$ 和 $\nu$ 又是什麼呢? 要了解它們的意思, 首先要注意時空有四個維度, 空間有三維(對應到空間裡上下、左右及前後的方向), 時間有一維(只有一個方向)。 如果你想知道一個小小天體的移動如何影響時空, 就必須 了解它是如何影響四維中的各個維度以及這些維度的不同組合。

(以此類推, 想想在牛頓的古典力學裡, 你會如何描述一個沿直線等速移動的物體。 你需要兩則資訊: 方向和移動的速度。 方向由三個數字表示, 每個數字皆代表物體在三度空間中每個維度移動的量。 因此, 物體的移動由四個數字描述, 其中三個與空間相關, 另一個與速度有關。 由於速度是每單位時間移動的距離, 為了描述物體的移動, 我們需要三則與空間相關、一則與時間相關的資訊。)

7.不只是一道方程

在愛因斯坦的方程裡, 希臘字母 $\mu$ 和 $\nu$ 是標號, 每個都可以取 0、 1、 2 或 3 的值。 因此實際上, 上面的方程蘊含一整組, 對應於 $\mu$ 和 $\nu$ 所有可能組合的方程: \begin{eqnarray*} R_{00}-\frac 12Rg_{00}&=&\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{00} R_{01}-\frac 12Rg_{01}&=&\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{01} R_{11}-\frac 12Rg_{11}&=&\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{11} \end{eqnarray*} 等等。

0 的值對應到時間, 1、 2 和 3 的值則與空間的三維對應。

方程式 $$R_{01}-\frac 12Rg_{01}=\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{01}$$ 因而與時間和第一維空間有關。 右手邊的 $T$ 描述第一維空間裡物質的動量(速度及質量)。 移動使得時間和第一維空間混合並相互彎曲, 這個現象由方程式的左手邊表示。 (其它等於 2 或 3 的方程式都可以類推。)

若方程式僅涉及空間中的某一維度, 譬如 $$R_{11}-\frac 12Rg_{11}=\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{11},$$ 這個方程便只和空間有關。右手邊的 $T$ 項量測物質在此空間方向所引起的壓力, 左手邊則告訴你該物質如何造成空間在此方向的延展。

若 $\mu$ 和 $\nu$ 的值皆為 0, 那麼方程式 $$R_{00}-\frac 12Rg_{00}=\frac{G_N}{8\pi c^4}T_{00}$$ 只和時間有關。 $T_{00}$ 代表能量, 使時間加快或減慢。方程的左手邊描述時間流中的改變。

由於每個 $\mu$ 和 $\nu$ 能有4個值(因為 $\mu$ 和 $\nu$ 可以是 0、 1、 2 或 3 四個值的任一個), 總共會有 $4\times 4 =16$ 個方程式。 然而, $\mu=i$ 和 $\nu=j$ 時的方程式, 跟 $\mu=j$ 和 $\nu=i$ 時的方程式相同, 所以方程式的總數減為 10 個。

一位藝術家對黑洞的想像。圖片來源: Robert Hurt,
NASA/JPL-Caltech (取自 Plus Magazine )。 理論上, 愛因斯坦的方程使我們能確切得知, 大型天體譬如行星、恆星、星系甚至黑洞, 如何影響其所在的時空, 但是實際上, 事情可沒那麼簡單。 愛因斯坦的方程式非常難解, 需要使用超級電腦找出解答, 找出新的解是理論物理學很活躍的一個領域。 目前的重大挑戰之一是, 了解時空在兩個極重的天體如黑洞碰撞時, 會發生什麼事。

我們怎麼知道愛因斯坦的理論是正確的? 這個理論發表至今一百年, 通過每個考驗。 雖然它有點深奧, 卻在大多數人日常仰賴的事物中扮演關鍵角色, 像是智慧型手機裡的 GPS 功能、 車上的衛星導航裝置。 相對論確實引發了一些新問題, 這就是為何一些物理學家認為它需要被修改的原因 (參閱 Problems of gravity, Marianne Freiberger 著 https://plus.maths.org/content/problems-gravity)。 不過, 姑且不論修改是否真的必要, 廣義相對論無疑是科學史上最令人讚嘆的成就之一。

---本文翻譯者黃馨霈為中央研究院數學研究所助理---